工程流体力学第二版答案
课后答案网 工程流体力学 第二章 流体静力学
2-1.一密闭盛水容器如图所示,U 形测压计液面高于容器内液面h=1.5m ,求容器液面的相对压强。
[解] gh p p a ρ+=0
kPa gh p p p a e 7.145.1807.910000=??==-=∴ρ
2-2.密闭水箱,压力表测得压强为4900Pa 。压力表中心比A 点高0.5m ,A 点在液面下1.5m 。求液面的绝对压强和相对压强。
[解]
g p p A ρ5.0+=表
Pa g p g p p A 49008.9100049005.10-=?-=-=-=ρρ表 Pa p p p a 9310098000490000
=+-=+=' 2-3.多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m 。试求水面的绝对压强p abs 。
[解]
)2.13.2()2.15.2()4.15.2()4.10.3(0-+=-+---+g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ1.13.11.16.10+=+-+
kPa g g p p a 8.3628.9109.28.9106.132.2980009.22.2330=??-???+=-+=水汞ρρ
2-4. 水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ,U 形压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。试求A 、B 两点的压强差。(22.736N /m 2)
[解] 221)(gh p h h g p B A 水银水ρρ+=++
Pa h h g gh p p B A 22736)2.02.0(8.9102.08.9106.13)(33212=+??-???=+-=-∴水水银ρρ
2-5.水车的水箱长3m,高1.8m ,盛水深1.2m ,以等加速度向前平驶,为使水不溢出,加速度a 的允许值是多少?
[解] 坐标原点取在液面中心,则自由液面方程为:
x g
a
z -
=0 当m l
x
5.12-=-
=时,m z 6.02.18.10=-=,此时水不溢出 20/92.35
.16
.08.9s m x gz a =-?-=-=∴
2-6.矩形平板闸门AB 一侧挡水。已知长l=2m ,宽b=1m ,形心点水深h c =2m ,倾角α=45,闸门上缘A 处设有转轴,忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。
[解] 作用在闸门上的总压力:
N A gh A p P c c 392001228.91000=????=?==ρ
作用点位置:m A y J y y c c c D 946.21245
sin 221121
45sin 2
3
=????+=+=
m l h y c A 828.12
2
45sin 22sin =-=-=
α )(45cos A D y y P l T -=?∴
kN l y y P T A D 99.3045cos 2)
828.1946.2(3920045cos )(=?-?=-=
2-7.图示绕铰链O 转动的倾角α=60°的自动开启式矩形闸门,当闸门左侧水深h 1=2m ,右侧水深h 2=0.4m 时,闸门自动
开启,试求铰链至水闸下端的距离x 。
[解] 左侧水作用于闸门的压力:
b h h g
A gh F c p ??==
60sin 21
1111ρρ 右侧水作用于闸门的压力:
b h h g A gh F
c p ??== 60
sin 22
2222ρρ )60sin 31()60sin 31(2
211
h x F h x F p p -=-∴ )60sin 31(60sin 2)60sin 31(60sin 22
22111
h x b h h g h x b h h g -?=-??ρρ
)60sin 31()60sin 31(22
2121
h x h h x h -=-? )60sin 4.031(4.0)60sin 231(22
2
-?=-??x x m x 795.0=∴
2-8.一扇形闸门如图所示,宽度b=1.0m ,圆心角α=45°,闸门挡水深h=3m ,试求水对闸门的作用力及方向
[解] 水平分力:
kN b h h g A gh F x c px 145.4432
.381.910002=???=??==ρρ
压力体体积:
3
2
22
21629.1)45sin 3
(8]321)345sin 3(3[)45sin (8]21)45sin (
[m h h h h h V =-?+-?=-+-=
ππ
铅垂分力:
kN gV F pz 41.111629.181.91000=??==ρ
合力:
kN F F F pz px p 595.4541.11145.44222
2=+=+=
方向:
