第十五讲 二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)
第十五讲二次函数的综合题及应用
【重点考点例析】
考点一：确定二次函数关系式
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
对应训练
1．（2013?湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
1．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
∴抛物线的解析式为；y=-（x-3）（x+1），
即y=-x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
考点二：二次函数与x轴的交点问题
例2 （2013?苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
对应训练
2．（2013?株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）
A．-8 B．8
C．±8 D．6
2．B
考点三：二次函数的实际应用
例3 （2013?营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该
产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
思路分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
解：（1）由题意得出：
w=（x-20）?y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x2+120x-1600，
故w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；
（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∵-2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．
解得 x^=25，x2=35．
∵35＞28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．对应训练
解得
1
2
49
a
b
c
=-
?
?
=-
?
?=
?
，
所以，y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49；
不选另外两个函数的理由：
∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上，
∴y不是x的反比例函数，
∵点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，
∴y不是x的一次函数；
（2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，
∵a=-1＜0，
∴当x=-1时，y有最大值为50，
即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；
（3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，
当y=25时，-x2-2x+49=25，
整理得，x2+2x-24=0，
解得x1=-6，x2=4，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6＜x＜4℃．
定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标．
对应训练
4．（2013?张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
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∴△CEQ∽△CDO．
【聚焦山东中考】
1．（2013?淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2
上，将Rt△OAB绕点O
顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）
A．
）
B．（2
，2）C．2）D．（2）
1．C
2．（2013?滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
2．解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．
由题意得：y=x（90-x）×20
=-20（x2-90x）
=-20（x-45）2+40500
当x=45时，y有最大值，最大值为40500．
答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．
3．（2013?日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）
），
；
点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF