初一数学竞赛讲座(1-16讲)

初一数学竞赛讲座(一)

自然数的有关性质

一、知识要点

1、 最大公约数

定义1 如果a 1,a 2,…,a n 和d 都是正整数，且d ∣a 1,d ∣a 2,…, d ∣a n ，那么d 叫做a 1,a 2,…,a n 的公约数。公约数中最大的叫做a 1,a 2,…,a n 的最大公约数，记作(a 1,a 2,…,a n ).

如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.

2、最小公倍数

定义2 如果a 1,a 2,…,a n 和m 都是正整数，且a 1∣m, a 2∣m,…, a n ∣m ，那么m 叫做a 1,a 2,…,a n 的公倍数。公倍数中最小的数叫做a 1,a 2,…,a n 的最小公倍数，记作[a 1,a 2,…,a n ].

如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.

3、最大公约数和最小公倍数的性质

性质1 若a ∣b,则(a,b)=a.

性质2 若(a,b)=d,且n 为正整数，则(na,nb)=nd.

性质3 若n ∣a, n ∣b,则()n b a n b n a ,,=??

? ??. 性质4 若a=bq+r (0?r

性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。

性质5若 b ∣a,则[a,b]=a.

性质6若[a,b]=m,且n 为正整数，则[na,nb]=nm.

性质7若n ∣a, n ∣b,则[]n b a n b n a ,,=??????.

4、数的整除性

定义3 对于整数a 和不为零的整数b ，如果存在整数q ，使得a=b q 成立，则就称b 整除a 或a 被b 整除，记作b ∣a ，若b ∣a ，我们也称a 是b 倍数；若b 不能整除a ，记作b a

5、数的整除性的性质

性质1 若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c

性质2 若c ∣a ，c ∣b ，则c ∣(a ±b)

性质3 若b ∣a, n 为整数，则b ∣n a

6、同余

定义4 设m 是大于1的整数，如果整数a ，b 的差被m 整除，我们就说a ，b 关于模m 同余，记作 a ≡b(mod m)

7、同余的性质

性质1 如果a ≡b(mod m)，c ≡d(mod m)，那么a ±c ≡b ±d(mod m)，ac ≡bd(mod m)

性质2 如果a ≡b(mod m)，那么对任意整数k 有ka ≡kb(mod m)

性质3 如果a ≡b(mod m)，那么对任意正整数k 有a k ≡b k (mod m)

性质4如果a ≡b(mod m)，d 是a ，b 的公约数，那么()???? ?

?≡d m,m mod d b d a

2、 例题精讲

例1 设m 和n 为大于0的整数，且3m+2n=225.

如果m 和n 的最大公约数为15，求m+n 的值

(第11届“希望杯”初一试题)

解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1

因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15

因为 a,b 是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6

从而m+n=15(a+b)=15?7=105

评注：1、遇到这类问题常设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求

值问题。这是一种常用方法。

2、思考一下，如果将m 和n 的最大公约数为15，改成m 和n 的最小公倍数为45，问题

如何解决？

例2 有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？

分析：将问题转化为最小公倍数来解决。

解 设这堆苹果最少有x 个，依题意得

??????????????????=-=-=-=-=-+=+=+=+=+=543215432161514131211

615141312q x q x q x q x q x q x q x q x q x q x 即

由此可见，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍数

因为 [2,3,4,5,6]=60，所以x-1=60，即x=61

答：这堆苹果最少有61个。

例3 自然数a 1，a 2，a 3，…，a 9，a 10的和1001等于，设d 为a 1，a 2，a 3，…，a 9，a 10的最大公约数，试求d 的最大值。

解 由于d 为a 1，a 2，a 3，…，a 9，a 10的最大公约数，所以和a 1+a 2+a 3+…+a 9+a 10＝1001能被d 整除，即d 是1001＝7?11?13的约数。

因为d ∣a k ，所以a k ?d ，k ＝1，2，3，…，10 从而1001＝a 1+a 2+a 3+…+a 9+a 10?10d

所以 10110

1001<≤d 由d 能整除1001得，d 仅可能取值1，7，11，13，77，91。 因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182

其中每一个数都能被91整除，所以d 能达到最大值91

例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数码，从0001到9999号，如果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购物券为幸运券，如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题)

证明：显然，9999的购物券为幸运券，除这张外，若号码为n 的购物券为幸运券，则号码为m=9999-n 的购物券也为幸运券。由于9999是奇数，所以m ，n 的奇偶性不同，即m ≠n ，由于

m+n=9999，相加时不出现进位。就是说，除号码为9999的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为9999，从而可知所有的幸运券的号码之和为9999的倍数。由101∣9999，所以所有幸运券的号码之和能被101整除。

