电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第5章

第五章恒定磁场

5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即0μμ=）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即02=?B 。

证在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由

H B 0μ=及J H =??，得

J B 0μ=??

对等式两边同时取旋度，得

J Β0μ??=???? J Β??=????0μ

但是0=??J ，考虑到恒等式()A A A 2?-???=????，得

()0=???-???B B

又知0=??B ，由上式求得 02=?B 。

5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x 轴放置，如习题图5-2所示。试证在中点P 处，磁感应强度沿x 轴的变化率等于零，即

0d d d d 2

2==x x B

习题图5-2

解设电流环的半径为a ，为了求解方便，将原题中坐标轴x 换为坐标轴z ，如图示。那么，中点P 的坐标为（z ，

0，0），电流环①位于??? ??-2a z 处，电流环②位于??? ?

?+2a z 处。

根据毕奥—沙伐定律，求得电流环①在P 点产生的磁感应强度为

()?

-'-?=

1d 4l I r r r r l B π

取圆柱坐标系，则

φφd d 1Ia I e l =，z z e r =，??? ?

-+='2r z r z r e e r ，

因此

+-??

???

+-?=

?? ??

---?

????

???? ??

---?=π

φπ

φφπ

μφπ

2d 4 22d 4r

r r r Ir r z r z r z r z Ir z

r z

r z r z z r z e e e e e e e e e e e e B

同理可得，电流环②在P 点产生的磁感应强度为

--?

??--?=π

φφπ

μ20

2d 4r

r r Ir r z r z e e e e e B 那么，P 点合成磁感应强度为

21B B B +=

由于1B 和2B 均与坐标变量z 无关，因此P 点的磁感应强度沿z 轴的变化率为零，即

0d d d d 2

2==z z B

B 5-3 已知边长为a 的等边三角形回路电流为I ，周围媒质为真空，如习题图5-3所示。试求回路中心点的磁感应强度。解取直角坐标系，令三角形的

AB 边沿x 轴，中心点P 位于y 轴上，电流方向如图示。

由毕奥—沙伐定律，求得AB 段线电流在P 点产生的磁感应强度为

()?'

-'-?=

l I 301d 4r r r r l B πμ 式中x I I x d d e l -=，a y

e r =，x x e r ='，即 a I x

a x a x I z a a x y x y x πμπμ23363

63d 40223

01e e e e e e B -=-???? ??-?-=?- 由于轴对称关系，可知BC 段及AC 段电流在P 点

产生的磁感应强度与AB 段产生的磁感应强度相等。因此，P 点的磁感应强度为

πμ239301e B B -== 5-4 已知无限长导体圆柱半径为a ，通过的电流为I ，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

解建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z 轴。那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为

I a

r I 22

1ππ=，又φφd d r e l =，则

习题图5-3

I a r l

?=?2

d ππl H 22a rI H πφ=? 即

02a rI

πμφ

e B = 在圆柱外，线积分包围全部电流I ，那么

I l

?=?l H d r

I H πφ2=

即

πμφ

20e B = 5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a ，其内部存在的圆柱空腔半径为b ，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c ，如习题图5-5（a ）所示。若导体中均匀分布的电流密度为0J z e J =，试求空腔中的磁感应强度。

解柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为a ，电流密度为0J 的载流圆柱在柱内半径r 处产生的磁场强度H 1为

1d J r l

π?=?l H 求得

201r J H =

φ，或写为矢量形式 2

1r J H ?=

习题图5-5(a ) 习题图5-5(b )

对应的磁感应强度为

01r

J B ?=

同理可得半径为b ，电流密度为J -的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为

22r J H '

?-=

对应的磁感应强度为

202r J B '?-=μ

上式中r r ',的方向及位置如习题图5-5（b ）示。因此，空腔内总的磁感应强度为

21B B B +=()r r J

'-?=

0μ200c

J x z e e ?=

μ2

00c J y μe =

5-6 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图5-6所示。若圆环半径r =10cm ，电流I = 5A ，试求半圆环圆心处的磁感应强度。

解根据毕奥—沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为

()?

