2.必修1-基本初等函数

2.必修1-基本初等函数
2.必修1-基本初等函数

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

(1)根式的概念

①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n a 表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号n a -表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.

②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.

③根式的性质:()n n a a =;当n 为奇数时,

n

n a a =;当n 为偶数时,

(0)

|| (0)

n

n a a a a a a ≥?==?

-

①正数的正分数指数幂的意义是:(0,,,m n m n

a a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.

②正数的负分数指数幂的意义是: 11

()()(0,,,m m m n

n n a

a m n N a a

-+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

(3)分数指数幂的运算性质

①(0,,)r

s

r s

a a a

a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

③()(0,0,)r r r

ab a b a b r R =>>∈

【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称

指数函数

定义 函数(0x

y a a =>且1)a ≠叫做指数函数

图象

1a > 01a <<

x

a y =x

y

(0,1)

O

1

y =x

a y =x

y

(0,1)

O

1

y =

定义域 R

值域 (0,)+∞

过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.

奇偶性 非奇非偶

单调性

在R 上是增函数

在R 上是减函数

函数值的 变化情况

1(0)

1(0)1(0)

x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)

x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义

①若(0,1)x

a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.

②负数和零没有对数.

③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式

log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.

(3)常用对数与自然对数

常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么

①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M

M N N

-= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N

a

N =

log log (0,)b n a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式:

log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且

【2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数 函数 名称 对数函数

定义

函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数

图象

1a > 01a <<

定义域 (0,)+∞

值域 R

过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.

奇偶性 非奇非偶

单调性

在(0,)+∞上是增函数

在(0,)+∞上是减函数

函数值的 变化情况

log 0(1)

log 0(1)log 0(01)

a a a x x x x x x >>==<<<

log 0(1)

log 0(1)log 0(01)

a a a x x x x x x <>==><<

a 变化对 图象的影响

在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念

设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子

()x y ?=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ?=,x 在A 中都有唯一确

定的值和它对应,那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数,函数()x y ?=叫做函数

()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.

x y

O

(1,0)1

x =log a y x

=x

y

O (1,0)

1

x =log a y x

=

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=; ③将1()x f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质

①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.

②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.

③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.

④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数y x α

=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).

③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q p

α=

(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q

p

y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p

y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p

y x =是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α

=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下

方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.

〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式:2

()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2

()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:

12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方

便.

(3)二次函数图象的性质

①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2b

x a

=-

顶点坐标是2

4(,)24b ac b a a

--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-

上递减,在[,)2b

a

-+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b

a -∞-

上递增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b

x a =-时,2max 4()4ac b f x a

-=.

③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当2

40b ac ?=->时,图象与x 轴有两个交点

11221212(,0),(,0),||||||

M x M x M M x x a ?=-=

. (4)一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.

设一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令

2()f x ax bx c =++,

从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2b

x a

=-

③判别式:? ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ?

x

y

1

x 2x 0

>a O

?

a

b x 2-

=0

)(>k f k x y

1

x 2x O

?

a

b x 2-

=k

)(

②x 1≤x 2<k ?

x

y

1

x 2

x 0

>a O

?

a

b x 2-

=k 0

)(>k f x

y

1x 2

x O

?

a

b x 2-=k

)(

③x 1<k <x 2 ? af (k )<0

)(

y

1x 2

x 0

>a O

?

k

x y

1

x 2x O

?

k

k f

④k 1<x 1≤x 2<k 2 ?

x

y

1

x 2

x 0

>a O ?

?

1

k

2k 0)(1>k f 0

)(2>k f a

b x 2-

=

x

y

1x 2

x O

?

k ?

2

k 0

)(1

)(2

b x 2-

=

⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2 ? f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合

x

y

1

x 2

x 0

>a O ?

?

1

k

2

k 0)(1>k f 0

)(2

x

y

1x 2

x O

?

?

2

k 0

)(1>k f 0

)(2

⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ? 此结论可直接由⑤推出.

(5)二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01

()2

x p q =

+.

(Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -

<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a

=- ③若2b q a ->,

则()m f q =

①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a

->,则()M f p =

(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -

<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a

=- ③若2b q a ->,

则()M f q =

①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a

->,则()m f p =.

x

>

O

-

=f

(p) f (q)

()

2b f a

-x

>

O

-

=f (p)

f (q)

()2b f a

-

x

>

O

-

=f (p)

f (q)

()2b

f a

-x

>

O

-

=f (p) f (q)

()2b f a

-

0x x

>O -=f

(p) f

(q) ()2b f a

-0x x

-=f (p) f (q) ()2b

f a

-x

<

O

-=f (p)

f

(q)

()

2b f a

-x

<

O

-=f (p)

f

(q)

()2b

f a

-

0x

x

<

O

-

=f (p)

f

(q)

()2b f a

-

x

<

O

-

=f (p)

f

(q)

()2b f a

-

0x

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数

)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即:

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)

(x f y =有零点.

3、函数零点的求法: 求函数)(x f y =的零点:

1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系

起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y .

1)△>0,方程02

=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.

2)△=0,方程02=++c bx ax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)△<0,方程02

=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.

高中数学必修1第二章基本初等函数测试题含答案人教版

《基本初等函数》检测题 一.选择题.(每小题5分,共50分) 1.若0m >,0n >,0a >且1a ≠,则下列等式中正确的是 ( ) A .()m n m n a a += B .1 1m m a a = C .log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 () mn = 2.函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A .(1,2) B .(2,2) C .(2,3) D .2(,2)3 3.已知幂函数()y f x =的图象过点(2, 2 ,则(4)f 的值为 ( ) A .1 B . 2 C .1 2 D .8 4.若(0,1)x ∈,则下列结论正确的是 ( ) A . 12 2lg x x x >> B . 12 2lg x x x >> C .12 2lg x x x >> D .12lg 2x x x >> 5.函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 ( ) A . (3,4) B .(2,5) C .(2,3)(3,5) D . (,2)(5,)-∞+∞ 6.某商品价格前两年每年提高10%,后两年每年降低10%,则四年 后的价格与原来价格比较,变化的情况是 ( )

A .减少1.99% B .增加1.99% C .减少4% D .不增不减 7.若1005,102a b ==,则2a b += ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 8. 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 ( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既奇且偶函数 D .非奇非偶函数 9.函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 ( ) A .(1,)+∞ B .(2,)+∞ C .(,1)-∞ D .(,0)-∞ 10.若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 ( ) A .(0,1) B .(0,2) C .(1,2) D .[2,)+∞ 二.填空题.(每小题5分,共25分) 11.计算:459log 27log 8log 625??= . 12.已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?, , ,则1[()]3 f f = . 13. 若 3())2 f x a x bx =++,且 (2)5 f =,则 (2)f -= .

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正实数b ,使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7.对于函数)(x f ,若存在R x ∈0 ,使00)(x x f =成立,则称点00(,)x x 为函数的不动点。

高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 +1,x∈R },N={y|y =x +1,x∈R },则M∩N=( ) 解:M={y |y =x 2 +1,x∈R }={y |y ≥1}, N={y|y=x +1,x∈R }={y|y∈R }. ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注:集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x |y =x 2+1}、{y |y =x 2 +1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 +1,x ∈R },这三个集合是不同的. 2 .已知A={x |x 2-3x +2=0},B={x |ax -2=0}且A∪B=A,求实数a 组成的集合C . 解:∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2-3x +2=0}={1,2}∴B=或{}{}21或∴C={0,1,2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|,B={}Z a a x x ∈+=,12|,又C={}Z a a x x ∈+=,14|,则有:m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解:∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2-3x -10≤0},集合B={x|p +1≤x≤2p-1}.若B A ,求实数p 的取值范围. 解:①当B≠时,即p +1≤2p-1p≥2.由B A 得:-2≤p+1且2p -1≤5. 由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时,即p +1>2p -1p <2. 由①、②得:p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关A∩B=、A∪B=,A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 5 已知集合A={a,a +b,a +2b},B={a,ac,ac 2 }.若A=B ,求c 的值. 分析:要解决c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. (1)若a +b=ac 且a +2b=ac 2,消去b 得:a +ac 2 -2ac=0, a=0时,集合B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0. ∴c 2 -2c +1=0,即c=1,但c=1时,B 中的三元素又相同,此时无解. (2)若a +b=ac 2且a +2b=ac ,消去b 得:2ac 2 -ac -a=0, ∵a≠0,∴2c 2 -c -1=0, 即(c -1)(2c +1)=0,又c≠1,故c=- 21. 点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集,满足若a∈A,则 a -11∈A ,1≠a 且1?A. ⑴若2∈A,则A 中至少还有几个元素?求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合?请说明理由. ⑶若a∈A,证明:1- a 1∈A.⑷求证:集合A 中至少含有三个不同的元素.

