关于复合函数求导法则的证明问题

数学问题 研究

V01.12.No.5

Sep..2009STUDIESINCOLLEGEMATHEMA7FICS高等数学研究6l

关于复合函数求导法则的证明问题’

张通(杭州电子科技大学数学系杭州310012)

摘要举例阐明同济大学应用数学系所编《高等数学》第六版对复合函数求导法则的传统证法

是不严格的.并给出一种严格证法.

关键词复合函数;求导法则;证明;严格.中图分类号0171

关于复合函数求导法则的证明是微积分经典理论遗留下来的值得探讨的一个问题.笔者认为同济大学应用数学系编的《微积分》教材对复合函数求导法则的证明是严格的,而他们编的《高等数学》第六版,对该法则采用传统的证法,其证明是不严格的.鉴于该书发行量很大,对该法则的琏明又是采用传统的证法,涉及面很广.所谓传统证法是指许多教材仿用苏联菲氏[1]对该法则的推导,作为证明.其实菲氏也没有作正式证明[53,下面以上述《高等数学》第六版为传统证法的代表加以讨论.

复合函数求导法则如果U—g(z)在点z可导,而Y=,(越)在点砧一g(z)可导,则复合函数Y—fig(x)]在点X可导,且其导数为

五dy=/(“)・97(z)或磊dy—dydl‘・如du.

传统证法由于Y=厂(“)在点U可导,因此

△.-・-0厶玉Ulim牟2=f7(“),(1)

于是根据极限与无穷小的关系有

i/_X—y=./(“)+a.J……^(2)…

口是Au一0时的无穷小,上式中AU≠o,用Au乘上式两边,得

AY一厂(“)△U+口・AU

△“一0时,规定口2(3)o(口2筮一厂(“)是△乱的函数:口一口(△甜),这函数誊△“20时无

△Y=,(“+A乱)一/。(M)一0,定义,当AU一0时,口一0.今规定aU一0时口一0,则该函数在AU一0处连续).这是因为

而(3)式右端亦为零,故(3)式对AU一0也成立.

用△z≠0除(3)式两边,再在两边各取Ax一0的极限,得

艘筮=…lim[f'(“)筮+口怠/_X].△7.+o[∑z△z斗o£∑Zz“)

根据函数在某点可导必在该点连续,当△z一0时,Au一0,因此

.1im口一lim口一0.

△z一0△‘r.0(5)

于是,根据已知条件.由(4)式,即可获得所证结果.・收稿日期t2008—12一04,修改日期t2009—07—05.万方数据

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