评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。

例5 在1，2，3，…，1995这1995个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a)能整除1995?a (第五届华杯赛决赛试题) 分析：

a a +19951995分子、分母都含有a ，对a 的讨论带来不便，因此可以将a

a +19951995化成a

+?-1995199519951995，这样只有分母中含有a ，就容易对a 进行讨论。 解 ()a

a a a a +?-=+?-+=+19951995199519951995199519951995199519951995 因为(1995+a)能整除1995?a ，所以a a +19951995是整数，从而a +?199519951995是整数 因为1995?1995=32?52?72?192，所以它的因数1995+a 可以通过检验的方法定出。注意

到1?a ?1995，所以 1995<1995+a ?3990

如果1995+a 不被19整除，那么它的值只能是以下两种：

3?52?72=3675，32?5?72=2205

如果1995+a 能被19整除，但不被192整除，那么它的值只能是以下两种：

3?72?19=2793，52?7?19=3325

如果1995+a 能被192整除，那么它的值只能是以下两种：

7?192=252 7，32?192=3249

于是满足条件的a 有6个，即从上面6个值中分别减去1995，得到

1680、210、798、1330、532、1254 评注：本题通过对a

a +19951995的适当变形，便于对a 的讨论。讨论时通过将1995?1995分解质因数，然后将因数1995+a 通过检验的方法定出。这种方法在解决数的整除问题中经常使用。

例6 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？(第四届华杯赛复赛试题)

解 显然11≡1(mod 3)，33≡0(mod 3)，66≡0(mod 3)，99≡0(mod 3)

又 22=4≡1(mod 3)，44≡14≡1(mod 3)，55≡25≡(-1)5≡(-1)(mod 3)，

77≡17≡1(mod 3)，88≡(-1)8≡1(mod 3)

∴11+22+33+44+55+66+77+88+99≡1+1+0+1-1+0+1+1+0≡4≡1(mod 3)

即所求余数是1

评注：用同余式求余数非常方便。

例7 已知： 1991

1991199119911991个=a ，问a 除以13，所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题)

分析：将a 用十进制表示成()199048410

101011991?++++?= a ，1991除以13，所得余数是显然的，主要研究()199048410

10101?++++ 除以13的余数规律。 解 ()199048410101011991?++++?= a

mod 13，103≡(-3)3=-27≡-1，

1+104+108≡1-10+102=91≡0，1991≡2

∴a ≡()41012+?≡()1012-?=-18≡8，即a 除以13，所得余数是8

例8 n 是正偶数，a 1,a 2,…,a n 除以n ，所得的余数互不相同；b 1,b 2,…,b n 除以n ，所得的余数也互

不相同。证明a 1+b 1，a 2+b 2，…，a n +b n 除以n ，所得的余数必有相同的。

证明 ∵n 是正偶数，所以n-1为奇数，∴()2

121-?=-n n n n 不是n 的倍数， ∵a 1,a 2,…,a n 除以n ，所得的余数互不相同，所以这n 个余数恰好是0，1，…，n-1.从而

a 1+a 2+…+a n ≡0+1+…+(n-1)=

()≠-21n n 0(mod n) 同样b 1+b 2+…+b n ≡()≠-2

1n n 0(mod n) 但 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+(a n +b n )= (a 1+a 2+…+a n )+( b 1+b 2+…+b n )

≡()+-21n n ()()n n n n 12

1-=-≡0(mod n) 所以a 1+b 1，a 2+b 2，…，a n +b n 除以n ，所得的余数必有相同的。

例9 十进制中，44444444的数字和为A ，A 的数字和为B ，B 的数字和为C ，求C

分析：由于10≡1(mod 9)，所以对整数a 0，a 1，a 2，…，a n 有

()9 mod 1010100110111a a a a a a a a n n n n n n ++++≡+?++?+?---

它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余。

根据上述结论有 C ≡B ≡A ≡44444444(mod 9).所以只要估计出C 的大小，就不难确定C

解：4444≡7 (mod 9)，而73≡(-2)3=-8≡1(mod 9)，

所以 44444444≡74444=73?1481+1≡7(mod 9)，

所以 C ≡B ≡A ≡44444444≡7(mod 9)，

另一方面，44444444<(105)4444=1022220，所以44444444的位数不多于22220

从而A<9?22220=199980，即A 至多是6位数。所以B<9?6=54

在1到53的整数中，数字和最大的是49，所以C ?4+9=13

在小于13的自然数中，只有7模9同余于7，所以C=7

评注：本题用了十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余这个结论。根据这个结论逐步估

计出C 的大小，然后定出C 。

3、 巩固练习

选择题

1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )

A 、56

B 、78

C 、84

D 、96

2、三角形的三边长a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 的最小公倍数为60，a 、b 的最大 公约数是4，b 、c 的最大公约数是3，则a+b+c 的最小值是（ ）

A 、30

B 、31

C 、32

D 、33

3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )

A 、33

B 、34

C 、35

D 、37

4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是

( ) A 、24 B 、12 C 、6 D 、0

5、若正整数a 和1995对于模6同余，则a 的值可以是( )

A 、25

B 、26

C 、27

D 、28

6、设n 为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n 的最小值是( )

A 、4

B 、8

C 、16

D 、32

填空题

7、自然数n 被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n 的最小值是

8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有 组

9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是

10、有一个11位数，从左到右，前k 位数能被k 整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是

11、设n 为自然数，则3 2 n +8被8除的余数是

12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是

解答题

13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。

14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。

15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数。

16、若a,b,c,d 是互不相等的整数，且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9

求证：4∣(a+b+c+d)

17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？

18、求2400被11除，所得的余数。

19、证明31980+41981被5整除。

20、x i =1或 -1(i=1，2，…，1990)，证明019902199021≠+++x x x

初一数学竞赛讲座(二)

特殊的正整数

4、 知识要点

1、 完全平方数及其性质

定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：

性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。

性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。

性质3 偶完全平方数是4的倍数。

性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。

性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。

2、 质数与合数

定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。

定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做

合数。

1既不是质数也不是合数。

3、 质数与合数的有关性质

a) 质数有无数多个

b) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。

c) 若质数p ∣a ?b ，则必有p ∣a 或p ∣b 。

d) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p.

e) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,

其中p 1

4、 例题精讲

例1 有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是

解 设所求的四位数为m 2，它的百位数字为a ，则有

m 2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)

因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)，

所以11∣(2a+5)，由题意 a+3?9，故a ?6，从而a=3

于是所求的四位数为4356

例2 一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如4802÷2=2401=492=(48+1)2，则具有上述性质的最小四位数是

（1994年四川省初中数学联合竞赛试题）

解 设具有上述性质的四位数是100c 1+c 2，其中10?c 1，c 2?99，按题意，得

100c 1+c 2＝()22122122

121c c c c c c c ++=+，∴100c 1= c 1c 2 (c 1+2)， 即2

10012+=c c ，因而(c 1+2)∣100，又10?c 1?99，所以c 1=18，23，48，98 相应地c 2=5，4，2，1

于是符合题意的四位数是1805，2304，4802，9801，其中最小的是1805

评注：本题根据题意，列出不定方程，然后利用整数的整除性来求解。

例3 三个质数a 、b 、c 的乘积等于这三个质数和的5倍，则a 2+b 2+c 2= (1996年“希望杯”初二试题)

分析：由题意得出abc=5(a+b+c)，由此显然得质数a 、b 、c 中必有一个是5，不妨设a=5，代入前式中再设法求b 、c

解 因为abc=5(a+b+c)，所以在质数a 、b 、c 中必有一个是5，不妨设a=5，

于是5bc=5b+5c+25，即(b-1) (c-1)=6，而6=2?3=1?6，

则???=-=-3121c b ①或?

??=-=-6111c b ② 由①得b=3,c=4，不合题意，由②得b=2,c=7，符合题意。所以所求的三个质数是5，2，7。于是a 2+b 2+c 2=78

评注：质数问题常常通过分解质因数来解决。

例4 试证：一个整数的平方的个位数字为6时，十位数字必为奇数。

分析：一个整数的平方的个位数字为6，则这个整数的个位数字必为4或6，从而可设此数为a=10g+4或a=10g+6 (g 为整数)。

证明：设一个整数为a ，则由一个整数的平方的个位数字为6知，此数可设为

a=10g+4或a=10g+6 (g 为整数)

∴当a=10g+4时，a 2=(10g+4)2=100g 2+80g+16=10(10g 2+8g+1)+6

当a=10g+6时，a 2=(10g+6)2=100g 2+120g+36=10(10g 2+12g+3)+6

∴十位数字必为10g 2+8g+1和10g 2+12g+3的个位数字，显然是奇数。

评注：类似地，可以证明：一个整数的个位数字和十位数字都是奇数，则这个整数不是完全平方数。

例4 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍，已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求每人得糖的块数。（安徽省初中数学联赛试题）

分析：设出未知数，根据题意，列出方程和不等式组，再通过质数的性质来求解。

解 设甲、乙、丙分别得糖x 、y 、z 块，依题意得

??