高中数学必修1基本初等函数常考题型幂函数

幂函数 【知识梳理】 1.幂函数的概念 一般地,函数y=xα叫做幂函数.其中x是自变量,α是常数. 2.常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸; 当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数:①y=x3;②y= 1 2 x ?? ? ?? ;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2; ⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为() A.1B.2

C .3 D .4 (2)已知幂函数y =( ) 22 23 1m m m m x ----,求此幂函数的解析式,并指出定义域. (1)[解析] ②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. [答案] B (2)[解] ∵y =() 2 223 1m m m m x ----为幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1. 当m =2时,m 2-2m -3=-3,则y =x - 3,且有x≠0; 当m =-1时,m 2-2m -3=0,则y =x 0,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y =x - 3,{x|x≠0}或y =x 0,{x|x≠0}. 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α (α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件. 【对点训练】 函数f(x)=( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的 解析式. 解:根据幂函数的定义得 m 2-m -1=1.解得m =2或m =-1. 当m =2时,f(x)=x 3在(0,+∞)上是增函数; 当m =-1时,f(x)=x -3 在(0,+∞)上是减函数,不符合要求. 故f(x)=x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图,图中曲线是幂函数y =x α 在第一象限的大致图象,已知α取-2,-12,1 2,2四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4 的α的值依次为( ) A .-2,-12,1 2 ,2 B .2,12,-1 2 ,-2

高中数学必修一函数专项练习

高中数学必修一函数专项练习 1、函数定义:设A 、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数和它对应,那么称 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作:. 其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域,与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合叫值域. 函数的三要素:定义域A 、对应关系f 和值域。 2、函数相同的判别: ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数); ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关. 3、区间及其写法:设a 、b 是两个实数,且aa}=;{x|x ≤b}=;{x|x或()f x =(3)f 2(1)f a -

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳1

高一必修一基本初等函 数知识点总结归纳1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 (1)根式的概念 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ②当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. ③根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ (4)指数函数

〖1.2〗对数函数 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数. ②对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (3)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 (5)对数函数

高一必修一数学抽象函数定义域求法专题讲解及专项练习

函数定义域求法总结 一、定义域是函数)(x f y =中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1。 (5)x y tan =中2ππ+ ≠k x 。 (6)0x 中0≠x 二、复合函数的定义域 题型一、已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出()][x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 例1、已知函数)(x f 的定义域为[]5,2,函数)3(+x f 的定义域为 。 例2、已知函数)(x f 的定义域为[]4,1,函数)2(x f 的定义域为 。 题型二、已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 例3、已知函数)3 (x f 的定义域为[]6,3-,函数)(x f 的定义域为 。 例4、已知函数)23(-x f 的定义域为[]7,4,函数)(x f 的定义域为 。 题型三、已知复合函数()][x g f 的定义域,求()][x h f 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得)(x f 的定义域,再由)(x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 例5、已知函数)14(-x f 的定义域为[]3,1-,函数)3(+x f 的定义域为 。 例6、已知函数)32(+x f 的定义域为[]8,3,函数)2 3( +x f 的定义域为 。

人教版数学高一-人教数学A版必修一第二章《基本初等函数(1)》基础训练(含详细解析)

