中山市2008-2009学年高三第一学期期末统一考试数学科试卷(理科)

广东省中山市2008-2009学年高三第一学期期末统一考试

数学科试卷（理科）

本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）

1．函数2sin(2)2

y x π

=+

是

A ．周期为π的奇函数

B ．周期为π的偶函数

C ．周期为2π的奇函数

D ．周期为2π的偶函数

2．已知物体的运动方程为t

t s 3

2

+

=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻t=2时的速度为 A ．

4

19

B ．4

17 C ．415 D ．413

3．已知7722107)21(x a x a x a a x +???+++=-，那么=+++++765432a a a a a a

A ．－2

B ．2

C ．－12

D ．12

4．已知在等差数列｛n a ｝中,,4,120

1-==d a 若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为 A ．60

B ．62

C ．70

D ．72

5．ABC ?中，若2,3,4===c b a ，则ABC ?的外接圆半径为

A ．

15

15

8 B ．

15

15

16 C ．

13

13

6 D ．

13

13

12

6．若实数y x ,满足条件????

???≥≥≤-+≤-+1

0042052y x y x y x , 目标函数y x z -=2，则

A ．2

5

max =z B ．1max -=z

C ． 2max =z

D ．0min =z

7．底面是矩形的四棱柱'

'''D C B A ABCD -中，5,3,4'===AA AD AB ，?=∠90BAD ，

?=∠=∠60''DAA BAA ，则='AC

A ．95

B ．59

C ．85

D ．58

8．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） 种。

A ．24

B ．28

C ．36

D ．48

第II 卷（非选择题共110分）

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．若数据123,,,,n x x x x 的平均数x =5，方差2

2σ=，则数据

12331,31,31,,31n x x x x ++++ 的平均数为 （2分）

，方差为 （3分）。 10．直线x y 2=与抛物线32

-=x y 所围成图形的面积为 .

11．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos αα

ααα

++-= .

12．已知函数)(x f 满足，00

2)2()(≥

??+=x x x f x f x

，则)5.7(-f = . 13．以下有四种说法：

（1）若q p ∨为真，q p ∧为假，则p 与q 必为一真一假；

B

E

（2）若数列}{n a 的前n 项和为*2,1N n n n S n ∈++= ，则*,2N n n a n ∈=； （3）若0)(0'=x f ，则)(x f 在0x x =处取得极值； （4）由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程 :l y bx a =+，则l 一定

经过点(,)P x y .

以上四种说法，其中正确说法的序号为 ． 14．为迎接校庆，学校准备投入a 元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD 的造价为40元/2

m ，其余的两个半圆及两个圆的造价为20

元

/2

m ．两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD 要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD 的面积越大越好．那么，当矩形ABCD 的

面积达到最大时，

=AB

AD

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）

15. （本题满分12分）

已知向量)sin ,(cos αα=a

, )sin ,(cos ββ=b , 5

52||=-b a .

（Ⅰ）求cos()αβ-的值;

（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5

sin 13

β=-, 求sin α.

16. （本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为114a =

，公比1

4

q =的等比数列，设*)(log 324

1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ?=满足}{.

（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n .

17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.

（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

（II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ====== （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （III ）求点E 到平面ACD 的距离．

19. （本题满分14分）已知423

2)(23

++-=

cx x x x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-，

（1）若f(x)在21+=x 处取得极值，试求c 的值和f(x)的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续光

滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),,(b a c ∈使

得

=)('c f ？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜

率不小于2e-4.

20. （本题满分14分）已知函数()()21f x x ,g x x ==-.

（1）若x R ?∈使()()f x b g x

（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--,且()F x 在[]01,上单调递增,求实数m 的取值范围.

中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷（理科）答案

9． 16 （2分），18 （3分） 10． 3

32 11． 516

12．

2 13． （1） （4） 14． 2

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）

15. （本题满分12分）

已知向量)sin ,(cos αα=a

, )sin ,(cos ββ=b , 5

52||=-b a .

（Ⅰ）求cos()αβ-的值;

（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5

sin 13

β=-, 求sin α.

解：（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,

()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ……………2分

5

-=

a b , 5

=

, ………3分 即 ()4

22c o s 5

α

β--=, ………5分 ()3cos 5αβ∴-=. ……………6分

（Ⅱ）0,0,022ππ

αβαβπ<<

-

<<∴<-< , ……………7分

()3cos 5αβ-= , 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12

cos 13

β=……………9分

()()()

s i n s i n s i n

c o s c o s s i n 11

ααββαββαββ∴=-+=-+-??????

????

分4123533

513513

65

??

=?+?-= ???. ……………12分 16. （本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为114a =

，公比1

4

q =的等比数列，， 设*)(log 324

1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ?=满足}{.