-'-?=

I 3

d 41

r r r r l H π

设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X 轴，如图所示。那么，对于半无限长线段①

x I I x d d e l -=，0=r ，r x y x e e r +-='

因此，在圆心处产生的磁场强度为

()

I r

r x x I z

y x x ππ

4d 410

322

1e e e e H =+-?-=

∞

- 同理线段③在圆心处产生的磁场强度为

习题图5-6

I z

π43e H =

对于半圆形线段②

φφd d Ir I e l =, 0=r , r r e r ='

因此，它在半圆心处产生的磁场强度为

()

I r r Ir z

r 40d 4122

2e e e H ?-

=-?=

φφπ

那么，半圆中心处总的磁感应强度为

()3210H H H B ++=μ)T (107.251246

0-?=??

? ??+=πμr I z

e 5-7 若在a y -=处放置一根无限长线电流I z e ，在y = a 处放置另一根无限长线电流I x e ，如习题图5-7所示。试求坐标原点处的磁感应强度。

解根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于

a y -=处的无限长线电流I z e 在原点产生的磁场为

I x

π21e H -=

位于a y =处的无限长线电流I x e 产生的磁场为

I z

π22e H -=

因此，坐标原点处总磁感应强度为

()210H H B +=μ()x z a

e e +-

=πμ20 Y

-a

X 习题图5-7

5-8 已知宽度为W 的带形电流的面密度s x J e J s =，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。试求),0,0(d P 处的磁感应强

习题

图5-8(a)

习题图5-8(b)

解宽度为y d ，面密度为s J 的面电流可看作

为线电流

y J s d ，其在P 点产生的磁场为

()

()y d d y y

J z y s e e H --+=

22d d π

由对称性可知，z 方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b ）所示，则

()

y w

s d

y y dJ e H ?

+-=20

22d 2πd w J s y 2arctan πe -= 因此，在()d P ,0,0处的磁感应强度为

J s y

2arctan 00πμμe H B -== 5-9 已知电流环半径为a ，电流为I ，电流环位于z = 0 平面，如习题图5-9所示。试求),0,0(h P 处的磁感应强度。解由毕奥—沙伐定律得

习题图5-9

?=l r

I 24d πe l H 因为l d 处处与r e 正交，则φd d a r =?e l 即

=?=2

4d 4d r

Ia r I H r πφπe l 由对称性可知，P 点磁场强度只有z H 分量，所以

(

)

+=π

πφ20

32224d h

a Ia H z (

)

32222h

a Ia +=

因此，()h P ,0,0处的磁感应强度为

(

)

3222

002h

a Ia z

+==μμe H B

5-10 当半径为a 的均匀带电圆盘的电荷面密度为s ρ，若圆盘绕其轴线以角速度ω旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。

解如习题图 5-10所示，将圆盘分割成很多宽度为r d 的载流圆环d I ，它在z 处产生的磁感应强度，根据题5-9结果,得知

(

)

22202d d h

r I

r +=μz

e B

因为 r r r r

I s s d d 22d ωρρπ

π== 习题图5-10

因此

()

+=a

s z

r 0

322

30d 2

ρμe B ???

??-++=z z a z a s z

222

20ωρμe 5-11 已知位于y = 0平面内的表面电流0s z J e J s =，试证磁感应强度B 为

???

????<>-=0 ,20 ,20000y J y J s s μμx x e e B

解有两种求解方法。

解法一：将平面分割成很多宽度为y d 的无限长线电流，那么由题5-8结果获知，当0>y 时

()

200d d y x x

y J s x

+-=πμe B 因此，积分求得

∞

++-=0

0d y x x y J s π

μx

e B 200s x J μe -= 同理，当0

()

200d d y x x y J s +=πμx

e B 那么，积分求得

0s x

J μe B =

解法二：由题5-8知，???<>-=0,0

,00y B y B x x e e B

即 ???<>-=0,0

0y H y H x x e e H

令y < 0的区域中磁场强度为H 1，而y > 0的区域中磁场强度为H 2，那么，在0=y 的边界上，()s y J H H e =-?12。由此求得 002

s J H =

，因此 ???????<>-=0 ,20 ,20000y J y J s s μμx x e e B

习题图5-11

5-12 已知N 边正多边形的外接圆半径为a ，当通过的电流为I 时，试证多边形中心的磁感应强度为

a NI π

πμtan 20 n

e B = 式中n e 为正多边形平面的法线方向上单位矢量。若

∞→N 时，中心B 值多大？

解如习题图5-12所示，载流线圈每边在中心O 处产生的磁感应强度为

()2101cos cos 4θθπμ-=r

e B ????????? ??+-??? ??-??