数学1(必修)第二章 基本初等函数(1) [基础训练A 组] 一、选择题 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( ) A 2 x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2 下列函数中是奇函数的有几个( ) ①11x x a y a +=- ②2lg(1) 33 x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A 1 B 2 C 3 D 4 3 函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A x 轴 B y 轴 C 直线y x = D 原点中心对称 4 已知1 3x x -+=,则332 2 x x - +值为( ) A B C D - 5 函数y = ) A [1,)+∞ B 2(,)3+∞ C 2[,1]3 D 2(,1]3 6 三个数6 0.70.70.76log 6, ,的大小关系为( ) A 60.70.70.7log 66<< B 60.7 0.70.76log 6<< C 0.7 60.7log 66 0.7<< D 60.70.7log 60.76<< 7 若f x x (ln )=+34,则f x ()的表达式为( ) A 3ln x B 3ln 4x + C 3x e D 34x e + 二、填空题 1 985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 2 化简11 410 104 848++的值等于__________ 3 计算:(log )log log 22 22 54541 5 -++=

4 已知x y x y 224250+--+=,则log ()x x y 的值是_____________ 5 方程 33131=++-x x 的解是_____________ 6 函数121 8 x y -=的定义域是______;值域是______ 7 判断函数2lg(y x x =的奇偶性 三、解答题 1 已知),0(56>-=a a x 求x x x x a a a a ----33的值 2 计算100011 3 43460022 ++ -++-lg .lg lg lg lg .的值 3 已知函数2 11()log 1x f x x x += --,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性 4 (1)求函数 2()log x f x -=的定义域 (2)求函数)5,0[,)3 1(42∈=-x y x x 的值域

高中数学必修一函数的概念及其表示

函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设 A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x )和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) x ① A={x x ∈Z},B={y y ∈ Z} ,对应法则 f :x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ,对应法则 f :x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f :x →y= x 2; A .①②③④ B .①②③ C .②③ D .② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同( ) 变式 1. 列图像中,是函数图像的是( ② 变式 2. 已知函数 y=f ( x ),则对于直线 x=a (a 为常数) A. y=f ( x )图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f ( x )图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y =f (x ) ,以下说法正确的有? ( ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ,y 的值也不同 ③f (a ) 表示当 x = a 时函数 f (x ) 的值,是一个常量 A .1 个 B .2 个 C .3 个 D 变式 5.设集合 M ={x|0 ≤x ≤ 2} ,N = {y|0 ≤y ≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函 ,以下说法正确的是( B.y=f ( x )图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f ( x )图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f (x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来 . 4 个 y 2x 1,x ∈ Z 与 y 2x 1, x ∈Z

高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8:函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =()f x 注意:①x A ∈.其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数,且a=+∞,{|}[,)x x a a ≥=+∞,{|}(,)x x b b <=-∞,{|}(,]x x b b ≤=-∞,(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数. 典例分析 题型1:函数定义的考察 例1:集合A=}{40≤≤x x ,B=}{20≤≤y y ,下列不表示从A 到B 的函数是( ) A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2:下列对应关系是否是从A 到B 的函数: ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方; ③B A f Z B Z A →==:,,,求算术平方根; ④B A f Z B N A →==:,,,求平方; ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2:区间的表示 例1:用区间表示下列集合 (1) }{1≥x x =_____________。 (2)}{42≤x x x 且=_____________。 (4)}{3-≤x x =______________。 题型3:求函数的定义域和值域 例1:求函数的定义域 (1)32+=x y (2)1 21 y x =+- (3)2 1-= x y (4)y = (5) 0)1(3 1 4++++ +=x x x y

人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,=0。 注意:(1)n a = (2)当 a = ,当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义:_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3)(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如122 [(1]11-≠ (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数x y a = 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠1 2a>1

注意: 指数增长模型:y=N(1+p )指数型函数: y=k a3 考点:(1)ab =N, 当b>0时,a,N 在1的同侧;当b<0时,a,N 在1的 异侧。 (2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较 幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用(1)的知识。 (3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a,用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p)x 简写:y=ka x 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:log a x N = ( a— 底数, N — 真数,log a N — 对数式) 说明:1. 注意底数的限制,a>0且a≠1;2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数: (1)常用对数:以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为. 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:(1)负数和零没有对数

