2016年初三数学创新杯竞赛试卷(含答案)
2014年湖州市初三数学竞赛试题
(2014年12月14日 上午9:00—11:00)
题 号 一 二 三
总分 1-8 9
-14 15 16 17 18 得 分 评卷人 复查人
答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线.
3.可以用计算器
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分).
1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0,在数轴上给出了如图所示的关于a ,b 的四种位置关系,则可能成立的有( )
A .1种
B .2种
C .3种
D .4种
2.已知a 是方程3
310x x +-=的一个实数根,则直线1y ax a =+-不经过( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3. 2612111012111010(2)x x a x a x a x x a --=++++…+a ,则12108642a a a a a a +++++=( )
(A )64 (B )32 (C ) -32 (D )-64
4. 如图,四边形ABCD 是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF 的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
23-π332-π2
332-π3-π第4题
5. A 、B 、C 三个足球队举行单循环赛,下表给出了部分比赛信息:
则A 、B 两队比赛时,A 队与B 队进球数之比为( ) A.2∶0 B.3∶0 C.2∶1 D.3∶1
6.定义新运算: a ⊕b=???
??≠>-≤-)0()(1b b a b
a b a a 且,则函数y=3⊕x 的图象大致是( )
7..如图,∠XOY =90°,OW 平分∠XOY ,P A ⊥OY ,PB ⊥OX ,PC ⊥OW . 若OC =2-1,则OA +OB +OC =( )
A .3
B . 2
C .1
D .
2
1
8.我们用()f x 代替函数中的变量y ,如:3y x =+可以记作()3f x x =+,“当x =1,y =4”
可以记作“(1)4f =”.现有函数1()2f x x =,22
()f x x
=
,3()6(1)(2)f x x x =---,记k I =100(1)99k k f f ??-+ ???1001019999k k f f ????-+ ? ?????197(2)99 k k f f ??
+- ???
, 其中k =1,2,3,则下列结论正确的是( )
A .123I I I <<
B .213I I I <<
C .231I I I <<
D .321I I I << 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.有一组数满足, ,2 ,0 ,2 ,0,2,14635241321 =-=-=-=-==a a a a a a a a a a
按此规律进行下去,则=++++100321a a a a ___________.
球队 比赛场次 胜 负 平 进球数 失球数 A 2 2场 1 B 2 1场 2 4 C 2 3 7
B
C
O
y
x
P W
第7题图
A
10.如图,菱形ABCD 的边长为a ,点O 是对角线A C 上的一点, 且OA =a ,O B =OC =OD =1,则a 的值等于__________.
11.直线k x y +=
2
1
与x 、y 轴的交点分别为A 、B ,如果S △AOB ≤1, 那么k 的取值范围是 。
12.如图,在圆O 中有折线ABCO ,BC=6,CO=4,
60B C ∠=∠= ,则AB 的长为
13.如图,直线12y k x =+ 与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ,点C 、D 在线段
AB 上.若反比例函数
2
k y x
=
的图象经过点C 、D ,且BD =CD , 则
的值等于 。
14.二次函数a ax x y ++=22
在21≤≤-x 上有最小值4-,则a 的值为___________.
C O
B
A
第12题
C
D
B
A x
y O
第13题
21k k ? A
B
C
D
O 第10题
三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)
15.如图,点A(m,6),B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5.
(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连接AB,在线段DC上是否存在一点E,使△ABE的面积等于5?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
第15题
16. 下面图像反映的是甲、乙两人以每分钟80米的速度从公司出发步行到火车站乘车的
过程.在去火车站的途中,甲突然发现忘带预购的火车票,于是立刻以同样的速度返回公司,然后乘出租车赶往火车站,途中与乙相遇后,带上乙一同到火车站,结果到火车站的时间比预计步行到火车站的时间早到了3分钟.
⑴甲、乙离开公司 分钟时发现忘记带火车票;图中甲、乙预计步行到火车站时路程s 与时间t 的函数解析式为 ;(不要求写自变量的取值范围) ⑵求出图中出租车行驶时路程s 与甲、乙两人出发时间t 的函数解析式;(不要求写自变量的取值范围)
⑶求公司到火车站的距离.
480
12
16
O
t S
A
B
C
(米)
(分钟)
第16题
17甲. (S )
已知,如图:在ABC ?中,1
90,2
C AC BC ∠=?=
.以BC 为底作等腰直角BCD ?,E 是CD 的中点,求证:AE EB ⊥.
17乙. (T )
已知,如图:在ΔABC 中,AB=AC ,∠BAC=80°,O 是ΔABC 内一点,∠OBC=10°,
∠OCA=20°.求∠OAC 的度数.
第17题 A B
C
O
18.如图,已知抛物线y=ax2+bx经过点A(10,0)和B(8,4).点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线段,与直线OB交于点C,延长PC到Q,使QC=PC.过点Q的直线分别与x轴、y轴相交于点D、E,且OD=OE,直线DE与直线OB相交于点F.设OP=t.