5.14145
.4441
.11arctan
arctan
===px
pz F F θ
2-9.如图所示容器,上层为空气,中层为
3
m N 8170=石油ρ的石油,下层为
3m N 12550=甘油ρ
的甘油,试求:当测压管中的甘油表面高程为9.14m 时压力表的读数。 [解] 设甘油密度为1ρ,石油密度为2ρ,做等压面1--1,则有
)66.362.7()66.314.9(211?-?+=?-?=g p g p G ρρ g p g G 2196.348.5ρρ+= g g p G 2196.348.5ρρ-=
96.317.848.525.12?-?=
2kN/m 78.34=
2-10.某处设置安全闸门如图所示,闸门宽b=0.6m ,高h 1= 1m ,铰接装置于距离底h 2= 0.4m ,闸门可绕A 点转动,求闸门自动打开的水深h 为多少米。 [解] 当2h h h D
-<时,闸门自动开启
612121)2
(121)2(113
1
1-+
-=-+-=+=h h bh h h bh h h A h J h h c C c D 将D h 代入上述不等式
4.06
12121-<-+-h h h
1.06
121
<-h
得 ()m 3
4
>h
2-11.有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s 2沿与水平面成30o 夹角的斜面向上运动,试求容器中水面的倾角。 [解] 由液体平衡微分方程
)d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρ
030cos a f x -=,0=y f ,)30sin (0a g f z +-=
在液面上为大气压,0d =p
0d )30sin (d 30cos 00=+--z a g x a
269.030sin 30cos tan d d 00=+==-a g a x z α 015=∴α
2-12.如图所示盛水U 形管,静止时,两支管水面距离管口均为h ,当U 形管绕OZ 轴以等角速度ω旋转时,求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax 。
[解] 由液体质量守恒知,I 管液体上升高度与 II 管液体下降高度应相等,且两者液面同在一等压面上,满足等压面方程:
C z g
r =-22
2ω
液体不溢出,要求h z z 2II I ≤-,
以b r a r ==21
,分别代入等压面方程得:
2
22
b a gh
-≤ω
2
2max 2
b a gh -=∴ω
2-13.如图,060=α
,上部油深h 1=1.0m ,下部水深h 2=2.0m ,油的重度γ
=8.0kN/m 3,求:平板ab 单位宽度上的流体静
压力及其作用点。
[解] 合力
kN
2.4660sin 60sin 2160sin 21021022011=+油水油h h h h h h b P γγγ+=Ω=
作用点:
m
h kN h h P 69.262.460sin 21'10
1
1
1===油γ m h kN h h P 77.009.2360
sin 21'20
2
22===水γ m h kN
h h P 155.148.1860sin '30
2
1
3===油γ
kN b gh P 74.27145sin 28.910002sin 2222=?????=?=
αρ 作用点:
m h h 943.045sin 32
sin 32'
2===
α
总压力大小:kN P P P
67.3474.2741.6221=-=-=
对B 点取矩:
'D '22'11Ph h P h P =-
'D 67.34943.074.27414.141.62h =?-?
则当
2
0a 顶盖下表面受到的液体压强是p ,上表面受到的是大气压强是p a ,总的压力为零,即
02)(2
12)(02022
=-=-??
rdr r r rdr p p R R
a πρωπ
积分上式,得
22021R r =
,r 02-16.已知曲面AB 为半圆柱面,[解] b gD P x 22121ρρ-=398108
3
2???=b D g P z 2441πρ??
?
??=16
14.39810??
=
2-17.图示一矩形闸门,已知a 及h ,求证H >h a 15
14
+
时,闸门可自动打开。
[证明] 形心坐标2()5210
c
c h h
z h H a h H a ==---=--
则压力中心的坐标为
32
1
;12
()1012(/10)
c
D D c c c D J z h z z A
J Bh A Bh h h z H a H a h ==+=
==--+
--
当D H
a z ->,闸门自动打开,即1415
H a h >+
第三章 流体动力学基础
3-1.检验xy z y x z y u y x u y x
++-=+=+=)(4u ,2 ,2z 22不可压缩流体运动是否存在?
