九年级数学竞赛试题
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2014-2015学年度九年级数学竞赛试卷
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
第I 卷（选择题）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．二次函数y ＝x 2
+bx+c ，若b+c ＝0，则它的图象一定过点 （ ）
（A ）（－1, －1） （B ）（1, －1） （C ） （－1, 1） （D ）（1, 1）
2．8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2
-x-6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值（）
（第2题） （第3题）
A.1
B.2
C.3
D.6
3．如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ；
②BE=2cm ；③菱形面积为60cm 2
；④．其中正确的结论有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知：M 、N 两点关于y 轴对称，且点M N 在直线3+=x y 上,设点M 的坐标为),(b a ，则二次函数x b a abx y )(2
++-=( )
A C 5.若关于x 的方程x+x 2=c+c 2的两个解是x=c,x=c 2
，则关于x 的方程
x+12-x = a+12
-a 的解是 （ ）
A 、a, a 2
B 、a-1 , 12-a
C 、 a, 12-a
D 、 a, 11
-+a a
6．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( ).
A
7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交DC 于点F ，连
接AF ．设
=k ，下列结论：（1）△ABE ∽△ECF
，（2
）AE 平分∠BAF ，（3）当k=1时，
△ABE ∽△ADF ，其中结论正确的是（ ）
（第7题） （第6题） （第8题）
A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（1）（2）
D ．（2）（3）
8．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为
A ．b ＝a ＋c
B ．b ＝ac
C ．b 2＝a 2＋c 2
D ．b ＝2a ＝2c
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题4分，共16分）
9．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90
°，∠C=60°，AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去，
使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是 ．
（第9题） （第10题） （第11题）
10．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其
A
B
C
D
图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc<0；②a －b ＋c<0；③3a ＋c<0；④当－1
11．如图，在平行四边形ABDC 中，点M 是CD 的中点，AM 与BC 相交于点N ，那么ACN BDMN S S ?四边形:等于．
12．已知实数a,b,c 满足a+b+c=10,且
17
14
111=+++++a c c b b a ,则b
a c
a c
b
c b a +++++的值是
三、计算题（13、14各8分，共16分）
13
14．A 、B 两人共解方程组()()
??
?-=-=+2241155by x y ax ,由于A 看错了方程（1）中的a,得到的解是
?
??=-=13y x ,而B 看错了方程（2）中的b, 得到的解是???==45y x ,值。
四、解答题（第15、16各10分，17、18各12分，共44分）
15．已知△ABC ，∠ACB=90o，AC=BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF=45o，设△ABC 的面积为
S ，说明AF ·BE=2S 的理由。
16．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成。硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用） A 方法：剪6个侧面； B 方法：剪4个侧面和5个底面。
现有19张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法。 （1）用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
17.如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数的图像交于(2,1),(1,)A B n -两点。
（1）m 的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）若直线AB交x轴于点C，求△OBC的面积
（4）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围
18.已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D 的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．