???++<+++==为质数，且 z y x z y x z y y x 50132

∵ 11＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6，故小于50且数字和为11的质数只可能是29和47

若x+y+z ＝29，则可得4y=42 ，y 不是整数，舍去。

若x+y+z ＝47，则可得4y=60，y ＝15，从而x=30，z=2

∴甲、乙、丙分别得糖30、15、2块.

评注：本题的关键是分析出小于50且数字和为11的质数只可能是29和47。这类问题是常利

用质数的性质来分析求得所有的可能值，再设法检验求得所要的解。

例5 如果p 与p+2都是大于3的质数，那么6是p+1的因数。(第五届加拿大数学奥林匹克试题) 分析 任何一个大于3整数都可以表示成6n-2,6n-1,6n,6n+1,6n+2,6n+3(n 是大于0的整数)中的一

种，显然6n-2,6n, 6n+2,6n+3都是合数，所以大于3的质数均可以写成6n+1或6n-1的形式，问题即证明p 不能写成6n+1的形式。

解 因为p 是大于3的质数，所以可设p=6n+1(n 是大于0的整数)，那么

p+2=6n+1+2=6n+3=3(2n+1) 与p+2是大于3的质数矛盾。

于是p ≠6n+1，所以p=6n-1(n 是大于0的整数)，从而p+1=6n ，即6是p+1的因数。

评注：对大于3整数合理分类是解决这个问题的关键。对无限多个整数进行讨论时，将其转化

为有限的几类是一种常用的处理方法。

例6 证明有无穷多个n ，使多项式n 2+3n+7表示合数。

分析：要使多项式n 2+3n+7表示合数，只要能将多项式n 2+3n+7表示成两个因式的积的形式。

证明 当n 为7的倍数时，即n=7k(k 是大于等于1的整数)时

n 2+3n+7=(7k)2+3?7k+7=7(7k 2+3k+1) 为7的倍数，所以它显然是一个合数。

评注：本题也可将7换成其他数，比如：3、5、11等等。

例7求证：22001+3是合数

分析：22001+3不能分解，22001次数又太高，无法计算。我们可以探索2 n 的末位数字的规律，从

而得出22001+3的末位数字，由此来证明22001+3是合数。

证明：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，29＝256，…

∴24k+1的末位数字是2，24k+2的末位数字是4，24k+3的末位数字是8，24k+4的末位数字是

6（k 为非负整数）

而2001＝4?250+1 ∴22001的末位数字是2，∴22001+3的末位数字是5

∴5∣22001+3，显然22001+3≠5 所以22001+3是合数

评注：本题另辟蹊径，通过探索2 n 的末位数字的规律来得出22001+3的末位数字，从而证明22001+3

是合数。解数学竞赛题，思路要开阔。

例8 求证大于11的整数一定可以表示成两个合数之和。

证明 设大于11的整数为N

若N=3k(k ?4,且k 为整数)，则N=6+3(k-2)，显然6和3(k-2)都是合数

若N=3k+1(k ?4,且k 为整数)，则N=4+3(k-1)，显然4和3(k-1)都是合数

若N=3k+2(k ?4,且k 为整数)，则N=8+3(k-2)，显然8和3(k-2)都是合数

于是对任意正整数N(N>11)，一定可以表示成两个合数之和。

评注：本题是通过对整数的合理分类来帮助解题，这是解决整数问题的一种常用方法。但要注

意对整数的分类要不重复不遗漏。

例9 证明：n (n+1)+1(n 是自然数)不能是某个整数的平方。

分析：注意到n (n+1)+1=n 2+n+1，∵n 是自然数，∴n 2

发点。

证明：n (n+1)+1=n 2+n+1，∵n 是自然数，∴n 2

而n 、n+1是两个相邻的自然数，

∴n (n+1)+1(n 是自然数)不能是某个整数的平方。

评注：本题应用了在两个相邻正整数的平方数之间不可能还存在一个完全平方数这个结论。

例10 如果一个自然数是质数，且它的数字位置经过任意交换后仍然是质数，则称这个数为绝对

质数。证明：绝对质数不能有多于三个不同的数字。

分析：绝对质数中出现的数字不会有偶数，也不会有5，因为有偶数和5它就一定不是绝对质

数，则绝对质数中出现的数字只可能是1，3，7，9。接下来用反证法来证明这个问题。

证明：因为绝对质数的数字位置经过任意交换后仍然是质数，所以绝对质数中出现的数字不会

有偶数，也不会有5，即绝对质数中出现的数字只可能是1，3，7，9。

假设有一个绝对质数M 中出现的数字超过了3个，也即这个绝对质数中出现的数字包含

了1，3，7，9，则

13791379M 211+==M a a a n ，M 2=M+9137，M 3=M+7913，M 4=M+3791，

M 5=M+1397，M 6=M+3197，M 7=M+7139都是质数。

可验证，这七个数中每两个数的差都不能被7整除，说明M 1、M 2、M 3、M 4、M 5、M 6、

M 7被7除所得余数互不相同。因而必有一个是0，即能被7整除，这与此数是质数矛盾。

所以假设不成立，所以绝对质数不能有多于三个不同的数字。

评注：本题是用反证法来证明，对于题目中出现“不”的字眼，常常用反证法来证明。

5、 巩固练习

选择题

1、在整数0、1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ，则x+y+z+u 的值是( )

A 、17

B 、15

C 、13

D 、11

2、设n 为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是（ ）

A 、3n 2-3n+3

B 、5n 2-5n-5

C 、9n 2-9n+9

D 、11n 2-11n-11

3、有3个数，一个是最小的奇质数，一个是小于50的的最大质数，一个是大于60的最小质数，则这3个数的和是( ) A 、101 B 、110 C 、111 D 、113

4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )

A 、4994

B 、9449

C 、4586

D 、86

45 5、a 、b 为正整数，且56a+392b 为完全平方数，则a+b 的最小值等于( )

A 、6

B 、7

C 、8

D 、9

6、3个质数p 、q 、r 满足等式p+q=r ，且p

A 、2

B 、3

C 、5

D 、7

填空题

7、使得m 2+m+7是完全平方数的所有整数m 的积是

8、如果一个正整数减去54，是一个完全平方数，这个正整数加上35后，是另外一个完全平方数，那么这个正整数是

9、一个质数的平方与一个正奇数的和等于125，则这两个数和积是

