随机Ginzburg_Landau方程的拉回吸引子,韩英豪
倒向随机微分方程理论
倒向随机微分方程理论的一段往事 (2008-07-18 22:04:36) 转载 分类：数学江湖 标签： 杂谈 转自：https://www.360docs.net/doc/dc16502780.html,/ 文章是中国金融数学届的狂牛的老头子：彭实戈写的，在这里转给大家欣 赏。按：这个文章回顾了倒向随机微分方程理论产生的一段往事，同样是数学上一个让人愉悦的故事。 当年，我和Ｐａｒｄｏｕｘ写的关于倒向随机微分方程 简称ＢＳＤＥ理论的那篇文章发表在一个叫《ＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》的“小杂志”上。那是一个“有心栽花花不开，无意插柳柳成荫”的故事。ＢＳＤＥ的文章发表于１９９０年，而这项研究的实际完成是在１９８９年４月。其时我从法国回来，正在复旦大学做博士后 １９８８年开始。数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班，讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。当时雍炯敏刚从美国回来，在复旦任副教授，陈叔平在浙大，经常到复旦来参加讨论班。李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇 我刚到复旦时，周迅宇还在日本Ｎｉｓｉｏ教授那里，大概属于联合培养，他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。我说非常好，是相对于我这个刚从法国著名的Ｐａｒｄｏｕｘ研究团体回来的“洋博士”而言的。当时从国外回来的“洋博士”还不算多，大家都对我们“另眼相待”。回国后看到复旦的这些博士生的基础打得如此之牢固，令我十分佩服。 讨论班的学术气氛很热烈，有两个主攻方向：一是无穷维系统最优控制的最大值原理；一是随机最优控制问题，扩散项含时间的随机控制系统最大值原理是当时大家关心的公开难题之一。那是一个硕果累累的年代，产生了一批令国际同行刮目相看的研究成果，称其为“ＦｕｄａｎＧｒｏｕｐ”。 复旦对于博士后的生活安排得非常周到。我有一个二室一厅的套间，里面是整套全新的家具。胡瑛是这里的常客——几乎每天都来。经常是进门后没说几句话就坐下来，拿出纸和笔来讨论问题，累了就到校园里去散一会儿步，饿了就出去找个饭店或到食堂吃一顿。我们两个合作写了好几篇文章，当时的主攻方向是广义的和无穷维随机系统的最大值原理。李训经和雍炯敏先生也经常来访，我们也经常去李老师家。我们有一些合作的具体题目。休息的时候，也经常谈及几个“大
随机微分方程
一、一维分岔 考虑一维随机微分方程 ()()()()()()()()() dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-???? 生成的连续动态系统 ()()()()()()t t 00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142??σ?-?? () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。假定 ()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（） 从而0是?的一个固定点。对此固定点，dB(t)是随机参激。设m(x) 有界，对所有 x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-() 这保证最多只有一个平稳概率密度。求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度 ()()() () 12 2m u p x C x exp[ ] 6.145u x du σσ-=-? （） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。为此，考虑（6.1-41）的线性化方程
()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （） 利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解 ()()()()()t t V t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-??（） 动态系统?关于测度μ的Lyapunov 指数定义为 ()()1 lim ln V t 6.148t t ?λμ→∞=-（） （6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数 ()()()()()()()()00 1() lim [ln 000]00 lim 0(6.1-49)?t t t t B t V m ds dB s m m t t ?λδσσ→∞→∞ '''''=++=+=??对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数 ()0 1 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150t t R t ?λνσσσσ→∞''''''=+=+-??（） 进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得 ()2 m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ?λνσ?? =<-??? ??（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形 ()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （） 生成的动态系统族α?
