关于复合函数求导法则的证明问题

数学问题 研究

V01.12.No.5

Sep..2009STUDIESINCOLLEGEMATHEMA7FICS高等数学研究6l

关于复合函数求导法则的证明问题’

张通(杭州电子科技大学数学系杭州310012)

摘要举例阐明同济大学应用数学系所编《高等数学》第六版对复合函数求导法则的传统证法

是不严格的.并给出一种严格证法.

关键词复合函数;求导法则;证明;严格.中图分类号0171

关于复合函数求导法则的证明是微积分经典理论遗留下来的值得探讨的一个问题.笔者认为同济大学应用数学系编的《微积分》教材对复合函数求导法则的证明是严格的,而他们编的《高等数学》第六版,对该法则采用传统的证法,其证明是不严格的.鉴于该书发行量很大,对该法则的琏明又是采用传统的证法,涉及面很广.所谓传统证法是指许多教材仿用苏联菲氏[1]对该法则的推导,作为证明.其实菲氏也没有作正式证明[53,下面以上述《高等数学》第六版为传统证法的代表加以讨论.

复合函数求导法则如果U—g(z)在点z可导,而Y=,(越)在点砧一g(z)可导,则复合函数Y—fig(x)]在点X可导,且其导数为

五dy=/(“)・97(z)或磊dy—dydl‘・如du.

传统证法由于Y=厂(“)在点U可导,因此

△.-・-0厶玉Ulim牟2=f7(“),(1)

于是根据极限与无穷小的关系有

i/_X—y=./(“)+a.J……^(2)…

口是Au一0时的无穷小,上式中AU≠o,用Au乘上式两边,得

AY一厂(“)△U+口・AU

△“一0时,规定口2(3)o(口2筮一厂(“)是△乱的函数:口一口(△甜),这函数誊△“20时无

△Y=,(“+A乱)一/。(M)一0,定义,当AU一0时,口一0.今规定aU一0时口一0,则该函数在AU一0处连续).这是因为

而(3)式右端亦为零,故(3)式对AU一0也成立.

用△z≠0除(3)式两边,再在两边各取Ax一0的极限,得

艘筮=…lim[f'(“)筮+口怠/_X].△7.+o[∑z△z斗o£∑Zz“)

根据函数在某点可导必在该点连续,当△z一0时,Au一0,因此

.1im口一lim口一0.

△z一0△‘r.0(5)

于是,根据已知条件.由(4)式,即可获得所证结果.・收稿日期t2008—12一04,修改日期t2009—07—05.万方数据

相关文档
对复合函数求导法则定理证明的探讨
zhyh@csta.org.cn 关于复合函数求导法则定理证明的探讨文 /陈俊 南京晓庄学院...证明 依题意 根据导数定义可得 于是根 据极限与无穷小的关系有 其中 是1 式...
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用
复合函数求导法则的合理证明及典型应用_数学_自然科学_专业资料。总第 262期 2013年1 2月( 上) ||f缸j 毛.f‘ The Science Education Ar 总...
复合函数求导
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数运算 法则,这就是复合函数的导数. ...证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直...
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用
复合函数的求导法则的合理证明及典型应用_专业资料。复合函数的求导法则是高等数学中的重要知识点,对复合函数求导法则理解与掌握的程度,直接影响到学习者学习高等数学的...
关于反函数及复合函数求导法则的证明
关于反函数及复合函数求导法则的证明_专业资料。本文给出了一元函数可导的一个充要条件,并用它推出了反函数、复合函数的求导法则,教学效果良好.第...
2010-2-28 复合函数求导法则
g? 证明 (1)设 x0 不是 I 的端点. 那么 g(x)在 x0 处可导. 若 u0=f(x0)不是 E 的端点, 那么 f(u)在 u0 处可导, 由关于复合函数求导法则(...
导数的运算法则及复合函数的导数
能运用复合函数求导法则进行复合函数的求导. 【核心扫描】 1.对导数四则运算法则的考查.(重点) 2.复合函数的考查常在解答题中出现.(重点) 课前探究学习 ...
关于复合函数的高阶导数公式的证明
关于复合函数的高阶导数公式的证明_数学_自然科学_专业资料。考戒师专李报 ( 劝科 叙 ) 1994 年第4期 在 , , , P it o r B i ,e r . 。 与一...
2-6复合函数的求导法则(链式法则)
模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 微分学 复合函数的求导法则(链式法 则) 导数的四则运算 复合函数 知识内容 1、复合函数求导法则的证明 2、...
关于复合函数求导法则的探
也可以使他们在解题中避免盲目地套用公式 , 从而可以提 "! 高他们对复合函数求导法则内含的认识。 此外, 本文顺便解决了征解问题: 证明当 !$* 时, 8 ! 1’...