第七讲 机械能

第七讲 机械能

【竞赛要求】

1、功和功率。

2、动能和动能定理，※质心动能定理。

3、重力势能，引力势能，质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)，弹簧的弹性势能。

4、功能原理，机械能守恒定律。

【知识要点】

1、功

（1）功的定义：力对物体做的功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘积。其表达式为：W =Fxcosα

（2）功的理解

①功是过程量。研究某一功时，必须明确指出是在哪一个过程中，哪个力（或物体）对哪个物体做功。

②功的正、负意义：功的正负由力和位移的夹角决定。功是一个标量，功的正负不是表示功有方向，而是表示能量的转化关系：功为正值（力对物体做正功）时表示物体获得能量，功为负值（力对物体做负功或者说物体克服力做正功）时表示物体向外输出能量。

判断一个力是否做功以及功的正负，常用的方法有三种：

A 、看力F 与位移x 的夹角α：α=900，不做功；α<900，做正功；α>900，做负功。

B 、看力F 与速度v 的夹角α：α=900，不做功；α<900，做正功；α>900，做负功。

C 、看在物体之间由于力F 的作用是否有能量的转化：无能量转化，不做功；物体能量增加，力对物体做正功；物体能量减少，力对物体做负功。

③功与参考系的关系：对于同一过程来说，相对于不同的参考系，物体的位移可以不同，则力对物体所做的功也可以不同，通常情况下都以地球为参考系来计算功。 ④示功图：由功的定义可知，力 F 作用下物体通过的位移为x 时，力对物体所做的功可用右图中阴影区的面积表示，这样的图

像也称为“示功图”，因此，可以借助于示功图来计算功的值。

⑤变力的功。求变力的功通常用微元法，即将位移分为很多微小段，而把每一小段上的作用力视为恒量来计算每一小段的功，再累加起来便得到此变力在全过程的总功。另外，也可以利用上述的示功图来求变力的功，在中学知识范围内，一般用在作出的图线是直线型的情况下（如力的变化与位移成正比例关系）。还有不少时候则是根据能的转化和守恒关系来求变力的功。

2、功率

力对物体所做的功W 与做功所用时间t 的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，即t W P =。由W =Fxcosα和t

W P =得P =Fvcosα。 （1）t

W P =与P =Fvcosα的区别与联系

（2）瞬时功率与平均功率

（3）额定功率与实际功率

（4）机车两种启动过程的分析：分析F 、a 、v 、P 的变化。

3、动能和动能定理

（1）功和能

功是能量转化的量度，又称为功的物理本质，可从以下几个层次理解： ①能量有多种不同形式，且不同形式的能量之间可以相互转化。

②不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，即做功的过程，就是能量转化的过程。

③做了多少功，就有多少能量从一种形式转化为另一种形式，即能量转化的多少可用功的多少来量度。

（2）动能

动能的定义式是：22

1mv E k = 动能是描述物体运动状态的物理量。动能可以描述物体在以速率v 运动的状态下所能做功的本领，它是机械运动的一种量度。

理解动能概念应注意以下几点：

①动能是状态量。物体的运动状态（v ）数值一定，动能22

1mv 就有确定的数值。 ②动能是标量且恒为正值。动能与物体运动速度的方向无关。

③动能具有相对性。由于速度的大小与参考系的选择有关，因此，对不同参考系物体所具有的动能大小就不同，通常选地面为参考系。

（3）动能定理

动能定理：合力所做的功等于物体动能的变化。

动能定理描述了力对物体作用在空间上累积的效果，若研究对象是一个物体（质点），则所有外力对物体所做功的代数和等于该物体能量的变化，即W =ΔE k ，这一结论叫质点的动能定理。若研究的对象是由多个物体（质点）组成，即研究对象为一物体系（质点组）则所有外力和所有内力对物体系所做功的代数和等于该物体系总动能的增量，即∑∑∑∑-=+12k k E E W W 内外，这一结论称为物体系（质点组）的动

能定理。

应用动能定理时应注意的问题：

①适用对象：高中阶段尽量用于解决单质点问题。涉及到多个质点时，对每一个质点应用动能定理列式。

②适用范围：恒力功、变力功，直线运动、曲线运动，单过程、多过程。

③列方程时：方程左边为所研究质点在所选过程中合力做的功或所有力做功的代数和，右边为所选过程质点末状态的动能与初状态的动能之差，涉及的速度和位移都应是相对于地面的。