[解](1)不可压缩流体连续方程
0=??+??+??z
u y u x u z
y x (2)方程左面项
x x u x 4=??;y y u y 4=??;)(4y x z
u
z +-=?? (2)方程左面=方程右面,符合不可压缩流体连续方程,故运动存在。 3-2.某速度场可表示为0=+-=+=z y x
u t y u t x u ;;,试求:(1)加速度;(2)流线;(3)t= 0时通过x=-1,y=1
点的流线;(4)该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程? [解] (1)t x a x
++=1
t y a y -+=1 写成矢量即 j i a )1()1(t y t x -++++=
0=z a
(2)二维流动,由
y
x u y u x d d =,积分得流线:1)ln()ln(C t y t x +--=+ 即 2))((C t y t x =-+
(3)1,1,0=-==y x t
,代入得流线中常数12-=C
流线方程:1-=xy ,该流线为二次曲线
(4)不可压缩流体连续方程:
0=++z
u y u x u z
y x ?????? 已知:
0,1,1=-==z
u y u x u z y x ??????,故方程满足。 3-3.已知流速场j z y x i xy y x u
)3()24(33+-+++=,试问:(1)点(1,1,2)的加速度是多少?(2)是几元流
动?(3)是恒定流还是非恒定流?(4)是均匀流还是非均匀流? [解]
32433=++=++=z y x u z y x u xy y x u
)2)(3()12)(24(0323+++-+++++???+??+??+??==
x z y x y x xy y x z
u u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x
代入(1,1,2)
103
0)12)(213()112)(124(0=?+++-+++++=?x x a a
同理:
9=?y a
因此 (1)点(1,1,2)处的加速度是j i a
9103+=
(2)运动要素是三个坐标的函数,属于三元流动 (3)
0=??t
u
,属于恒定流动 (4)由于迁移加速度不等于0,属于非均匀流。
3-4.以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体,全部经8个直径d=1mm 的排孔流出,假定每孔初六速度以次降低2%,试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少?
[解] 由题意s L s m D v
q V
/047.0/10047.002.04
15.04
3322
=?=??
==-π
π
1298.0v v =;12398.0v v =;······;17
898.0v v =
n V S v d v v v v d q 12
17
12112
4
)98.098.098.0(4
ππ=
++++=
式中S n 为括号中的等比级数的n 项和。
由于首项a 1=1,公比q=0.98,项数n=8。于是
462.798
.0198.011)1(81=--=--=q q a S n n
s m S d q v n V /04.8462
.7001.010047.04142
3
21=????==-ππ s m v v /98.604.898.098.07178=?==
3-5.在如图所示的管流中,过流断面上各点流速按抛物线方程:])(1[20
max r r
u u -=对称分布,式中管道半径
r 0=3cm ,
管轴上最大流速u max =0.15m/s ,试求总流量Q 与断面平均流速v 。
[解] 总流量:??-==0
020
max 2])(1[r A rdr r r
u udA Q
π
s m r u /1012.203.015.02
2
34220max -?=??=
=
π
π
断面平均流速:s m u r r u r Q
v
/075.02
2max
20
2
0max 20==
==
ππ
π 3-6.利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=200mm ,测得水银差压计读书h p =60mm ,若此时断面平均流速v=0.84u max ,这里u max 为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速,问输水管中的流量Q 为多大?(3.85m/s )
[解] g
p g u g p A A ρρ=+22
p p A A h h g p g p g u 6.12)1(22=-'=-=∴
ρ
ρρρ s m h g u p A /85.306.06.12807.926.122=???=?= s m v d Q /102.085.384.02.04
4
322=???=
=
π
π
3-7.图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知d A =200mm ,d B =400mm ,A 点相对压强p A =68.6kPa ,B 点相对压强p B =39.2kPa ,B 点的断面平均流速v B =1m/s ,A 、B 两点高差△z=1.2m 。试判断流动方向,并计算两断面间的水头损失h w 。
[解] B B A A v d v d 2
2
4
4
π
π
=
s m v d d v B A B A /41)200
400(2
22
=?==∴
假定流动方向为A →B ,则根据伯努利方程
w B
B B B A A A A h g
v g p z g v g p z +++=++2222αραρ
其中z z z A B ?=-,取0.1≈=B A αα
z g
v v g p p h B
A B A w ?--+-=∴22
2ρ
2.1807
.9214980739200686002
2-?-+-=
056.2>=m
故假定正确。
3-8.有一渐变输水管段,与水平面的倾角为45o,如图所示。已知管径d 1=200mm ,d 2=100mm ,两断面的间距l=2m 。若1-1断面处的流速v 1=2m/s ,水银差压计读数h p =20cm ,试判别流动方向,并计算两断面间的水头损失h w 和压强差p1-p2。
[解] 2221214
4
v d v d π
π
=
s m v d d v /82)100
200(2
122212=?==∴
假定流动方向为1→2,则根据伯努利方程
w h g
v g p l g v g p +++=+245sin 22
2222111αραρ
其中
p p h h l g p p 6.12)1(45sin 21=-'
=--ρ
ρρ ,取0.121≈=αα 054.0807
.9264
42.06.1226.122
221<-=?-+?=-+=∴m g v v h h p w
故假定不正确,流动方向为2→1。
由
p p h h l g p p 6.12)1(45sin 21=-'
=--ρ
ρρ 得
)45sin 6.12(21 l h g p p p +=-ρ
kPa 58.38)45sin 22.06.12(9807=+??=
3-9.试证明变截面管道中的连续性微分方程为
0)
(1=??+??s
uA A t ρρ,这里s 为沿程坐标。 [证明] 取一微段ds ,单位时间沿s 方向流进、流出控制体的流体质量差△m s 为
)
()()21)(21)(21()21)(21)(21(略去高阶项s
uA ds s A
A ds s u u ds s ds s A A ds s u u ds s m s ??-=??+??+??+-??-??-??-
=?ρρρρρ因密度变化引起质量差为
Ads t m ??=
?ρ
ρ 由于ρm m s
?=?