? ??=N N N a I

ππππππμ2cos 2cos cos 40e ???

??=N a I n ππμtan 20e 所以，N 条边在中心O 处产生的磁场为

a NI N n

πμtan 20 1e B B == 当∞→N 时，a I N a NI n N 2tan 2lim

00μππμe e B n =??

??=∞→

此结果即是半径为a 的电流环在中心处产生的磁感应强度。

5-13 若表面电流s J 位于x x '=平面内，试证

)(0 x x '-=??δμs J B

式中)(x x '-δ为在x '处取极值的一维δ函数。解由安培环路定理得知，?=?l

I 0d μl B

因??=S

d S J I ，再利用斯托克斯定理得

()?????=?l

S B l B d d

习题图5-12

由δ函数的定义可知，一维)(x x '-δ函数的量纲为长度的倒数。因此，()x x s '-δJ 为体电流密度,即

()S J S J d d ?'-=?=??s

s s

x x I δ

()()S J S B d d 0

?'-=?????s

s s

x x δμ

()()0d 0

=?'--???S J B s

s x x δμ

上式对于任何表面都成立，因此被积函数为零，即

()x x s '-=??δμJ B 0

5-14 若位于圆柱坐标系中),(00φr 处的无限长线电流的电流为I ，方向与正Z 轴一致，试证磁感应强度为

000 )

( )( r r r I

z φφδδμ--=??e B

解由δ函数的定义可知，

()()

00r r r φφδδ--为二维δ函数在

圆柱坐标系中的表示，其量纲为面积的倒数。因此，

()()

00r r r I

z φφδδ--e 为位于()00,φr 处的z 方向的电流密度。

那么

()()

S e s J d d 0

00?--=?=??s

z s

r r r I

I φφδδ

由安培环路定律得知，?=?l

I 0d μl B ，即

()()

S e l B d d 0

000?--=???s

z l

r r r I

φφδδμ

再利用斯托克斯定理，()?????=?l

S B l B d d ，求得

()()0d 0000=????

? ??---???s z r r r I S e B φφδδμ 上式对于任何表面均成立，因此被积函数为零，即

()()

000r r r I

z φφδδμ--=??e B

5-15 若无限长的半径为a 的圆柱体中电流密度分布函数a r r r z ≤+= ),4(2e J ，试求圆柱内外的磁感应强度。解取圆柱坐标系，如习题图5-15所示。当a r ≤时，通过半径为r 的圆柱电流为

()

????+=?+=?=πφ20

22d 4d d 4d r

z z s

i r

r r r s r r I e e s J ??? ??+=34382

r r π

由 ?=?l

I 0d μ

l B

求得

??? ??+=230344

r r μφe B

当a r ≥时

()

r r r I a

o d 4d 0

220

?+=??πφ??? ??+=34382

a a π

由 ?=?l

I 0d μ

l B

求得

? ??+=34

03441

a a r μφ

e B 5-16 证明矢量磁位A 满足的方程式J A 0 2μ-=?的解为

V V ''

-'=

d )

(4 0 r r r J A π

μ （提示：利用函数???

??'-?r r 12

在r '处的奇点特性）

。证明

()V V ''-'?=

??'d 4202r r r J A π

()V V '???

? ??'-?'=?'d 142

r r r J π

习题图 5-15

已知

()r r r r '--=???