10、p 是质数，p 2+2也是质数，则1997+p 4=

11、若n 为自然数，n+3，n+7都是质数，则n 除以3所得的余数是

12、设自然数n 1>n 2，且792221=-n n ，则n 1= ，n 2=

解答题

13、证明：不存在这样的三位数abc ，使cab bca abc ++成为完全平方数。

14、试求四位数xxyy ，使它是一个完全平方数。

15、a 、b 、c 、d 都是质数，且10

16、设a 、b 、c 、d 是四个整数，且()()

2222241d c b a cd ab m --+--=是非零整数，求证：m 是合数。

17、求一个三位数，使它等于n 2，并且各位数字之积为n-1.

18、设n 1、n 2是任意两个大于3的质数，M=121-n ，N=12

2-n ，M 与N 的最大公约数至少为多少？

19、证明有无穷多个n ，使多项式n 2+n+41表示合数。

20、已知p 和8p 2+1都是质数，求证：8p 2-p+2也是质数。

初一数学竞赛讲座(三)

数字、数位及数谜问题

6、 知识要点

1、整数的十进位数码表示

一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：

122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---

其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0?a i ?9，a n ≠0.

对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n -

2、正整数指数幂的末两位数字

(1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。

(2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。

3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。

7、 例题精讲

例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得：

(a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988

∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988

比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18

又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0

从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7

故所求的四位数为1997

评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。

例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。

分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。

解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100

由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990。这9个数中，只有954-459=495符合条件。

故495是唯一的三位“新生数”

评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。

例3 从1到1999，其中有多少个整数，它的数字和被4整除？

将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补0)，0000至1999共2000个数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，十位数字从0到9中选择，各有10种。

在千、百、十位数字选定后，个位数字在2到9中选择，要使数字和被4整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为a ，在2，3，4，5中恰好有一个数b ，使a+b 被4整除(a+2、a+3、a+4、

a+5除以4，余数互不相同，其中恰好有一个余数是0，即相应的数被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一个数c(=b+4)，使a+c 被4整除。因而数字和被4整除的有：2?10?10?2=400个

再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在2到9中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2?2?10?2=80个。

在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中，百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2?2?2?2=16个。

最后，千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数，数字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。

于是1到1999中共有400+80+16+1=497个数，数字和被4整除。

例4 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。

分析：把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为：9321a a a a ，其能被27整除。

只需证明从其相邻一位读起的数：1932a a a a 也能被27整除即可。

证明：设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为：9321a a a a 依题意得：9321a a a a =987281101010a a a a +?++?+? 能被27整除。 为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数：1932a a a a 也能被27整除即可。

1932a a a a =197382101010a a a a +?++?+?

