三等分任意角可能吗？

《数学奥林匹克报》
Mathematical Olympiad Express
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三等分任意角可能吗？
曹亮吉
原载于《科学月刊》第九卷第四期作者当时任教于台湾大学数学系
三大难题难题无解违规解难题牛车在牛前直尺圆规能做什么由一线段出发可做数体只能做可做数任意角不能三等分倍立方及圆化方也没有解更改规定翻开报纸，往往有些科学新闻，是关于物理的、化学的、地球科学的等等，可曾看过有关数学的？绝无仅有！比起来，这些科学新闻的内容与生活较有关联，科学工作者比较容易告诉新闻传播者他们干了些什么，而新闻传播者也比较容易想象科学工作者做了些什么。（虽然有时候报导出来的不一定对）反观数学则不然，不但做的人没办法法说得清楚给外行人听，外行人也很难想象数学家们做了怎样的数学。结果数学新闻愈发死寂，而大家对数学也就愈加陌生。纯数学的种种伟大发现或进展上周报吗？可能几十年来只有几件吧！最近的一次是前年夏天有关「四色问题」的解决（见《科学月刊》65 年 12 月及 66 年 1 月两期的〈四色足矣〉）。它之所以上报是因为一般人很容易懂它的内容。另外偶而会上报的是「某某人宣称解决了三等分任意角的难题」。虽然任意角不能三等分已成定案，而这类消息之所以上报是因为有很多非数学家都自以为很懂「三等分任意角」这个命题，因此有很多人拼命钻研这个号称是古希腊三大几何难题之一的做图题，也因此有很多人号称找到三等分任意角的方法，而且更有些编辑老爷也信以为真。很多人从小有大志，想成大名，于是从看起来简单的，所谓的几何三大难题下手。我在此为文的目的之一就是希望这些人能够平心静气看看一个学数学的谈数学界对这些问题的共同看法──它们是不可解的。希望我能说服这些人，不要把雄心壮志消磨在办不到的事情上。当然，我的更大的目的是要让《科学月刊》的读者了解这些题目的本质，而对之有正确的看法。（我知道有中学老师鼓励学生钻研三大难题，谓解决其一即可得诺贝尔奖。）
三大难题
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这三个题目是三分角、倍立方及圆化方，其内容分述如下。三分角：用直尺及圆规把任给的一角三等分。倍立方：给定一立方体（即其一边已知），用直尺及圆规做另一立方体（即做其一边）使其体积为原立方体的两倍。圆化方：用直尺及圆规做一正方形使其面积等于一给定圆的面积。
难题无解
这三个题目被研究了两千年，直到十九世纪代数学有了更进一步的发展后才有了答案。这个答案非常出人意表，即：只用直尺及圆规，这三个做图题都是无解的。所谓无解，就是说只用直尺及圆规我们没有办法把任意一角三等分等等。许多人对「无解」的反应会是这样的：只是一时找不到适当的做图法吧！又没有把「所有」的方法一一试过，怎么就下结论说任何一种方法都不行？玩过智慧盘吗？你一定知道有些排列没办法变成标准排列；同时你一定也知道 2 是不可能写成一个分数的。当然我们没有必要把「所有」的方法一一试过才下这种结论，我们另有方法证明这种不可能性。三大难题无解的证明也是一样的。虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的，但许多外行人，或许不知道无解的意义，或许没听过已经被证明为无解这件事，还是锲而不舍地钻研这些题目。其中尤其三分角最受人重视。本文主要要谈三分角，所以我们从三分角开始，例举一些他们可能犯的错误。
违规解难题
为给定的一角。以 O 为圆心，任意长 r 为半径用圆规做圆，交∠O 两边于 A， B（图一）。不变圆规（即两圆规脚之距离仍然保持 r 长），用两圆规脚在直尺上刻划两点 C,D，则 CD 长为 r。用直尺，使 C 点保持在 BO 的延在线，D 点保持在圆上，调整直尺的位置，直到 A 点也在直尺上。做 OE∥AC，则 OE 为 ∠AOB 的三等分线之一。例一：设
图一