0)(1)(=??+?????-=??s
uA A t ds s
uA Ads t ρρρρ 3-10.为了测量石油管道的流量,安装文丘里流量计,管道直径d 1=200mm ,流量计喉管直径d 2=100mm ,石油密度ρ=850kg/m 3
,流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数h p =150mm 。问此时管中流量Q 多大?
[解] 根据文丘里流量计公式得
036.0873.3139.01)1
.02
.0(807
.9242.014.31)(2442
4212
1==-??=-=d d g d K π s
L s m h K q p V /3.51/0513.015
.0)185
.06.13(036.095.0)1(3==?-??=-'=ρρμ 3-11.离心式通风机用集流器A 从大气中吸入空气。直径d=200mm 处,接一根细玻璃管,管的下端插入水槽中。已知管中的水上升H=150mm ,求每秒钟吸入的空气量Q 。空气的密度ρ为1.29kg/m 3
。
[解]
gh p p p gh p a a 水水ρρ-=?=+22
s m h g v h g v g
v gh p g p g v p g p a a a /757.4729.115.01000807.92222g 2g 00022
2222
2
2=???==?=?
+
-=?++=++气水气水气水气气气ρρρρρρρρρ
s m v d q V /5.14
757.472.014.343222
=??==π
3-12.已知图示水平管路中的流量q V =2.5L/s ,直径d 1=50mm ,d 2=25mm ,,压力表读数为9807Pa ,若水头损失忽略不计,
试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h 。
[解]
s m d q v s m d q v v d v d q V V V /093.5025
.014.310
5.244/273.105
.014.3105.244442
3
2222
3
21122
2121=???==
=???==?==--ππππ
O mH g g p g v v g p p g
v v g p p p g v p p g v
g p a a a 22
2
12
12
222
12
2212
222
112398.0807
.910009807
2273.1093.522)(2g 020=?--=--=-?
-=-+?+-+=++ρρρρρ
O mH g
p p h p gh p a a 22
22398.0=-=
?=+ρρ
3-13.水平方向射流,流量Q=36L/s ,流速v=30m/s ,受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡,截去流量Q 1=12 L/s ,并引起射流其余部分偏转,不计射流在平板上的阻力,试求射流的偏转角及对平板的作用力。(30°;456.6kN )
[解] 取射流分成三股的地方为控制体,取x 轴向右为正向,取y 轴向上为正向,列水平即x 方向的动量方程,可得:
022cos v q v q F V V ραρ-='-
y 方向的动量方程:
?
