必修五导学案

§1.1.1 正弦定理

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.

如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c

C c

==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C

==

．

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，

有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b

A B

=

， 同理可得sin sin c b

C B =

， 从而sin sin a b A B =

sin c C

=．

类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

sin sin a b A B =

sin c

C =． 试试：

（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =

（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，

即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =

，sin a A =sin c

C ． （3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B

=；

b = ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如sin sin a

A B b

=；sin C = ．

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在ABC ?中，已知45A = ，60B = ，42a =cm ，解三角形．

变式：在ABC ?中，已知45B = ，60C = ，12a =cm ，解三角形．

例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ?=== 中，求和．

变式：在60,1,,ABC b B c a A C ?== 中，求和．

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 正弦定理：

sin sin a b A B =

sin c

C

= 2．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展

1、sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径.

2.正弦定理的变形：

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在ABC ?中，若cos cos A b

B a

=，则ABC ?是（ ）.

A ．等腰三角形

B ．等腰三角形或直角三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4

B ．1∶1∶2

C ．1∶1

D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A B >

B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定

4. 已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．

5. 已知?ABC 中，∠A 60=?，a sin sin sin a b c

A B C

++++= ．

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120?，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学 ※ 探究新知

问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .

∵AC =

， ∴AC AC ?=

同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-

， 2222cos c a b ab C =+-．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2b c a A bc

+-=

， ，

． [理解定理]

（1）若C =90?，则cos C = ，这时222c a b =+

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC 中，a =2c =，150B = ，求b ．

（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．

※ 典型例题

例1. 在△ABC 中，已知a =b =，45B = ，求,A C 和c ．

变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝

9

10

，则BC＝________．

例2. 在△ABC中，已知三边长3

a=，4

b=，c=，求三角形的最大内角．

变式：在?ABC中，若222

a b c bc

=++，求角A．

三、总结提升

※学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的应用范围：

①已知三边，求三角；

②已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展 在△ABC 中，

若222a b c +=，则角C 是_________ 若222a b c +<，则角C 是_________ 若222a b c +>，则角C 是__________

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.

A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．150

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.

A x <<

B x ＜5

C ． 2＜x

D ＜x ＜5

4. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC

|＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．

5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．

1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝

13

14

，求最大角的余弦值．

2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ?

的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（习题课）

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；

2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．

一、课前准备

复习1：在解三角形时

已知三边求角，用 定理；

已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC 中，已知 A ＝

6

π

，a ＝b ＝

二、新课导学 ※ 学习探究

探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.

① A ＝6

π

，a ＝25，b ＝

② A ＝6π，a ，b ＝

③ A ＝6

π

，a ＝50，b ＝

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．

已知边a,b和∠A

有两个解

仅有一个解

无解

CH=bsinA

a=CH=bsinA

a

试试：

1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？

2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？

※典型例题

例1. 在?ABC中，已知80

a=，100

b=，45

A

∠=?，试判断此三角形的解的情况．变式：在?ABC中，若1

a=，

1

2

c=，40

C

∠=?，则符合题意的b的值有_____个．例2. 在?ABC中，60

A=?，1

b=，2

c=，求

sin sin sin

a b c

A B C

++

++

的值．

变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，且1

sin 2

ab C =C ．

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展

在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解；

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3

A B =，

则a b

b +的值=（ ）. A.

13 B. 23 C. 43 D. 5

3

2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°

3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定

4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．

5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．

1. 在?ABC中，a xcm

=，2

b cm

=，45

B

∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．

2. 在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足

222

1

sin

24

a b c

ab C

+-

=，求角C．