∴10?9321a a a a -1932a a a a

=10(987281101010a a a a +?++?+? )-(197382101010a a a a +?++?+? )

=101010109738291?++?+?+?a a a a -(197382101010a a a a +?++?+? )

=()()13191911100011010a a a a -=-=-?

∵()()()

1100010009991100010001100011000223++=++-=- 而999能被27整除，∴10003-1也能被27整除。

因此，1932a a a a 能被27整除。从而问题得证。

评注：本题中，109-1难以分解因数，故将它化为10003-1，使问题得到顺利解决。

这种想办法降低次数的思想，应注意领会掌握。

例5 证明：111111+112112+113113能被10整除

分析：要证明111111+112112+113113能被10整除，只需证明111111+112112+113113的末位数字为0，

即证111111，112112，113113三个数的末位数字和为10。

证明：111111的末位数字显然为1；

112112=(1124)28，而1124的末位数字是6，所以112112的末位数字也是6；

113113=(1134)28?113，1134的末位数字是1，所以113113的末位数字是3；

∴111111，112112，113113三个数的末位数字和为1+6+3=10

∴111111+112112+113113能被10整除

评注：本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。

例6 设P (m)表示自然数m 的末位数，()()n P n P a n -=2

求199521a a a ++的值。

解：199521a a a ++=()()112P P -+()()222P P -+…+()()199519952

P P - =()()()[]()()()[]1995

21199521222P P P P P P +++-+++ =()

()199521199521222+++-+++ P P ∵1995=10?199+5，又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5

∴()()

()51995432119952122222222?+++++=+++P P P =5+5=10 又()??

?

???=+++219961995199521P P =0 ∴199521a a a ++=10 评注：本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。

例7 1111111=+++++？

？？？？？ 请找出6个不同的自然数，分别填入6个问号中，使这个等式成立。(第三届华杯赛口试题)

分析：分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是：

()11111+++=n n n n ，它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。

解：首先，1=2

121+ 从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取n=2可得： 613121+= ∴1=6

13121++ 又利用上面给出的基本等式，取n=3可得：1214131+= ∴ 1=6

11214121+++

再利用上面给出的基本等式，取n=4可得：

2015141+= ∴ 1=6

11212015121++++ 最后再次利用上面给出的基本等式，取n=6可得：

4217161+= ∴ 1=42

1711212015121+++++ 即可找出2，5，20，12，7，42六个自然数分别填入6个问号中，使等式成立。

评注：1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取n 时要适当考虑，如：最后

一步就不能取n=5，因为n=5将产生30161+，而6

1已出现了。 2、本题的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得：

1=6

115611312015121+++++

例8 如图，在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个，每个顶点处只填一个数码，使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等，并且这个和数不能被那个未被填上的数码

整除。求所填入的8个数码的平方和。

(第12届“希望杯”数学竞赛培训题)

解：设a 是未填上的数码，s 是每个面上的四个顶点处所填的数码之和，由于每个顶点都属于3个面，所以

6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a

即6s=3?45-3a ，于是2s=45-a ，可以断定a 是奇数

而a 不整除s ，所以a 只能是7，则填入的8个数码是

1，2，3，4，5，6，8，9，它们的平方和是：

12+22+32+42+52+62+82+92=236

例9在右边的加法算式中，每个 表示一个数字，任意两个数字都不同。试求A 和B 乘积的最大值。

+)

A B

分析：先通过运算的进位，将能确定的 确定下来，再来分析求出A 和B 乘积的最大值。

解：设算式为：

a

b c

+) d e f

g h A B

显然，g=1，d=9，h=0

a+c+f=10+B ，b+c=9+A, ∴A ?6

2 (A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8

要想A ?B 最大，∵ A ?6，∴取A=5，B=3。此时b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故A ?B 的最大值为15.

