讲义三角恒等变换1

学生： 柴中仪 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师： 于利

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβαβαβαβααα

αααβα

αβααβα

αα

αα=±=???→=-↓=-=-±±=

?-↓=

-

典型例题

（1）下列各式中，值为

1

2

的是 A 、1515sin cos

B 、2

2

1212cos sin π

π

- C 、22251225tan .tan .- D 、1302

cos +

（2）已知3

5

sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____

（3）131080

sin sin -

的值是______ ； (4)已知0tan110a =，求0

tan 50的值，

课 题

三角恒等变换

教学目标

（1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

（2） 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

(3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式

重点、难点

三角恒等变换公式 三角恒等变换的方法和技巧 考点及考试要求

三角恒等变换公式 三角恒等变换的方法和技巧

教学内容

考点一： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

基本的技巧有: ★★★

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?

，

(

)()

2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等），

例4、821

.,sin ,cos(),cos .1729

αβααββ=-=已知为锐角，

求的值

41

,,cos ,tan(),cos .53

αβααββ=-=-针对性练习、为锐角求的值

3312

5.,sin(),cos(),cos 2.2

4513

π

πβααβαββ<<<

+=--=例已知

求的值

针对性练习

12

cos ,sin ,,0,cos .2923222βαππαβαβαπβ+????-=--=<<<< ? ?????

已知且求

考点二. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。 例1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4

π

α+的值是_____

例2、已知02

π

βαπ<<<<，且129cos()β

α-

=-，2

23

sin()αβ-=，求cos()αβ+

例3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系为_____

考点

(2)三角函数名互化(切割化弦)，

例1、求值sin50(13tan10)+

例2、已知sin cos 2

1,tan()1cos 23

αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值

例1、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____ 例2、设ABC ?中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3

4

sin Acos A =，则此三角形是____三角形

3tan

tan

tan

tan

;12

6

12

6

π

π

π

π

++?例、

针对性练习

tan111tan114tan111tan114?+?+???

例4、tan18tan 423tan18tan 42?+?+???

针对性练习

tan()tan()3tan()tan()6666x x x x ππππ??-++++?-????

考点四、公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。

考点五、常值变换主要指“1”的变换（2

2

1sin cos x x =+， 例1、已知tan 2α=，求2

2

sin sin cos 3cos αααα+-

例2、化简下列各式

(1)1sin ;(2)1cos αα--

1sin 2cos 21sin 2cos 22.(1)

;(2)1sin 2cos 21sin 2cos 2θθθθ

θθθθ

+--+++--化简：

针对性练习

1

sin cos ,0,sin 2cos 2.3

x x x x x π+=<<1.已知求和

两式相加减，平方相加减

34

1.sin sin ,cos cos ,cos().55

αβαβαβ+=+=-例已知求

针对性练习

1、11

cos sin ,sin cos ,sin().23

αβαβαβ+=-=-已知求 2、sin sin sin 0,cos cos cos 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-已知求

13

2.cos(),cos(),tan tan .55

αβαβαβ+=-=例已知求的值

针对性练习

1、11tan sin(),sin(),.23tan ααβαββ

+=

-=已知求的值

一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

1.cos36cos72??例求值：

例2.sin10sin 30sin 50sin 70????

针对性练习1、sin 6sin 42sin 66sin 78????

例3、2345cos cos

cos cos cos 11

11111111

π

ππππ

针对性练习1、cos

cos cos 242

n x x x

考点六、给值求角

要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数

2510

1.,,cos ,sin ,.510

αβαβαβ=

=+例为锐角求的值

针对性练习

1、510,,sin ,sin ,510

αβαβαβ==+已知为钝角且求的值

111

2.,,,tan ,tan ,tan ,.258αβγαβγαβγ===++例为锐角求

例11

3.tan(),tan ,(0,),(0,),2.27

αββαπβπαβ-==-∈∈-已知且求的值

针对性练习 1、2

0,0,3sin sin(2),4tan

1tan ,4422

π

π

α

α

αββαβαβ<<

<<

=+=-+已知且求的值

222.3sin 2sin 1,3sin 22sin 20,,2.αβαβαβαβ+=-=+已知为锐角，求

考点七、三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos 2cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=与升幂公式：

21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

例1、若32

(,)αππ∈，化简111122222

cos α++为_____ 例2、函数2553f (x )sin xcos x cos x =-5

32

(x R )+∈的单调递增区间为

课后练习

一、选择题：

1、 =-0

015cot 15tan （ ） A.2 B.32+ C.4 D. 32- 2．已知θ是第三象限的角，若sin cos sin 4

4

5

9

2θθθ+=

，则等于（ ） A.

22

3

B. -

22

3

C. 43

D. -

2

3

3．0

20

3sin 702cos 10

--=（ ）A. 12 B.

2

2

C. 2

D. 32

4．函数)3

cos(cos π

-

?=x x y 的最小正周期是

（ ）

（A ）π2

（B ）π

（C ）

2

π

（D ）

4

π 5．若παπ223<<，则

α2cos 2

1212121++等于

（ ）

（A ）2

sin

α （B ）2

cos

α

（C ）2

cos

α

-

（D ）2

cos

α

±

6．若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝（ ）

A .2－sin 2x

B .2＋sin 2x

C .2－cos 2x

D .2＋cos 2x

7．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）

Ａ．32

Ｂ．3

Ｃ．

158

Ｄ．

157

二.填空题:

8．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .

9已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπ

θθ?=

<<-1842。 10已知1sin cos 5θθ+=，且324

θππ

≤≤，则cos 2θ的值是 ________ ．

11．已知函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，θ的值是 。 三、解答题：

12．已知α为第二象限角，且 sin α=,415求1

2cos 2sin )

4sin(+++ααπ

α的值. 13．已知232,534cos παππα<

≤=???

?

?

+

求??? ?

?

+42cos πα的值 14．已知21)tan(=β-α，7

1

tan -=β，)0,(,π-∈βα，求β-α2的值。

练习

一、选择题

1．已知(,0)2

x π

∈-，4

cos 5

x =

，则=x 2tan （ ） A ．

247 B ．247- C ．7

24 D ．724-

2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）

A .

5π B .2

π

C .π

D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．无法判定 4．设0

sin14cos14a =+，0

sin16cos16b =+，6

2

c =

，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）

A .周期为

4π的奇函数 B .周期为4

π

的偶函数

C .周期为

2π的奇函数 D .周期为2

π

的偶函数 6．已知2cos 23

θ=

，则44

sin cos θθ+的值为（ ） A ．

1813 B ．1811 C ．9

7

D ．1- 二、填空题

1．求值：0

tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。

2．若

1tan 2008,1tan αα+=-则1

tan 2cos 2αα

+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。 4．已知23

sin

cos

,2

2

3

θ

θ

+=

那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2

B C

A ++取得最大值，且这个最大值为 。

三、解答题

1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.

2．若,2

2

sin sin =

+βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：00100

1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20

-+--

4．已知函数.,2

cos 32sin

R x x

x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.