??'-?πδ412

因此

()()[]V V ''--'=

??'

d 4402r r r J A πδπ

μ()r J 0

μ-=

5-17 已知空间y < 0区域为磁性媒质，其相对磁导率

0 ,5000 >=y r μ区域为空气。试求：①当空气中的磁感应

强度mT )105.0(0y x e e B -=时，磁性媒质中的磁感应强度B ；②当磁性媒质中的磁感应强度mT )5.010(y x e e B +=时，空气中的磁感应强度B 0。

解根据题意，建立的直角坐标如图5-17所示。

① 设磁性媒质中的磁感应强度为

y y x x B B e e B +=

已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。因此

10-=y B ，

.05000μμ=

x B 求得 2500=x B ，10-=y B

即

mT )102500(y x e e B -=

② 设空气中的磁感应强度为

y y x x B B 000e e B +=

则由边界条件获知

0500010

μμ=

B ，5.00=y B

求得

002.00=x B ，5.00=y B

习题图 5-17

即

mT )5.0002.0(0y x e e B +=

5-18 已知均匀绕制的长螺线管的匝数为N ，长度为L ，半径为a ，电流为I ，如习题图5-18(a)所示。试求： ① 螺线管内部中点o 处的磁感应强度；

② 螺线管外部P 点的磁感应强度，图中a d L d >>>>,。

解 ① 螺线管可看作是线密度为

的圆柱面电流，如图习题图5-18(b)所示。由题5-9的结果得知，电流为?

??z L IN d 的电流环在中点o 处产生的磁感应强度为

(

)

22202d d y

a L z

INa z

+=μe B

那么，螺线管在中点o 处产生的总磁感应强度为

(

)

z y

a L INa L L z d 222

3222

-+=μe

B 2204

12L a IN z

=μe

② 为了计算螺线管外的场强，可将螺线管看作为由N 个同轴电流环组成。已知在xoy 平面内，单个电流环I

在??

??2,2,ππr P 点产生的矢量磁位为

=l p R

I πμ4d 0l A

习题图5-18(a)

习题图5-18(b)

式中()φθ''-+'=

c o s s i n 222ra a r R ，

φφ'='d d a e l 。考虑到

a r >>，那么

??'''+'≈φθcos sin 111r a r R ?''??

??'''+'=πφφφφθπμ200d cos cos sin 14r a r Ia p e A ()θμφ''=sin 4220r Ia e 因此

()

()θθμθ'+''=

??=sin cos 243

0e e A B r p p r Ia

当电流环位于xoy 平面时，2

θ=

'，r ' = d ，那么，在

??2,2,ππd P 处产生的磁感应强度为 3

04d Ia P μθ

e B =

考虑到L d >>，对于P 点而言，可以认为每个电流环均处于xoy 平面内。因此，P 点磁感应强度增加N 倍，即

04d NIa N P μθ

e B B ==

5-19 根据式（5-2-9b ），证明 0=??A 。证明式（5-2-9b ）为

()V V ''

-'=?

'd 4r r r J A πμ

则

()()V V ''-'??=???'d 4r r r J r A π

μ()V V '

???

??'-??'=

?d 14'r r r J πμ

()V V '????

??'-?'?'-

=?d 14'r r r J π

μ()()V V V V ''-'??'+'???

?????'-'??'-

=??''d 4d 4r r r J r r r J πμπ

利用高斯定理，同时考虑到()0='??'r J ，求得

()

S r r r J A '?'-'-

=???d 4s π

但由电流连续性原理获知，

()

0d ='?'-'?S r r r J s 。因此，

0=??A 。

5-20 证明在边界上矢量磁位A 的切向分量是连续的。解已知磁通m Φ与矢量磁位A 的关系为

??=l

m l A d Φ

类似证明磁场强度的切向分量是连续的方法，紧靠边界作一个闭合矩形方框。当方框面积趋近零时，穿过方框的磁通m Φ也为零，那么求得

0d =??l

l A

这样，由此获知t t 21A A =，即边界上矢量磁位A 的切向分量是连续的。

5-21 当磁导率为μ的磁棒插入电流为I 的螺线管中，若单位长螺线管的匝数为N ，磁棒的半径为a ，螺线管的内径为)(a b b >。试求：①a r <及b r a <<区域中的磁感应强度B ，磁场强度H 及磁化强度m P ；②磁棒中的磁化电流