（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n . 解（1）由题意知，*)()4

1(N n a n

n ∈= ，……………2分

又14

3log 2n n b a =-，

故 32(*)n b n n N =-∈……………4分

（2）由（1）知，*)(23,)4

1(N n n b a n n

n ∈-==

*)(,)4

1

()23(N n n c n n ∈?-=∴……………6分

,)41

()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ?-+(?-++?+?+?=∴- ……7分

于是1

432)4

1()23()41)53()41(7)41(4)41(141+?-+(?-++?+?+?=n n n n n S

…………………………9分

两式相减，得

132)41()23(])41()41()41[(34143+?--++++=n n n n S .)4

1

()23(211+?+-=n n …………………………12分

2321()(*)334

n

n n S n N +∴=

-?∈……………12分

17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.

（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

B

E （II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为

33710/7/24C C =…………3分 故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分

（2）设抽取n 件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为3

3

3710

.n n C C C -………

8分

由3

710

7!610!

0.6,,(3)!(10)!10!(10)!

n n C C n n n n ->>?---即

……………9分

整理得：(1)(2)986n n n -->??，……………………11分 ,10,n N n ∈≤ ∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………14分

18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ====== （I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （III ）求点E 到平面ACD 的距离．

解：方法一：

（I

）证明：连结OC

,

,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ………1分 ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥

在AOC ?

中，由已知可得1,AO CO =

而2,AC = 222

,AO CO AC ∴+=

90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥……………3分

又,AO BD BD OC O ⊥= ，

AO ∴⊥平面BCD ……………5分

（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。……………6分 在OME ?中，

111,222

EM AB OE DC =

===……………7分

OM 是直角AOC ?斜边AC 上的中线， 1

1,2

OM AC ∴== ……………8分

cos 4OEM ∴∠=

= ∴异面直线AB 与CD 4；……………9分

（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h

y

,

1

1

(33)

E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --??

=∴= ……………11分

在ACD ?中，2,CA CD AD ===

12ACD S ?∴= ……………12分

而211,22CDE AO S ?==

……………13分

1.7CDE ACD

AO S h S ??∴=

=

=

∴点

E 到平面ACD 的距离为

7

……………14分 方法二：

（I ）同方法一．……………5分

（

II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，

则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(2C A E ………………6分

(1,0,1),(1,BA CD =-=-

…………7分.cos ,BACD BA CD BA CD

∴<>==

(9)

∴异面直线AB 与CD 4；……………10分

（III ）解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =

则

.(,,).(1,0,1)0,

.(,,1)0,

n AD x y z n AC x y z ?=--=??=-=??

……………11分

0,0.

x z z +=??∴-=

令1,y =得(n =

是平面ACD 的一个法向量．……………12分

又1(,

22

EC =- ∴点E 到平面ACD 的距离

.7EC n h n

==

= ……………14分

19. （本题满分14分）已知423

2)(23

++-=cx x x x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-， （1）若f(x)在21+

=x 处取得极值，试求c 的值和f(x)的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续光滑，试

=)('c f ？

猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),,(b a c ∈使得（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不

小于2e-4.

解：（1）c x x x f +-=42)(2'，………1分

依题意，有0)21('=+f ，即 2)21(4)21(22-=+++-=c ．……………2分

4223

2)(23

+--=

∴x x x x f ，242)(2'--=x x x f ． 令,0)('

>x f 得2121+>-

从而f(x)的单调增区间为：),21[]21,(+∞+--∞及；……………5分 （2）'

()()

()f b f a f c b a

-=

-；……………8分

（3）=+-=-)()(2x f e

e x g x

x

4223

223

2+--+

-=-x x x e e x x ，…………9分 =)('x g 24222--++-x x e e x x ……………10分

222(1)4x

x e e x e =++-

-2042 4.e ≥?-=-………12分 由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A 、B ，在A 、B 之间一定存在一点))(,('

c g c C ,使得AB K c g =)('

，又42)('

-≥e x g ，故有42)('

-≥=e c g K AB ，证毕．………14分 20. （本题满分14分）已知函数()()21f x x ,g x x ==-. （1）若x R ?∈使()()f x b g x

（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--,且()F x 在[]01,上单调递增,求实数m 的取值范围. 解：（1）由x R ?∈,

()()f x bg x <，得x R ?∈,20x bx b -+<，……………1分

所以，()2

40b b ?

=-->……………3分

04b b <>解得或；……………4分

（2）由题设得()221F

x x mx m =-+-，……………5分

对称轴方程为2

m x =

，()

222

4154m m m ?=--=-。……………7分 由于()F x 在[]01,上单调递增，则有 (Ⅰ)当0?≤

即55

m -

<<

时,有

m m ≤????

?0m -

≤≤解得。……………9分 (Ⅱ)当0?>

即55

m m <->

时， 设方程()0F

x =的根为()1212x ,x x x <，

①

若5m >,

则

25

m >，有2

1/21,

0(0)10.

m x F m ≥??

②若5m <-,

即25

m <-，有1200x ,x <≤；

122120001011

5x x m x x m m m ≥?

?+

∴?-≥?-≤≤??

?<-??

1m -≤<解得13分

由①②得 125

m m -≤<-≥。 综合(Ⅰ)， (Ⅱ)有 102

m m -≤≤≥或．……………14分