求功的三种方法：

①根据功的定义式求功W =Fxcosα，这种方法只能求恒力功。

②根据功率求功W =Pt ，这里要求功率P 恒定或P 为平均功率。

③根据动能定理求W =ΔE k ，W 为合外力的功。

4、势能

（1）保守力与耗散力

重力、弹力、万有引力等有一个共同的特点，即它们做的功都只与物体运动的初、末位置有关，而与物体运动所通过的路径无关，或者说，物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功等于零。在物理学中，凡具有这一特点的力就叫保守力，不具有这一特点的力叫耗散力。如摩擦力是耗散力。

（2）势能

由相互作用力为保守力的物体间的相对位置所决定的能量叫势能。在任一过程中，保守力所做的功总是等于其相应的势能的减少量，即W 保=-ΔE P =E P 1-E P 2。

物体的势能值与所选定的参考位置有关，即势能具有相对性。并且，势能是属于以保守力相互作用的物体系的，而不是某一个物体所单独具有的。

（3）力学中常用的势能公式

①重力势能：质量为m 的物体在地球表面附近时，通常取地面为零势能面，则物体离地面高度为h 时，物体与地球所组成的系统所具有的重力势能之值为E P =mgh 。这一值又常被简称为物体所具有的重势能。

②引力势能：一般取两物体相距为无限远时其间的引力势能为零。有以下几种情况：

两个质量分别为m 1和m 2的质点相距为r 时，其引力势能为r

m m G E P 21-=； 质量为m 的质点与质量为M 、半径为R 的均匀球的球心相距为r 时，其引力势能为)(R r r

Mm G E P ≥-=； 质量为m 的质点与质量为M 、半径为R 的均匀球壳的球心相距为r 时，其引力势能为???????≤-≥-=)()(R r R

Mm G R r r Mm G E P ③弹性势能：一般取弹簧无形变时其弹性势能为零，则劲度系数为k 的弹簧的形

变量为x 时，其弹性势能为22

1kx E P =。 5、机械能守恒定律

（1）功能原理

外力与非保守内力对物体系所做功的总和等于物体机械能的增量。这一结论叫功能原理，其数学表达式为E E E E E W W P k P k ?=+-+=+)()1122（非保内外。

注意到W 保=-ΔE P =E P 1-E P 2，以此代入上式中则可得到动能定理的表达式，所以，可以把功能原理看成是由动能定理导出的结论。

（2）机械能守恒定律

在只有重力或（系统内）弹力做功（或者说系统内只有保守力做功，其他非保守力和一切外力所做功的总功为零）的物体系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这一结论称为机械能守恒定律。

①机械能守恒定律的几种表达形式：

A 、2211P k P k E E E E +=+，即所研究的物理过程中的任意两个状态的机械能总量相等。

B 、P k E E ?-=?，表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减小（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能。

C 、减增B A E E ?=?，表示若系统由A 、B 两部分组成，则A 部分物体机械能的增

加量与B 部分物体机械的减少量相等

②判断机械能量否守恒的方法

A 、用做功来判断：分析物体或系统受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。

B 、用能量转化来判定：若物体或系统中只有动能和势能相互转化，而无机械能与其他形式的能相互转化，则物体或系统机械能守恒。

【典例分析】

一、高考要求题型

（一）功

1、如图，在加速向右运动的车厢中，一人用力向前推车厢（人与车厢始终保持相对静止）．则下列说法正确的是（ ） A ．人对车厢做正功 B ．人对车厢做负功

C ．人对车厢不做功

D ．无法确定人是否做功

2、如图所示，半径为R 、直径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v 0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ．设从开始运动的一周内小球从A 到B 和从B 到A 的过程中摩擦力对小球做功分别为W 1和W 2，在这一周内摩擦力做的总功为W 3，则下列关系式

正确的是（ ）

A ．W 1＞W 2

B ．W 1=W 2

C ．W 3=0

D ．W 3=W 1+W 2

3、如图所示，把A 、B 两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉直、不计空气阻力），则在两球向左下摆动时，下列说法正确的是（ ）