分岔图做法[1]
> > 混沌研究总结篇------一、分岔图（1.Chen系统） 先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。 首先简绍几个基本概念： 一、自治系统 一个n阶自治的连续动态系统可以表示为 可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。 二、非自治系统 一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为
可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。 三、庞加莱映射 庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。 对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。 对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为 相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。 所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。 四、分岔图 分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。 下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统 1.Chen系统 先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen 系统入手。 系统方程如下： dx/dt=a*(y-x) dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z dz/dt=x*y-b*z 就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统 (1)给定a、c，画b关于系统的分岔图 结果如下图所示
随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子
随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子 无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。 吸引子(包括全局吸引子，随机吸引子)是无穷维动力系统研究的中心内容之一。对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。 本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的 Klein-Gordon-Schr(?)dinger(KGS)无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。 第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H(?)lder不等式，Gronwall不等式。本文的研究工作由两部分组成。 第一部分内容由第三、四章构成。第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。 得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。 也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。 第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。通过引入加权
倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)
倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计 倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。在El Karoui和Mazliak[30],Ma和 Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。出现这 一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。2006年,Zhao,Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式,该方法结合PDE数值解法的特点,使用随机的思想来解释高精度的差分方法,对BSDE进行时间空间离散,用Monte Carlo方法结合插值近似计算条件数学期望,在数值实验中得到了较好的结果。本文主要研究了BSDE的几种数值方法,在Zhao,Chen和Peng[89]的基础上,离散BSDE时用Gauss-Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望,并得到了θ格式的误差估计;提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计;对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛误差。下面我们列出本文的主要结果。第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路,介绍了BSDE,Feynman-Kac公式的基本概念,对BSDE已有的数值解法进行了简要的回顾总结。第二章:给出了BSDE(2-1)的θ格式的误差估计。证明了对一般的θ,格式一阶收敛,特别当θ=(?)时,格式二阶收敛。当 θ=1时,我们得到θ格式对(2-1)的适应解(y_t,z_t)一阶收敛。在θ=(?)的情形,我们还得到解z_t的误差估计。我们称下面两个解(?)的方程为离散 BSDE(2-1)的θ格式:对该格式的误差估计主要有下面的定理。定理2.1.假设2.1成立,令y_t和y~n分别是BSDE(2-1)和θ格式(2-12)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有其中C是一个正常数,它仅依赖于T,φ和f导数的上界和(2-3)的解u(t,x)。定理2.3.假设2.1成立,令y~n(n=N,…,0)是θ格式(2-12)在θ=(?)时的解,y_t(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有定理2.4.假设2.1成立,令(y~n,z~n)(n=N,…,0)是θ格式
随机微分方程
随机微分方程在水库防洪中的应用 本学期有幸跟着袁老师学习随机微分方程这门课程，收获甚丰，感受颇多。在此之前，我从未接触过任何关于随机的概念，在听完袁老师的课程，特别是袁老师在中间穿插的讲诉随机微分方程在某些领域的实际应用案例，让我感觉在水利工程中确实有很多问题都应该通过随机这个概念来解决。在阅读过相关的一些 文献过后，发现在水库的防洪中随机微分方程可以利用的价值特别高。 水库的防洪是水利工程流域管理的重要内容，其中各环节都存在诸多的不确定性。包括水雨情信息采集中由于设备故障、通讯不畅、误码和量程不足等原因导致的信息无法获取或无法及时传达、信息错误，实时洪水预报中水文气象条件、模型结构、模型参数等导致的预报误差，调洪演算中的水库泄流和库容曲线等水力不确定性等。由于各环节的多种不确定性因素，随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析，近年来，这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程，随机微分方程被引入和运用,为解决这一难题提供了有效的数学工具，以概率论和微分方程为基础的随机微分方程模型,可以对调洪过程中的随机现象和规律进行数学描述和分析,可以正确地综合各种随机输人过程和随机初始条件对泄洪风险率的影响, 为经济合理地选择大坝泄洪建筑物规模和调度运行方式, 提供科学的依据。 传统的确定性调洪演算方法，根据的是简单的水库蓄量平衡关系，建立有如下的微分方程： （1） 若令/()d d h G h ω=,并加入初始条件,则有： （2） 式中，h(t)为库水位，h 0为初始库水位，Q(t)为调洪过程任一时刻的来洪 流量，q(h,c)为相应时刻的泄洪流量，在泄洪建筑物规模确定的情况下，可表述为h 和流量系数等水力参数c 的函数，w(h)为水库的库容量。上述的各函数均
倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫
应用数学 M ATHE M ATIC A APP LIC AT A 2002,15(2):9～13 倒向随机微分方程的理论、发展及其应用 Ξ 周少甫1,黄志远2,张子刚3 (1.华中科技大学经济学院,湖北武汉430074;2.华中科技大学数学系,湖北武汉430074;3.华中科技大学管理学院;湖北武汉430074) 摘要:本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用及研究现状,介绍了 作者博士论文的主要工作. 关键词:金融数学;倒向随机微分方程;随机微分效用;正—倒向随机微分方程 中图分类号:O211.63 AMS(2000)主题分类:60H30 文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)022******* 一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于Harry Markowitz[1]在1952年的开创性工作,他为现代有价证券的组合理论奠定了基础,他的理论引发了所谓的第一次“华尔街革命”.许多学者进一步发展了他的理论.下一步重要的发展是1964年Sharpe[2]和1965年Lintner[3]提出的资本资产定价模型(C APM)及1976年R oss[4]把C APM模型扩展成套利定价模型(APT).1973年,Fisher Black和Myron Schole[5]发展了“期权及公司债务的定价”,提出了第一个完整的期权定价模型.同一年,R obert Merton[6]发表了“计算期权合理价格的理论”.这些里程碑式的成果,引发了第二次“华尔街革命”,在理论和实践中都有特别重要的意义.Fisher Black和Myron Schole的期权定价模型提出之后,金融数学以前所未有的的速度发展.许多现代的数学工具,如随机微积分[7,8,9],鞅方法,凸分析[10],随机最优控制,多元统计分析,数学规划[11,12],现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作用.许多经济学家和数学家都为金融数学的发展作出了贡献.他们中的佼佼者不少已先后获得了诺贝尔经济学奖。金融数学的发展,也促进了一类新的随机微分方程理论———倒向随机微分方程的出现,发展和逐步完善. 倒向随机微分方程理论研究的历史较短,但进展却很迅速,除了其理论本身所具有的有趣数学性质之外,还发现了重要的应用前景.1973年,法国数学家Bismut[13]在研究随机最优控制时,研究了线性BS DE的适应解。而一般形式的非线性倒向随机微分方程: d X(t)=b(t,X(t)d t+σ(t,X)d W(t), (1) X(T)=X,0≤t≤T. 实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反向问题,即终值问题,在金融理论中,递归效用,微分 Ξ收稿日期:2001212205 基金项目:国家自然科学基金项目(70071011) 作者简介:周少甫(19632),男,汉,华中科技大学管理学院博士后,副教授,研究方向:随机过程.
Kuramoto-Sivashinsky方程乘法白噪音Wiener过程随机动力系统随机吸收集随机吸引子教学内容
Kuramoto-Sivashinsky 方程论文：带乘法白噪音的Kuramoto-Sivashinsky 方程的随机吸引子 【中文摘要】吸引子是描述无穷维动力系统的渐进行为的一个问题, 而随机吸引子就成为了描述无穷维随机动力系统渐进行为的中心问题。本文主要研究在区间I=(-L/2,L/2) 上满足边值条件和初值条件 u(x,0)=u0(x) 的带乘法白噪音的Kuramoto-Sivashinsky 方程 du+(vD4u+D2u+uDu)dt二bu o dW(t) (x,t) € I x R随机吸引子的存在性。第一章主要介绍了随机动力系统的发展过程, 对所参考的文献的综述和一些相关的基础知识及证明过程中所用到的常见的一些不等式，以及本文的主要工作。第二章主要利用a (t)=e-bW(t),v= a u变换先去掉方程中的随机项, 然后用Galerkin 逼近的方法证明了方程存在唯一解 u=u(t, 3；tO,uO),并且这个解可生成一个连续的随机动力系统。第三章主要考虑在整个空间上的随机吸引子的存在性. 由于vD4u+D2i的特征值可能是负的，所以考虑加上一个条件v /L~2>1/4 n ~2时,就能保证 vD4u+D2i为正，这样就能利用Gronwall(?)理证明到吸收集的存在性，进一步证明了当v /L~2>1/4 n ~2时,带乘法白噪音的K-S 方程在整个空间上的随... 【英文摘要】The attractor is one of the most important problems recently.And the random at-tractor is that of central parts of the asymptotic dynamics of the stochastic differential equation. This paper is devoted to the existence of the random 此文档仅供学习和交流
第二章 分岔与奇怪吸引子
第二章 分岔与奇怪吸引子 第一节 第一节 简单数学分岔 分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。 分岔是一种非常普遍的自然现象。一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。常识告诉我们，在力P 的作用下，如图2-1a 所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷P c 后，杆会出现弯曲，这时扰度s 为压力P 的函数。在以P —s 为坐标的平面上，如图2-1b 所示，当压力P ＜P c 时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P ＞P c 时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC 方向）、偏向+s 或-s 方向，因此P c 是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向+s 或-s 状态。另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s 随压力P 的增加而沿曲线OA 或OB 增加。 图2-1 一根弹性压杆的分岔 在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。 由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F 增加到某—临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数0=κ处发生了所谓叉式分岔，一个在0<κ时的稳定解在0>κ时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。
几种混沌吸引子的仿真研究
几种混沌吸引子的仿真研究1 刘会师，尹霄丽，曹永盛 北京邮电大学光通信与光波技术教育部重点实验室，北京（100876） E-mail：liuhuishi@https://www.360docs.net/doc/dc16502780.html, 摘要：混沌（Chaos）现象于本世纪60年代初被发现至今，已经渗透至各个学科之中，可以说是“混沌无处不在”。本文由混沌理论出发，引出吸引子的概念，后文介绍了三种典型的混沌吸引子，并使用工具对它们进行仿真，通过仿真结果分析了三种混沌吸引子的基本性质。关键词：混沌，奇异吸引子，洛仑兹吸引子，逻辑斯蒂映射，Henon吸引子 中图分类号：O415.5 1．引言 混沌（Chaos）现象是20世纪最重要的科学发现之一。当今科学认为，混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机行为（内在随机性）。虽然在60年代混沌学的研究就已经悄然兴起，并逐渐渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科了，但是直到1978年菲金堡姆（Feigenbaum）从计算机实验中发现一些简单的单变量非线性映象的分岔点结构具有若干普遍规律，出现一些普适常数以后，混沌才引起了大家的极大兴趣。 我们周围的世界是不断发展变化的，具有各种各样的耗散结构。对于耗散结构的系统，当非线性进一步增强时，一般都会出现混沌运动。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。对于一个非线性系统，哪怕一个微小的扰动，像初始条件的一个微小改变，都可能造成系统在以后时刻行为的巨大差异。 通常情况下，对于一般的动力系统而言，都会最终趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所[1]。 图1 不动点和极限环 经典力学提出了三种类型的吸引子。第一种是零维的，它是一个稳定的不动点，所代表1本课题得到国家自然基金项目（项目编号：60577045）的资助。