2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 学案(人教A版必修二)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、学习目标:
知识与技能：1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念。2．理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。
过程与方法：培养空间想象力。
情感态度与价值观：通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。
二、学习重、难点
学习重点:异面直线的概念、公理4
学习难点:异面直线的概念
三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接:平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，同一平面内两条直线有几种位置关系？相交直线——有且仅有一个公共点平行直线——在同一平面内，没有公共点
五、学习过程:
A 问题1空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？
观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？
思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何？
A问题2：归纳总结，形成概念
异面直线:
A问题3：空间中两条直线的位置关系有三种：A B
A B’
D
C D
B 问题4判断：下列各图中直线l 与m 是异面直线吗?
1 2 3
4 5 6 B 问题5辨析
①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线
④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线
A 例1：如图2.1.2-1，在正方体1111ABCD A BC D -中, 哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线?
图2.1.2-1
B
问题6如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方
体，那么AB 、CD 、EF 、GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？
A 问题7．思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,
那么这两条直线平行。空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?
观察：如图2.1.2-2,长方体1111ABCD A BC D -中,
AA 1∥1BB , AA 1∥1DD ，那么1BB 与1DD 平行吗?
A 问题8．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥b
b ∥c
注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
A 例2：如图在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是A
B 、B
C 、C
D 、DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。
αl
m l m
α
βαl
m
l αβm
l
m
α
β
l m α
β=>a ∥c
A
B
D
C G
E
H
F
A 1
C 1
A 1
B 变式练习：
(1)在例2中, 如果再加上条件AC BD =,那么四边形EFGH 是什么图形?
(2) 把条件改为: E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且
则四边形EFGH 是什么图形?为什么? 六、达标训练
A1．设直线a 、b 分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a 、b 的位置关系是 B2．如图2.1.2-3，在长方体1111ABCD A BC D -中，
（1）若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则EF 和A 1C 1的位置关系是
（2）若E 是AB 的三等分点，F 是AB 、BC 的中点，则EF 和A 1C 1的位置关系是
（1） 图2.1.2-3 （2）
A3 P51习题2.1A 组第6题
B4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面 B5.已知a 、b 是异面直线，c ∥a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
七、小结与反思：
（1）空间中两直线有何位置关系？（平行、相交、异面）
（2）怎样判断两直线是异面直线？（判断关键：既不平行又不相交） （3）什么是平行公理?它的作用是什么?
（平行同一条直线的两条直线互相平行作用：判断两直线平行它将空间平行问题转化为平面内的平行问题）
C
A 1
D 1
E
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
F
CF CG 3
==,CB CD 4
【答案10】空间直线与直线的位置关系1
问题1.共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一个平面内。
思考. 通过观察思考后发现：直线AB ′与直线CC ′既不平行也不相交，还不共面。即不在同一平面内。
问题2. 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。 问题3: 相交：同一平面内，有且只有一个公共点
平行：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 问题4. 1 . 2. 3. 5.是异面直线 问题5. 1和5对
例1. AD 、DC 、1CC 、1DD 、11D C 、11B C 问题6.AB 与GH AB 与CD EF 与GH
问题7.有 平行
例2. （考虑到学生第一次接触空间四边形，先结自制模型简单介绍什么叫空间四边形，再分析如何证明） 分析：如何判定一个四边形是平行四边形？ 怎样证明EH ∥ FG ？证明关键是什么？ 证明：如图,连结BD ．
∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点
∴EH 是△ABD 的中位线 1
2
EH BD = ∴ EH ∥ BD,
同理, FG ∥ BD, 1
2
FG BD = ∴ EH ∥ FG,且EH=FG
∴四边形EFGH 是平行四边形。 变式练习:菱形 梯形
达标:1.相交或异面 2(1)平行(2)异面4. D 5. C
共面直线： C
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线． 知识点二平行直线 1．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示： 2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为 AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1. a∥b b∥c a∥c C D B A1 C B1 D C D
空间直线与直线的位置关系(教学案)
青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校
课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D
1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C
空间中点线面位置关系(经典)
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不
是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理
作业空间中直线位置关系的判断
题型一空间中直线位置关系的判断 【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是____； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 题型二公理4及等角定理的应用 【例2】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点． (1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
【例3】在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。. 【例4】 如图，在正方体AC 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小． 5．已知长方体 1111D C B A A B C D -中，M 、N 分