A ．绳OA 对A 球不做功

B ．绳AB 对B 球不做功

C ．绳AB 对A 球做负功

D ．绳AB 对B 球做正功

4、如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是（ ）

A.始终不做功

B.先做负功后做正功

C.先做正功后不做功

D.先做负功后不做功

5、如图所示，一恒力F 通过一动滑轮拉物体，沿光滑水平

面前进了距离x 。在运动过程，F 与水平方向保持θ

角，则

拉力F 对物体做的功为（ ）

A.Fxcosθ

B.2Fxcosθ

C.Fx (1+cosθ)

D.2Fxcos 22θ 6、物体沿直线运动的v ﹣t 关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W ，从第3秒末到第6秒末合外力做功为 ．

7、如图所示，绷紧的传送带始终保持着大小为v =4m/s 的速度水平匀速运动，一质量m =1kg 的物块无初速度地放到皮带A 处，物块与皮带间的动摩擦因数μ=0.2，A 、B 之间距离x =6m ，求物块从A 运动到B 的过程中摩擦力对物块做功多少？

8、一人从10m 深的井中，用一个质量为1kg 的桶盛10kg 的水匀速往上提，由于水桶不断漏水，每升高1m 漏0.2kg 的水，则把这桶水提上来要做多少功？

9、如图所示，水平弹簧劲度系数k =500N/m ，

而静止。突然撤去外力F ，物块被弹开，那么弹簧对物块做多少功（弹簧与物块没有连接）？

10、物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F 1，经过t 秒后撤去F 1

，立即再对它施一水平向左的恒力F 2，又经t 秒后物体回到原出发点，在这一过程中，已知F 1做功为2J ，求F 2做功为多少？

11、放在水平面上质量为m 的物体，与水平面间的动摩擦因数为μ，特体在水平恒力F 1的作用下在水平面上做匀速直线运动，今若再对物体施加一大小与F 1相等的恒力F 2。求：

（1）要使物体仍做匀速直线运动，则力F 2应满足什么条件？

（2）若物体运动位移为x ，要使合力对物体做功最多，则力F 2又应满足什么条件？

12、长度为L 的矩形板，以速度v 沿光滑水平面上平动时，垂直滑向宽度为l 的粗糙地带。板从开始受阻到停下来所经过的路程为s ，且l

（二）功率

1、随着人们生活水平的不断提高，城乡间的交流不断增多，从而加重了交通运输的负担，铁路提速是在现有的基础上提高运力的最好方法，但铁路提速要解决许多具体的技术问题，其中提高机车牵引力功率是一个重要问题．已知匀速行驶时，列车所受阻力与速度平方成正比，即f=kv 2，列车要提速，就需研制出更大功率的机车，那么当机车分别以120km/h 和40km/h 的速度在水平轨道上匀速行驶时，机车的牵引力功率之比为（ ）

A ．3：1

B ．9：1

C ．27：1

D ．81：1

2、一个小孩站在船头，按图两种情况用同样大小的力拉绳，经过相同的时间t （船未碰撞），小孩所做的功W 1、W 2及在时间

t 内小孩拉绳的功率P 1、P 2的关系为

A.W 1>W 2，P 1=P 2

B.W 1

C.W 1=W 2，P 1=P 2

D.W 1

3、竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度，则

A.上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功

B.上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功

C.上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率

D.上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率

4、一架自动扶梯恒定以恒定的速率v 1运送乘客上同一层楼，某乘客第一次站在扶梯上不动；第二次以相对于扶梯的速率v 2沿扶梯匀速上走。两次扶梯运客所做的功分别为W 1和W 2，牵引力的功率分别为P 1和P 2，则

A.W 1

B.W 1

C.W 1=W 2，P 1

D.W 1>W 2，P 1=P 2

5、汽车以恒定功率在一段很长的倾角为θ的坡路上行驶，所受阻力是车重的k 倍（k ＞sin θ），上坡时匀速行驶的速度大小是v ，那么下坡时汽车可以达到的最大速度是 ．

6、质量为m =103kg 的赛车由静止开始沿倾角θ=37°的专用长斜坡向上运动．赛车运动的v ﹣t 图象如图所示，其中0﹣5s 的v ﹣t 图象为直线，5﹣20s 的v ﹣t 图象最后部分为平行于t 轴的直线．已知赛车运动受到的阻力为路面弹力的0.25倍，在第5s 末赛车的发