密度J '及磁棒表面的表面磁化电流密度s J '。解 ① 根据题意，螺线管中磁棒位置如图5-22所示。取圆柱坐标系，且令螺线管的轴线与z 轴一致。作一个矩形闭合回路，其中AB 和CD 边垂直于螺线管壁，AD 边紧靠在螺线管外壁，BC 边平行

于螺线管内壁，其长度为l 。沿该矩形闭合回路积分

，由

习题图 5-22

安培环路定律知

INl ABCD

=??l H d

可以认为，螺线管中的磁场强度方向均与螺线管的轴线平行，螺线管外附近无漏磁。那么当矩形回路的BC 边位于磁棒内时，若令磁棒内的磁场强度为H 1，则上述闭合积分变为

Nl I BC

=?l H d 1IN z e H =?1

因此，磁棒内的磁场强度为 IN z e H =1 磁棒内的磁感应强度为 IN z μe B =1

磁棒内的磁化强度为

()IN r z m 110

1-=-=

μμe H B P

若令磁棒与螺线管壁之间的磁场强度为H 2，则上述闭合积分变为

=?BC

INl l H d 2 IN z e H =?2

磁棒与螺线管壁之间的磁感应强度为

IN z 02μe B =

磁棒与螺线管壁之间磁化强度为

0100202

2=???

??-=-=

IN z m μμμe H B P ② 磁棒中的磁化电流密度为

0)1(1=-??=??='z r m IN e P J μ

磁棒侧面的表面磁化电流密度为

()()IN IN r r r z n m s

111-=?-=?='μμφe e e e P J 5-22 已知半径为a 的铁氧体球内部的磁化强度

m z m P 0e P =，试求：①球内磁化电流密度J '及球面的表面磁化电流密度s

J '；②磁化电流在球心处产生的磁感应强

度B 。

解 ① 球内磁化电流密度为

()

00=??=??='m z m P e P J

球面的表面磁化电流密度为

()r m r m z n m s

P P e e e e e e P J r ?-=?=?='00sin cos θθθθφsin 0m P e = 由题5-9的结果获知，位于θ处宽度为θd a 的环行电

流θd a s J '在球心产生的磁感应强度B d

()3

22d sin d a

a a J s z

θμ'=e B

那么，整个球面上磁化电流在球心产生的磁感应强度为

θθ

μπ

d 2

sin 0

30?

=m z P e B m z

P 03

μe = 5-23 当磁矩为25Am 2的磁针位于磁感应强度B = 2T 的均匀磁场中，试求磁针承受的最大转矩。

解当磁矩方向与磁感应强度方向垂直，即夹角2

θ=

时，

磁针承受的转矩最大，因此磁针承受的最大转矩为

sin

max π

ΒΡT m =Nm 501225=??=

5-24 已知体积为1m 3的均匀磁化棒的磁矩为10Am 2，若棒内磁感应强度T 02.0z e B =，z e 为轴线方向。试求棒内磁场强度。

解由磁化强度定义，求得棒内磁化强度为

A/m 10==

M 那么，棒内磁场强度为

? ??-?=-=

-1010402.070πμz e M B

H A/m 1059.14

?=z e 5-25 已知位于坐标原点的磁化球的半径为a ，若球内的磁化强度)(2B Az z +=e M ，式中A ，B 均为常数，试求球

内及球面上的磁化电流。

解球内的磁化电流密度为

()

02=+??=??='B Az z e M J

因此，球内的磁化电流为零。

球面上的表面磁化电流密度为

()[]

()r n s

B a A e e e e M J r ?-+=?='θθθθsin cos cos 2

()

θθφsin cos 22B Aa +=e 位于θ处宽度为θd a 的环形电流为

θd d a s

J Ι'=()

θθθφd sin cos 22B Aa a +=e 因此，球面上的总磁化电流为

()

θθθθπφd sin sin cos 0

23?+=Ba Aa e Ι??

? ??+=Ba Aa 2323φe