别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个 （C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥b ，b 与c 所成的角为030，则a 与c 所成的角也为030； （3）a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =
空间直线与直线的位置关系(教案)
课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究
空间直线与直线之间的位置关系
空间直线与直线的位置关系 A.异面直线定义 文字叙述：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 图形表示：如图. 记法：直线a 与b 异面. B.直线与直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系： 2.异面直线的判定方法： 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 注：反证法；反证法是证明两直线异面的主要方法，目前不掌握. 3.平行公理（平行线的传递性） 平行于同一条直线 的两条直线互相平行. 作用：判断空间两条直线平行的依据. 4.等角定理 空间中如果两个角的的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 . 5.异面直线所成的角 （1）定义：设直线,a b 是异面直线，经过空间任意一点O 作a '∥a 、b ∥b '，则把a '与b '所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（夹角）. （2）异面垂直：两条异面直线所成角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.记作a b ⊥. 注：空间垂直关系有相交垂直和异面垂直两种. （3）两条异面直线所成角范围：(0,]2 πθ∈. （4）求异面直线所成角的步骤： 作 、 证 、 求 . 作出异面直线所成角的方法是 平移，平移一条或两条直线，转化为相交线所成的角 . 注：平移过程常利用特殊位置上的点来实现，如利用已有的平行线来实现平移，或利用相似三角形平行关系、平行四边形对边平行关系实现平移 . A .平行公理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上. （1）若E ，F ，G ，H 分别是所在边的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形. （2）要使四边形EFGH 是平行四边形，请问E ，F ，
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
空间中直线间的位置关系
翔宇教育集团课时设计纸 总课题：7.1直线的倾斜角和斜率 总课时2 第2课时 主备人：杨玉叶 课题： 直线的倾斜角和斜率（二） 课型：新授课 教学目的：（1）掌握经过两点的直线的斜率公式。 （2）能结合三角函数和反三角函数知识进行斜率和倾斜角间的转化运算。 （3）准确运用倾斜角和斜率的对应关系解题。 教学重点： 过两点的直线的斜率公式。 教学难点：过两点的直线的斜率公式的建立。 教学过程： 一 复习引入 1.判断正误（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；（2）直线的斜率值为tan β，则该直线倾斜角为β；（3）因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率；（4）因平行y 轴的直线斜率不存在，故平行y 轴的直线倾斜角不存在。 2.直线有倾斜角是直线斜率存在的 条件。 3．直线过A （1，1）B （－1，－1）求直线AB 的倾斜角和斜率。若B 点坐标改为（3，2）或（－3，－2），结果又如何？ 先求倾斜角再求斜率较繁，能否直接用点的坐标表示斜率？ 二 讲授新课 1．斜率公式 P 1（x 1，y 1） P 2(x 2,y 2) 当向量P 1 P 2方向向上时，斜率k= 当向量方向向下,斜率k= 当向量P 1 P 2垂直y 轴时，斜率k= 当向量P 1 P 2垂直x 轴时，斜率k= 综上有：当直线P 1 P 2斜率存在时，斜率k=2 121x x y y -- 指出：（1）斜率公式与两点的顺序无关； （2）若x 1≠x 2 ，y 1 ＝y 2直线平行x 轴或x 轴，k ＝0 （3）若x 1＝x 2 ，y 1≠ y 2直线垂直x 轴 k 不存在。 （4）在同一直线上的任两点所确定的斜率都相等 2.直线的方向向量 直线上的向量P 1 P 2及与它平行的向量都称为方向向量. 思考：（1）方向向量P 1 P 2的坐标为多少？ （2）当x 1≠x 2时向量2 11x x - P 1 P 2是直线P 1 P 2的方向向量吗？坐标为多少？由公式可知：如果知道直线上两点的坐标，即可求出直线的斜率。
空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系 [新知初探] 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法： 2．空间两条直线的位置关系 位置关系特点 相交同一平面内，有且只有一个公共点 平行同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点 [点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面 直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． a∥b b∥c?a∥c. (2)符号表述：} 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. [点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． (2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系
中得到了广泛的应用． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行() (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行() (3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线() (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)× 2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是() A．共面B．平行 C．异面D．平行或异面 解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于() A．30°B．30°或150° C．150°D．以上结论都不对 解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°. 两直线位置关系的判定 [典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． [解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内． (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内． [答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 (1)判定两条直线平行或相交的方法
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线 ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗 ⑤什么是空间等角定理 ⑥什么叫做两异面直线所成的角 ⑦什么叫做两条直线互相垂直
空间中的位置关系1：平面及公理
平面 在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？ 1．平面 通常把水平的平面画成一个__平行四边形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于 其邻边长的__2__倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚线__画出来，如图2所示 (1)用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α [归纳总结]习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面． 2．点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面.