评注：本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定g ，d ，h ，然后再通过分析、观察得出A 、B 的关系，最后求出A ?B 的最大值。

例10 在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc 。并请这个人算出5个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc 。现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来。(第四届美国数学奥林匹克试题) 解：将abc 也加到和N 上，这样a 、b 、c 就在每一位上都恰好出现两次，所以有

abc +N=222(a+b+c) ①

从而 3194<222(a+b+c)<3194+1000，而a 、b 、c 是整数

所以 15?a+b+c ?18

因为 222?15-3194=136，222?16-3194=358，222?17-3194=580，222?18-3194=802

其中只有3+5+8=16能满足①式，所以abc =358 评注：本题将abc 也加到和N 上，目的是使得由a 、b 、c 组成的6个三位数相加，这样a 、b 、c 在每个数位上出现的次数相同。这一技巧在解决数字问题中经常使用。

8、 巩固练习

选择题

1、两个十位数1111111111和9999999999和乘积的数字中有奇数( )

A 、7个

B 、8个

C 、9个

D 、10个

2、若自然数n 使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时均不产生进位现象，便称n 为“连绵数”。如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“连绵数”，则不超过100的“连绵数”共有( )个

A 、9

B 、11

C 、12

D 、15

3、有一列数：2，22，222，2222，…，把它们的前27个数相加，则它们的和的十位数字是( )

A 、9

B 、7

C 、5

D 、3

4、19932002+19952002的末位数字是( ) A 、6 B 、4 C 、5 D 、3

5、设有密码3?BIDFOR =4? FORBID ，其中每个字母表示一个十进制数字，则将这个密码破译成数字的形式是

6、八位数141?28?3是99的倍数，则?= ，?=

填空题

7、若bbb ab b a =??，其中a 、b 都是1到9的数字，则a= ,b=

8、在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有 个。

9、在六位数25xy 52中y x ,皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数____51=xy 。 10、4343的末位数字是

11、2 m+2000-2 m (m 是自然数)的末位数字是

12、要使等式*

+*=1181成立，*处填入的适当的自然数是 解答题

13、有一个5位正奇数x ，将x 中的所有2都换成5，所有的5都换成2，其他数字不变，得到一个新的五位数，记作y 。若x 和y 满足等式y=2 (x+1)，求x

14、有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数之和为10879，求原数。

15、求出所有满足如下要求的两位数：分别乘以2，3，4，5，6，7，8，9时，它的数字和不变。

16、求12+22+32+42+…+1234567892的末位数

17、求符合下面算式的四位数abcd

abcd

? 9

dcba

18、设123a a a 是一个三位数，a 3>a 1，由123a a a 减去321a a a 得一个三位数123b b b ， 证明：123b b b +321b b b =1089

19、对于自然数n ，如果能找到自然数a 和b ，使得n=a+b+ab,那么n 就称为“好数”。如3=1+1+1?1，所以3是“好数”。在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？

20、AOMEN 和MACAO 分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数，其中不同的字母代表从1到9中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个5位数，求这个和可能的最大值是多少？

初一数学竞赛讲座(四)

有理数的有关知识

9、 知识要点

1、绝对值

x 的绝对值x 的意义如下：x =???<-≥0

0x x x x ，如果，如果 x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0

绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。

2、倒数

1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

3、相反数

绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。

10、 例题精讲

例1 化简 6312-+--+x x x

分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。

解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6

当21-

1<≤-x 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当63<≤x 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10

当x ?6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2

∴原式=???????≥<≤<≤-+-<+-时当，

时当，

时当，时当，6x 2-2x 63 103 42 222121x x x x x 评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。 例2 已知312

351312+----≥--x x x x x ，求的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题) 分析：先解不等式，求出x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。 解：解不等式

2351312x x x --≥-- 得： 117≤x

117 31+--x x 的几何意义是x 到1的距离与x 到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x ?-3时这差取得最大值4，因117≤x ，则当117=x 时这差取得最小值11

33-. 评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。 2、本题求得x 的范围后，也可用零点分段法将31+--x x 化简，然后求出最大值和

最小值。

31+--x x =??

???≤<---=----≤=++-11732231 3 431x x x x x x x ，当时当，

由上式可以看出：当x ?-3时取得最大值4，当117=x 时取得最小值11

33- 例3 解方程0 13.728

11 1415926.3 =--++--y y x x (第六届华杯赛决赛初一试题)

分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。

解：由原方程得

??

???=--+=--)2( 013.72811)1( 01415926.3y y x x 由(1)得：1415926.3-=x x

从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x ，所以x=1.5707963

由(2)得：13.728

11-=+y y 从而 y y y -=+-=+

13.78

11y 13.72811或 所以 y=2001701 或 y=600

1151 于是，原方程的解是 ??????????==== 60011515707963.1 20017015707963.1y x y x 评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求

1415926

.3-=x x 中的x 值也可以用绝对值的几何意义来解，1415926.3-=x x 表示x 到原点与到3.1415926的距离相等，因而x 是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963

例 4 有理数c b a ,,均不为0，且.0=++c b a 设|,|||||||b

a c a c

b

c b a x +++++=试求代数式++x x 99192000之值。(第11届希望杯培训题)