(1)请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式;
(2)当点Q落在抛物线上时,求t的值;
(3)连结BD:
①请用含t的代数式表示点F的坐标;
②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时,求t的值.
O A
B
x y
P
Q
C
E
D
F
第18题
2014年湖州市初三数学竞赛试题评分意见与参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8. B
二、填空题(共
6小题,每小题5分,满分30分) 9.2600 10. 11.-1≤k ≤1
12.10 13.8
9- 14. 5或2
171-,
三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分) 15.解:由题意,得:
,解得:
, ∴A (1,6),B (6,1),------------- 4分
设反比例函数解析式为y = ,将A (1,6)代入得:k =6,
∴ 反比例函数解析式为y = ; ---------------------- 2分
(2)存在,设E (x ,0),则DE =x ﹣1,CE =6﹣x , ∵AD ⊥x 轴,B C ⊥x 轴,∴∠ADE =∠BCE =90°,
连接AE ,BE ,
则S △ABE =S 四边形ABCD -S △ADE -S △BCE
=
(BC +AD )?DC -DE ?AD -CE ?BC = =5; ------- ------------- 4分 解得:x =5,∴ E点坐标为(5,0).------------- 2分 16. (1) 6 S=80t ----- ------- -------------4分 (2)点B 的坐标为(16,1280)
∵ 直线BC 过点(12,0)和(16,1280)
∴ 解得:
S=320t -3840 ------ -------.------ -------------.4分 (3)设原来预计x分钟到达火车站,则由题意得 解得x=20,80x=1600米
即公司到火车站的距离为1600米 .------ -------------.4分
x
k x
6
21
[])535
(2
1
x -??
?=+=+128016012b k b k ??
?-==3840
320b k 3840)3(32080--=x x 2
15+
17(甲). 证明:
过E 作//EF BC 交BD 于F 135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=?
45135DFE DBC EFB ∠=∠=??∠=? -------.2分
又11
//22
EF BC
AC BC =
EF AC ∴= ------ -------.------ -------------.4分
CE FB = -----.------ -------------.2分
90CEA DBE
EFB ACE DBE DEB ∠=∠?
∴????
?∠+∠=??
又 -----.------ -------------.2分
90DEB CEA ∴∠+∠=? ------ -------.------ -------------.1分
故90AEB ∠=? ------ -------.------ -------------.1分
AE EB ∴⊥
17(乙).解:
作∠CBD=10°,且BD=BA ---.------ -------------.2分 则ΔABD 是等边三角形,
∴ AD=AB , ---.------ -------------.2分 又AB=AC ,∴ AD=AC ,
∠DAC=80°-60°=20° ∴ ∠ACD=80°----------.2分 ∴ ∠BCD=80°-50°=30°=∠BCO ∴ ΔBDC ≌ΔBOC ---.------ -------------.2分 ∴ BO=BD=AB
∵ ∠ABO=40°,∴ ∠BAO=70° ---.------ -------------.2分 ∴ ∠OAC=10° ------ -------.------ -------------.2分
18. 解:
(1)抛物线的函数解析式是215
42y x x =-+,- ---------2分
直线OB 的函数解析式是1
2
y x =; - ---------2分
(2)∵OP =t ,PC ⊥x 轴于点P ,交直线OB 于点C , ∴PC =1
2
t ,∴PQ =t ,即Q (t ,t ),------ -----------.2分
当点Q 落在抛物线上时,215
42
t t t =-+,
解得:6t =; ------ -----------.- ---------2分
O A
B
x
y
P Q C
E
D F
G A
B C
O
D
(3)①作FG⊥x轴于点G,设FG=n,
由(2)得:PQ=t,∵OD=OE,OD⊥OE,∴45
ODE
∠=?,∴△PDQ是等腰直角三角形∴PD= PQ=t,∴OD=2t,
同理可得:FG= DG=n,∴OG=2t n
-,
将x=2t n
-,y=n代入
1
2
y x
=得:
2
3
n t
=,
∴OG=4
3
t,∴F(
4
3
t,
2
3
t);-----------------.----------2分
②由(3)①得:OF =2225 3
FG OG t
+=,2222 3
FD FG DG t
=+=,∵22
ED t
=,45
OB=,
∴BF =
25
45
3
OB OF t
-=-,
4
2
3
EF ED FD t
=-=,
Ⅰ.当点F在射线OB的点B的右侧时:∠BFD>90°,而△OEF中无钝角,故此时△OEF 与△DBF不相似;
Ⅱ.当点F在线段OB上时:
∵∠OFE=∠BFD,∴OE和BD是对应边,
当△OEF∽△DBF时,OF EF
DF BF
=,即
254
2
33
2225
45
33
t t
t t
=
-
,解得:
10
3
t=,
当△OEF∽△BDF时,OF EF
BF DF
=,即
254
2
33
2522
45
33
t t
t t
=
-
,解得:4
t=.
∴
10
3
t=或4.-----------------.----------4分