动机达到额定输出功率，并且以后继续保持额定输出功率工作．求：赛车在0﹣20s 内的位移．

7、一位质量为60kg 的运动员，用12s 时间跑完100m ，设他在运动过程中受到的阻力保持不变，并且他在开始运动的前2s 时间内做匀加速直线运动，后面10s 时间内则保持他在第2s 末时的瞬时功率值不变，继续做直线运动，最后一段时间做的是匀速运动。已知他在做匀速运动时的速度大小是11m/s 。求：

（1）他在跑这100m 的过程中的平均功率；

（2）他在运动过程中受到的阻力。

乙 甲

v

（三）动能定理

1．质量为m 的物块在平行于斜面的力F 作用下，从固定斜面的底端A 由静止开始沿斜面上滑，经B 点时速率为v ，此时撤去F ，物块滑回斜面底端时速率也为v ，斜面倾角为θ，A 、B 间距离为x ，则（ ） A ．整个过程中重力做功为mgxsin θ B ．整个过程中物块克服摩擦力做功为Fx C ．上滑过程中克服重力做功为)2

1212mv Fx -（ D ．从撤去F 到物块滑回斜面底端，摩擦力做功为﹣mgxsin θ 2．如图，由不同材料拼接成的长直杆CPD ，P 为两材料分界点，DP

＞CP ，现让直杆以右图两种情况与水平面成45°放置．一个套在长直

杆上的圆环静止开始从顶端滑到底端，两种情况下圆环经过相同的时间滑到P 点．则圆环（ ） A ．与杆CP 段的动摩擦因数较小 B ．两次滑到P 点的速度

可能相同

C ．两次滑到P 点摩擦力做功一定相同

D ．到达底端D 所用时间较长

3．如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v l 匀速向右运动．一质量为m 的滑块从传送带右端以水平向左的速率v 2（v 2＞v 1）滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右端．就上述过程，下列判断不正确的有（ ）

A ．滑块返回传送带右端时的速率为v 1

B ．此过程中传送带对滑块做功为21222121mv mv -

C ．此过程中滑块对传送带做的功为﹣mv 1v 2﹣mv 12

D ．此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为221)(2

1v v m + 4．如图所示，有一类似过山车的轨道装置，它由弹射装置，水平轨道和竖直平面内的两个圆形轨道组成，小球被弹射后获得一个速度，依次经过水平轨道AB 、第一圆轨道、水平轨道BC 后，进入第二圆轨道完成一系列活动，B 、C 分别是两个圆形轨道的最低点，第一个圆轨道的半径R 1=2.0m ，一个质量m =1.0kg 的小球（视为质点）被弹射后获得v 0=12.0m/s 的速度，从水平轨道左侧A 点沿轨道向右运动，A 、B 间距离

L 1=6.0m ，B 、C 间距L 2=12.0m ，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道光滑，空气

阻力忽略不计，g =10m/s 2.求：

（1）小球第一次通过B 点时，第一圆轨道对小球支持力F 的大小； （2）如果要使小球不脱离第二圆轨道，且两圆

形轨道不相互重叠，第二个圆轨道半径R 2应满足的条件．

5．如图所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R ．一个质量为m 的物体（可以看作质点）从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ．求：

（1）物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程；

（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧

轨道的压力； （3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点距B 点的距离L ′应满足什么条件？

6．如图所示，半径R =4m 的光滑圆弧轨道BCD 与足够长的传送带DE 在D 处平滑连接，O 为圆弧轨道BCD 的圆心，C 点为圆弧轨道的最低点，半径OB 、OD 与OC 的夹角分别为53°和37°．传送带以2m/s 的速度沿顺时针方向匀速转动，将一个质量m =0.5kg 的煤块（视为质点）从B 点左侧高为h =0.8m 处的A 点水平抛出，恰从B 点沿切线方向进入圆弧轨道．已知煤块与轨道DE 间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g 取10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）煤块水平抛出时的初速度大小v 0；

（2）煤块第一次到达圆弧轨道BCD 上的D 点对轨道的压力大小； （3）煤块第一次离开传送带前，在传送带DE 上留下痕迹可能的最长长度．（结果保留2位有效数字）

7．如图所示，某生产线上相互垂直的甲、乙传送带等高，均以大小为4m/s 的速度运行，其中甲传送带的长度为L =1m ，乙传送带足够长，乙传送带的宽度为d =2m ，图中虚线为传送带中线．一工件（视为质点）从甲左端由静止释放，经一段时间由甲右端滑上乙，最终必与乙保持相对静止．工件质量为1kg ，g=10m/s 2，沿甲传送带中线向右建立x 轴．