=?===?=?-=305.02412sin sin sin 00
221111221122αααραρv v v q v q v q v q v q v q V V V V V V
不计重力影响的伯努利方程:
C v p =+22
1
ρ
控制体的过流截面的压强都等于当地大气压p a ,因此,v 0=v 1=v 2
N
F N
F F 5.4565.45630
10361000cos 301024100033='?-='-????-???='---α 3-14.如图(俯视图)所示,水自喷嘴射向一与其交角成60o的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm ,喷射流量Q=33.4L/s ,,试求射流沿平板的分流流量Q 1、Q 2以及射流对平板的作用力F 。假定水头损失可忽略不计。
[解] v 0=v 1=v 2
s m d Q v /076.68025
.014.3104.33442
3
20=???==-π x 方向的动量方程:
s
L Q Q Q Q s
L Q Q Q Q Q Q Q Q Q Qv v Q v Q /05.2575.0/35.825.05.060cos 60cos )(0212222102211==-=?==?+=-??+=??--+=ρρρ
y 方向的动量方程:
N
Qv F v Q F 12.196960sin )
60sin (000=?='??--='ρρ
3-15.图示嵌入支座内的一段输水管,其直径从d 1=1500mm 变化到d 2=1000mm 。若管道通过流量q V =1.8m 3/s 时,支座前截面形心处的相对压强为392kPa ,试求渐变段支座所受的轴向力F 。不计水头损失。
[解] 由连续性方程:
s m d q v s m d q v v d v d q V V V /29.20
.114.38
.144/02.15.114.38.1444
42
22222112
2
212
1=??===??==?=
=
ππππ;
伯努利方程:
kPa v v p p g v p g v g p 898.3892
29
.202.110001039222g 0202
2
32
221122
2
2211=-?+?=-?
+=?++=++ρρρ
动量方程:
kN
F F F v v q d p F d p v v q F F F V V p p 21.382228617.30622518.692721)02.129.2(8.110004
0.114.310898.38945.114.310392)
(44
)(23
23122
22
2
11
1221='?--='?-??=???-'-????-=-'-?-=-'-ρππρ
3-16.在水平放置的输水管道中,有一个转角045=α的变直径弯头如图所示,已知上游管道直径mm d 6001=,下游
管道直径mm d 3002
=,流量0.425V q =m 3/s ,压强kPa p 1401=,求水流对这段弯头的作用力,不计损失。
[解] (1)用连续性方程计算A v 和B v
1221440425 1.50.6V q .v πd π?=
==?m/s ; 222
2440425
6.020.3
Q .v πd π.?===?m/s (2)用能量方程式计算
2p
210.1152v g =m ;22
1.8492v g
=m
22
12211409810.115 1.849122.9822v v p p g .()g g ρ??=+-=+?-= ???
kN/m
2
(3)将流段1-2做为隔离体取出,建立图示坐标系,弯管对流体的作用力R 的分力为Y X R R 和,列出y x 和两个坐标方向的动量方程式,得
2222cos 45(cos 450)
4
y p d F Q v π
ρ-?+=?-
22
1
12
221cos 45(cos 45)4
4
x p d p d F Q v v π
π
ρ-?-=?-
将本题中的数据代入:
221
12
221cos 45(cos 45)4
4
x V F p d p d q v v π
π
ρ=-?-?-=32.27kN
2
2
22cos 45cos 454
y V F p d q v π
ρ=?+?
=7.95 kN
F ==33.23kN
1
0tan
13.83y x
F F θ-==
水流对弯管的作用力F 大小与F 相等,方向与F 相反。
3-17.带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m ,孔高h=2m ,闸前水深H=4.5m ,泄流量q V =45m 3/s ,闸前水平,试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F ,并与按静压分布计算的结果进行比较。
[解] 由连续性方程:
s m v s m BH q v Bhv BHv q V V /5.72
345
/33.35.43452121=?==?==
?==; 动量方程:
)
(4.51)
33.35.7(451000)5.42(3807.910002
1
)
(21
21)
()(22122212211221→='='-?-?+-????='-?-++-='-?-++-='-?-='--kN F F F v v q B gh B gH F v v q F F F v v q F F F V V p p V p p ρρρρρ 按静压强分布计算
kN F kN B h H g F 4.5194.913)25.4(807.910002
1
)(2122='>=?-???=-=
ρ 3-18.如图所示,在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形,单宽流量q V =14m 3/s ,上游水深h 1=5m ,试验求下游水深h 2及水流作用在单宽坝上的水平力F 。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。
[解] 由连续性方程:
2
211221114/8.2514h v s m Bh q v v Bh v Bh q V V ====
?==;
由伯努利方程:
m
h h h v h h g v g v h g v h 63.18.2)5(807.92)14
()(22020222222
1
21222
222
11=?+-?=?+-=?++=++
由动量方程:
kN F F F h h g v v q F v v q F gh gh v v q F F F V V V p p 5.28)
63.15(807.910002
1
)8.263.114(141000)(21)()(2
1
21)
(222
221121222211221='='-?-???--??='-?---='-?-='--?
-='--ρρρρρρ