或 [归纳总结]从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示． 3．公理1 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?__l?α__ 4．公理2 A，B，C三点__不共线__?有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α [归纳总结](1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．
(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一，强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．5．公理3 P∈α∩β?α∩β＝l且__P∈l__ 论是“两面共一线，且线过点，线唯一”． 公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面． 预习自测 1．下列命题： (1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(A) A．1B．2 C．3D．4 [解析]因为平面是无限延展的，故(1)错；平面是无厚度的，故(2)错；平面是无限延展的，不可度量，故(3)错；平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确．2．(2018·永春一中高一期末)下列说法正确的是(D) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．共点的三条直线确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 [解析]A中三点共线时为直线，故A错误；B中四边形可为空间四边形，故B错误；
空间直线与直线的位置关系
空间直线与直线的位置关系 新课讲授： 公理4 问题1：平面中直线的平行传递性？ 问题2: 利用教室内实例寻找空间中直线平行的传递性. 公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行. 公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁. （1） 等角定理 问题1：初中学习的等角定理？如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补 空间仍然成立 等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等. 注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视. 证明： （三）例题分析 例1：在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11B C ，AD 的中点，求证 ：EC F A //1 例2 如图，正方体中，过P 作1DD 的平行线 例3 在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：111D AC AC B ∠=∠. 例4 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边中点. （1） 判断四边形EFGH 形状； （2） 若空间四边形中对角线AC=BD ，判断四边形EFGH 形状； （3） 四边形EFGH 什么情况下为矩形？ A B C D
（4） 结合（2）、（3） （5） 第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？ （6） 若E 、H 分别为AB 、AD 中点，F 、G 为CB 、CD 三等分点，且11 ,33 CF CB CG CD = =，判断四边形EFGH 形状. 例5在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是11,AA CC 中点，判断四边形1BED F 的形状并加以证明. 例6 在正方体中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，点G ，H 分别在1111,C D C B 上，且满足11,AE C G AF C H ==，联结11,,,A F A E CH CG ,求证：1EA F GCH ∠=∠ 例7空间四边形ABCD 的各边中点依次为E 、F 、G 、H ，连结EG 、FH. （1）求证：EG 与HF 互相平分 （2）若BD=2，AC=4，求2 2 EG HF +的值. 例7 如图,A 是ΔBCD 所在平面外一点,M,N 分别是ΔABC 和ΔACD 的重心,若BD=6,求MN 的长. 异面直线 一、引入课题 提问：空间中两直线的位置关系：有平行、相交.除此以外，还有其他位置关系吗？ 二、讲授新课 （2） 异面直线 1、定义： 2、与平行直线、相交直线的区别： D C A B M N E F
空间中直线与直线之间的位置关系教案
空间中直线与直线之间的位置关系教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 共面直线
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 第一课时 空间的平行直线 一、知识点回顾与梳理 1、空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 2、平行直线的概念 在同一平面内没有公共点的直线叫做平行直线。 初中平面几何中，有两个重要的结论： ①过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行； ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 这两个结论也可以推广到空间 3、公理4：平行于同一直线的两条直线平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 说明：①公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性， 该公理也称平行公理，根据平行公 理可知：直线间平行的传递性在空间也是成立的； ②几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向； ③ 公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法，重要作用是用它证明等角定理及其推论，为下一步研究异面直线打基础。 4、空间图形的平移 如果空间图形F 的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F '的位置，我们就说图形F 在空间作了一次平移。 5、等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 说明：要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”和“方向相同”这两个条件。如果没有“方向相同”这个条件，两角还有可能互补。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 其中也要注意“所成的锐角或直角”这一条件。 等角定理及其推论表明，角平移后大小不变，说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础，这为异面直线所成的角准备条件。 空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD 叫空间四边形的对角线。 二、典型例题分析与方法总结 问题1：证明空间两条直线平行的方法 证明空间两条直线平行，本章共有五种方法，到本讲为止，可有两种证明方法证明两条直线平行。 （1）用定义证明两条直线平行，需证两个方面：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点； （2）用公理4证明两条直线平行，就是需要找到一条直线c 作桥梁，使得a //c ，同时b //c ，
空间位置关系的判断与证明
空间位置关系的判断与证明模块框架 高考要求
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A = ，简记为l m A = ； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ= ． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容
符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? ⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面， 也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， 符号语言表述：,,A B C 三点不共线?有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈． ⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：,A a A a αβαβ∈?=∈ ． 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 3．平面基本性质的推论： 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． <教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一 个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内． 2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面． 3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到． 4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性． 线线关系与线面平行 1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结
高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角 范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 ： //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线 2 22r rl S ππ+=