（1）若μ=0.45，求工件从放上甲传送带到相对乙传送带静止经历的时间？皮带上的划痕各多长？ （2）若μ=0.9，求工件在传送带上运动过程中甲、乙传送带对工件共做多少功？ （3）当μ不同时，工件最终相对乙传送带静止的位置不同，求

工件在乙传送带上相对乙沿x 方向上的位移？

E

8．如图所示，一块质量M =2kg ，长度L =8m 、高度不计、上表面粗糙的长木板静止在水平面上，水平面与木板间的动摩擦因数μ=0.2．现对长木板施加一个水平向右的力F =6N 使长木板开始运

动，取g =10m/s 2，求：

（1）当t =6s 时，长木板的速度；

（2）当t =6s 时，立即在长木板右端无初速度放置一个质量m =1kg 的小物块（可视为质点），小物块与木板间的动摩擦因数也是μ=0.2，求t 1=12s 长木板的速度；

（3）从开始运动到t 1=12s 的过程中由于摩擦产生的热量．

9．如图所示，水平轨道上停放着一辆质量为m A =5.0×102 kg 的小车A ，在A 的右方L =8.0m 处，另一辆小车B 正以速度v B =4.0m/s 的速度向右做匀速直线运动远离A 车，为使A 车能经过t =10.0s 时间追上B 车，立即给A 车适当施加向右的水平推力使小车做匀变速直线运动，设小车A 受到水平轨道的阻力是车重的0.1倍，试问：在此追及过程中，推力至少需要做多少功？取g=10m/s 2）

10．滑雪者从A 点由静止沿斜面滑下，经一平台水平飞离B 点，地面上紧靠着平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示、斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ，假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变．求：

（1）滑雪者离开B 点时的速度大小； （2）滑雪者从B 点开始做平抛运动的水平距离s ．

11．一封闭的弯曲玻璃管处于竖直平面内，其中充满某种液体，内有一个密度为液体密度的一半的木块，从管的A 端由静止开始运动，木块与管壁间动摩擦因数μ=0.5，管两臂长AB=BC=L =2m ，顶端B 处为一小段光滑圆弧，两臂与水平面

成α=37°角，如图所示，求：

（1）木块到达B 点时的速率． （2）木块从开始运动到最终静止通过的路程．

12．如图所示，小球质量为m ，用长为l 的细绳悬挂在一枚细钉上，用一大小为F 的水平恒力拉球，至细绳偏转角度为θ（θ＜90°）时撤去，如在运动中绳子始终处于伸直状态．求：

（1）小球能上升的最大高度．

（2）小球又回到最低点时，细绳上张力的大小．

13．如图所示，竖直平面内放有一直角杆AOB ，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ=0.2，杆的竖直部分光滑，两部分各套有质量均为1kg 的小球A 和B ，A 、B 球间用细绳相连，开始时A 、B 球均处于静止状态，已知OA =3m ，OB =4m 。若A 球在水平拉力F 的作用下向右缓慢地移动1m 。g 取10m/s 2，求： （1）该过程中拉力F 所做的功是多少？

（2）若用20N 的恒力拉A 球向右移动1m 时，A 的速度由零增加到了2m/s ，

则此过程A 克服摩擦所做的功是多少？

14．某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力恒为f . 轻杆向右移动不超过l 时,装置可安全工作. 一质量为m 的小车若以速度v 0 撞击弹簧,将导致轻杆向右移动4

l . 轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地

面的摩擦.

（1）若弹簧的劲度系数为k ，求轻杆开始移动时弹簧的压

缩量x ；

（2）求为使装置安全工作,允许该小车撞击的最大速度v m ；

（3）讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v′和撞击速度v 的关系.

解：（1）轻杆开始移动时，弹簧的弹力 ① 且 ② 解得 ③ （2）设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W ，则小车从撞击到停止的过程中，动能定理 小车以撞击弹簧时 ④ 小车以撞击弹簧时 ⑤ 解 ⑥ （3）设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为， ⑦ 由④⑦解得 当时， 当时，。 kx F =f F =k f x =0v 202104.mv W l f -

=--m v 2210m mv W fl -=-

-m

fl v v m 2320+=1v W mv =212

1m fl v v 2201-=m

fl v v 220-