分析：要求代数式++x x 99192000的值，必须求出x 的值。根据 x 的特征和已知条件，分析a 与b+c,b 与a+c ，c 与a+b 的关系，从而求出x 的值。

解：由c b a ,,均不为0，知b a a c c b +++,,均不为0．

∵.0=++c b a ∴).(),(),(b a c a c b c b a +-=+-=+-=

即

,1,1,1-=+-=+-=+b

a c a c

b

c b a 又c b a ,,中不能全同号，故必一正二负或一负二正． 所以b a c a c b c b a +++||,||,||中必有两个同号，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．

∴ ,1||||||±=+++++b a c a c b c b a ∴ .1||||||=+++++=b

a c a c

b

c b a x

因此，20009919+-x x .19022000991=+-=

例5已知a 、b 、c 为实数，且

514131=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，，，求ca

bc ab abc ++的值。 (第8届希望杯试题)

分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。 解：由已知条件可知a ≠0，b ≠0，c ≠0，对已知三式取倒数得：

511 411 311=+=+=+a

c c b b a ，， 三式相加除以2得：6111=++c

b a 因为6111=++=++

c b a abc ca bc ab ，所以ca bc ab abc ++=61

例6 求方程132=-+-x x 的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)

分析：1可以化成：()()32---x x ，于是=-+-32x x ()()32---x x

由绝对值的性质：若ab ?0，则b a b a -=+可得(x-2) (x-3)?0 从而求得x 解：原方程可化为：=-+-32x x ()()32---x x

则 (x-2) (x-3)?0，所以?

?????≥-≤-≤-≥-0302 0302x x x x 或，所以2?x ?3 因此原方程有无数多个解。

评注：本题很巧妙地将“1”代换成()()32---x x ，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。

例7 求关于x 的方程1)a (0 012 <<=---a x 的所有解的和。

解：由原方程得 a x =--12 ，∴a x ±=--12

∵0

从而，x 1=3+a ， x 2=3-a ， x 3=1+a ， x 4=1-a

∴x 1+x 2+x 3+x 4=8，即原方程所有解的和为8

例8 已知：的值，求，且1

01242

2++≠=++x x x a a x x x 。 分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生x x 1+，通过将x

x 1+整体处理来求值。 解：∵a x x x a a x x x 1101

22=++∴≠=++，，且

即a

a a x x a x x -=-=+=++1111 111 而22222224211111111a a a a x x x x x x x -=-??

? ??-=-??? ??+=++=++ ∴a

a x x x 2112

242-=++ 评注：本题通过将x

x 1+

整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。 例9 解方程组????

?????+=+=+=222222

121212y y

z x x y z z x (1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题) 解：观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz ≠0时，将原方程组各方程两边取倒数得：

????

?????+=+=+=)3( 112)2( 112)1( 112222y z x y

z x (1)+(2)+(3)得：2221113222y x z z y x +++=++ ∴01111113222111222222=??

? ??-+???? ??-+??? ??-=+---++z y x z y x z y x ∴0111111=-=-=-z

y x ∴x=y=z=1 故原方程组的解为：??

????????======111

000z y x z y x 或 评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。

11、 巩固练习

选择题

1、若的值是，则a

a a 12=( )A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、以上都不对 2、方程132=-+-x x 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

E 、多于3个

3、下面有4个命题：

①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。

②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。

③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。

④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。

其中正确的命题是：（ ）（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）④和①

4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )

A 、4994

B 、9449

C 、4586

D 、86

45 5、设y=ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y 的值等于( )

A 、-7

B 、-17

C 、17

D 、不确定

6、若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，则a+b+c+d 的最大值是( )

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、-5

填空题

7、设a<0，且x ?21 ,--+x x a

a 则= 8、a 、

b 是数轴上两个点，且满足a ?b 。点x 到a 的距离是x 到b 的距离的2倍，则x=

9、 若()236-+m a 与互为相反数，则=m a

10、计算：=+++++++++++++100

321132113211211 11、若a 是有理数，则|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是＿＿＿.

12、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，化简

._____|1||||1|||=------+c c a b b a

解答题

13、化简：325-++x x 14、已知()200222110112??? ??+??? ??=++-b a b a ，求

15、若abc ≠0，求c

c b b a a ++的所有可能的值 16、X 是有理数，求22195221100++-

x x 的最小值。 17、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a+b+x 2-cdx 的值。

18、求满足1=++b a ab 的所有整数对(a ，b).

19、若631542+-+-+x x x 的值恒为常数，求x 的取值范围及此常数的值。