(答案)(打印) 高中数学竞赛训练试题一、二、三

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

一、填空题

1、答案：13个．

、答案：

3、答案：715x y +=或者75x y -=．

4、答案：4．

、答案：1,?-???．

6、答案：[]120,130．

7、答案：95个．

8、答案：0

2sin 42．

二、解答题

9、正整数数列{}n a 满足：2

112,1n n n a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质．

证：改写条件为 11(1)n n n a a a +-=-，从而111(1)n n n a a a ---=-，等等，据此迭代得 111122111111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-==-= ，

所以，1211n n n a a a a --=+ ，因此当k n <，(,)1n k a a =．

10、（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，使HF CE =，作

FD BC ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF

的中点，12,O O 分别为,ABG

BCH ??的外接圆圆心，12,O O 的另一交点为N ；

证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；

()2、12,,,O O M N 四点共圆；

证：()1、如图，设EG DF K = ，连AH ，则因,AC BH EK BH ⊥⊥，AH BC ⊥，

KF BC ⊥，得CA ∥EK ，AH ∥KF ，且 CH EF =，所以CAH ?≌EKF ?，AH 与KF 平行且相等，

故AK ∥HF ，0

90KAB KDB KGB ∠==∠=∠，因此，

,,,A B D G 四点共圆；

()2、据()1，BK 为1O 的直径，作2O 的直径BP ，连

12,,,CP KP HP O O ，则090BCP BHP ∠=∠=，

所以CP ∥AH ，HP ∥AC ，故AHPC 为平行四边形，进而得，

PC 与KF 平行且相等，因此对角线KP 与CF 互相平分于M ，从而12,,O O M 是KBP ?三

边的中点，KM ∥12O O ，

而由0

90KNB ∠=，12OO BN ⊥，得

KN ∥12O O ，所以,,M N K 共线，因此MN ∥12O O ，又由KBP ?的中位线知211MO O B O N ==，因此四边形12O O MN 是等腰梯形，其顶点共圆．

11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()22

2x a y b r -+-=上

至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．

证：对于点(),M a b ，用(),P M r 表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作

一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点()()0,0,2,2A B ，线段AB 中垂线l 的方程为:2x y +=,今在l

上取点(11M -，再取

r MA =则以M 为圆心、r 为半径的圆周上至少有,A B 这两个有理点；

其次说明，对于任何无理点M 以及任意正实数r ，(),2P M r ≤；

为此，假设有无理点(),M a b 及正实数r ，在以M 为圆心，r 为半径的圆周上，至少有三个有理点(),i i i A x y ，,i i x y 为有理数，1,2,3i =，则

()

()()()()()2

22222

112233x a y b x a y b x a y b -+-=-+-=-+- ……①

据前一等号得 ()()()2222

1212112212x x a y y b x y x y -+-=

+-- ……② 据后一等号得 ()()()2222

2323223312

x x a y y b x y x y -+-=+-- ……③

记 ()22221122112x y x y t +--=，()2222

2233212

x y x y t +--=，则12,t t 为有理数，

若120x x -=，则由②，()121y y b t -=，因b 为无理数，得120y y -=，故12,A A 共点，矛盾！同理，若230x x -=，可得23,A A 共点，矛盾！若12230,0x x x x -≠-≠，由②、③消去b 得，

()()()()()()12231223123212x x y y y y x x a t y y t y y -----=---=????有理数，因a 为无

理数，故得，()()()()122312230x x y y y y x x -----=，所以

121232

y y y y x x x x --=--，则 123,,A A A 共线，这与123,,A A A 共圆矛盾！

因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点M 及所有正实数r ，

(),P M r 的最大值为2．

12、从集合{}1,2,,36M = 中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是

2015的因数，求n 的最小值．答案：17．

解：因201551331=??，M 中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正

因数有1,5,13,31,65，在M 的二元子集中，元素和为5的有{}{}1,4,2,3；

元素和为13的有{}{}{}{}{}{}1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；

元素和为31的有{}{}{}{}{}{}{}1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,,15,16 ；元素和为65的有{}{}{}{}29,36,30,35,31,34,32,33；

为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构

成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；

于是在图(),()A B 中各至少要删去4个数，图(),()C D 中各至少要删去2个数，图()E 中至少删去5个数，总共至少要删去17个数．

另一方面，删去适当的17个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图()A 中删去

12,30,4,22，图()B 中删去11,29,3,21，()C 中删去23,5，()D 中删去24,6，()E 中删去13,14,15,31,32．这时图中所有的线段都已被断开．

(E)

(D)(C)(B)

(A)