(完整版)人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数 一.【要点精讲】 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n ②性质:1)a a n n =)(;2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 (2).幂的有关概念 ①规定:1)∈???=n a a a a n (ΛN * ;2))0(10 ≠=a a ; n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ); 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ); 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )。 (注)上述性质对r 、∈s R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数 1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ; 2)以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数,N e log ,记作N ln ; ②基本性质: 1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)01log =a ;

高中数学必修1基本初等函数测试题及答案1

必修1 第二章 基本初等函数(1) 一、选择题: 1.333 4 )2 1 ()21()2()2(---+-+----的值 ( ) A 4 3 7 B 8 C -24 D -8 2.函数x y 24-=的定义域为 ( ) A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 3.下列函数中,在),(+∞-∞上单调递增的是 ( ) A ||x y = B x y 2log = C 31 x y = D x y 5.0= 4.函数x x f 4log )(=与x x f 4)(=的图象 ( ) A 关于x 轴对称 B 关于y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线x y =对称 5.已知2log 3=a ,那么6log 28log 33-用a 表示为 ( ) A 2-a B 25-a C 2)(3a a a +- D 132 --a a 6.已知10< f (3 1)>f (41) B. f (41)>f (3 1 )>f (2) C. f (2)> f ( 41)>f (31) D. f (3 1 )>f (41)>f (2) 11.若f (x )是偶函数,它在[)0,+∞上是减函数,且f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A. ( 110,1) B. (0,1 10 )(1,+∞) C. ( 1 10 ,10) D. (0,1)(10,+∞) x y O x y O x y O x y O

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。 注意: ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数); 注意: ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1

人教版高一数学必修一基本初等函数解析(完整资料)

此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一.【要点精讲】 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n ②性质:1)a a n n =)(;2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 (2).幂的有关概念 ①规定:1)∈???=n a a a a n (ΛN * ;2))0(10 ≠=a a ; n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ); 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ); 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )。 (注)上述性质对r 、∈s R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 称以a 为底N 的 对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数 1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ; 2)以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数,N e log ,记作N ln ;

(新)高中数学必修一函数部分难题汇总

函数部分难题汇总 1.函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是( ) A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 2.为了得到函数(2)y f x =-的图象,可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移, 这个平移是( ) A .沿x 轴向右平移1个单位 B .沿x 轴向右平移 1 2个单位 C .沿x 轴向左平移1个单位 D .沿x 轴向左平移1 2 个单位 3.设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为( ) A .10 B .11 C .12 D .13 4.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域是( ) A .[]052 , B. []-14, C. []-55, D. []-37, 5.函数x x x y += 的图象是( ) 6.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A .)2()1()2 3(f f f <-<- B .)2()2 3()1(f f f <-<- C .)23()1()2(-<-

高一数学必修一基本初等函数知识点总结

〖 2.1〗指数函数 根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数 指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ (4)指数函数 〖2.2〗对数函数 负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. 几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. 常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). 对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么

①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 换底公式的推论: (5)对数函数 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α 是常数.

数学必修1专题1:抽象函数的单调性

数学必修1专题1:抽象函数的单调性 1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析 (1) 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时,0)(>x f .判断)(x f 的单调性并证明. 证明:令0==y x ,则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f 令x y -=,则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =- 在R 上任取21x x , ,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f < 由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数 (2) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+,0, 满足)()()(y f x f xy f +=,且当1>x 时,0)(>x f .判断)(x f 的单调性并证明. 证明:令1==y x ,则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x f -= 任取()∞+∈,,021x x ,且使21x x < 0)()1 ()()()(121212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+,0上为单调递增函数 (3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+,0,且对一切00>>y x ,都有)()()(y f x f y x f -=,当1>x 时,有0)(>x f .判断)(x f 的单调性并证明. 证明:令1==y x ,则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 任取()∞+∈,,021x x ,且使21x x < 则0)( )()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+,0上为单调递增函数 2. 简短评价 (1) 注意三类函数的定义域不同的区别; (2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或x y 1=

相关文档
最新文档