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证明：联 OD，则 CD＝OD＝OA＝r，所以∠C＝∠DOC，∠OAD＝∠ODA。由「三角形一外角等于其两内角和」的定理知∠AOB＝∠C＋∠OAD＝∠C＋∠ADO＝∠C＋∠C＋∠DOC＝3∠C＝3∠EOB，得证。例一有什么毛病？∠EOB 确实等于三分之一 ∠AOB！但这种解法是违规的。原来所谓用直尺及圆规做图是禁止在直尺上刻划的。如果没有这样的规定，则三等分任意角，如例一所示，是可能的。例二：设∠O 为已知。以 O 为圆心，任意长 r 为半径做弧交∠O 两边于 A，B（图二）。做∠O 的平分线 OC。以 OC 为准线，B 为焦点做双曲线 PQR 使曲线上任一点 R 到 B 的距离为到 OC 距离 1 的两倍。若双曲线交弧于 Q，则∠QOB＝ ∠AOB。 3
图二
证明：连 QB。做 QD⊥QC 及 OE⊥QB。因△QOB 为等腰三角形，所以 OE 平分∠QOB，也平分 QB， 1 1 1 故得 QD＝ QB＝QE，因此△DOQ≌△QOE。由此可知∠DOQ＝∠QOE＝∠EOB＝ ∠DOB＝ ∠AOB，而 2 3 6 1 得∠QOB＝ ∠AOB。 3 例二有什么毛病？毛病出在用了辅助线 PQR。如果只用直尺及圆规，双曲线 PQR 是做不出来的。
1 例三：给定一角∠AOB，我们很容易把它二等分，四等分，八等分，……。做 ∠C1OB ＝ ∠AOB， 4 1 1 1 ∠C2OC1 ＝ ∠AOB,……, ∠CnOCn 1 ＝ n ∠AOB，最后 OCn 会趋近一条定直线 OC，则∠COB＝ ∠ 16 4 3 AOB。（图三）
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图三
1 1 1 1 证明： ∠COB＝ ∠AOB＋ ∠AOB＋ ∠AOB＋……＋ n ∠AOB 4 16 64 4
1 1 1 ＝ + + + 4 16 64
1 + n+ 4
1 1 1 ∠AOB＝ i 1 ∠AOB＝ ∠AOB。 3 4 1 4
最后第二个等式由几何级数的公式可得。例三又如何?理论上 OC 是存在的，但在有限步骤内是做不到的。几何三大难题中所谓用直尺及圆规做图是要求在有限步骤内完成的，所以例三又是个违规的例子。
牛车在牛前
以上三个例子虽然都违规，但到底都把三等分线做出来了。第四类的例子是根本没把三等分线做出来，而居然用一些歪理证明做了三等分线。打个比方，篮球赛中常有进篮但因违规而被判无效的时候；而下面我们要举的例子就像打霸王球，球都没进篮而硬说进篮得分。一般说来，业余从事三等分角的人所犯的错误常属于第四类。这一类的错误有的荒唐到极点，有的则论证非常复杂，但其中错了一点（因此全盘尽没）。在此只举一个荒唐的例子。例四：做两条并行线。在其中的一直线上任取一点 D。以 D 为圆心，任意长 r 为半径做弧交此两并行线于 F 及 C（图四）。以 F 为圆心，r 为半径做弧交下一直线于 B。按顺序做 DE∥FB， ∠ECD＝∠DCB，DA∥CE，则 FD 及 CD 三等分∠EDA。
直尺圆规能做什么
现在回过头来谈谈只用直尺及圆规能做些什么，还有，为什么不能三等分一角。
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直尺只能用来画直线，直尺本身不能有任何刻度，像例一那样是违规的，圆规只能用来画圆。所有的曲线都要用直尺及圆规画出，像例二那样借用辅助曲线是不行的。此外，规定做图都要在有限步骤内完成，像例三那样就不算数。用直尺及圆规每一步骤只能做下面三件事之一：(1)两点间联一直线，(2)以一点为圆心，一定长为半径做圆，(3)取得两直线，两圆或一直线一圆间的交点。一个做图题总是有些已知的东西，譬如一些点、一些直线（或线段）、一些圆（或圆弧）。已知一线段的长度为已知，已知圆的圆心及半径为已知。由这些已知的东西经由上述的步骤可以做出新的点、线、线段、圆或圆弧。这就是所谓的做图题。做图题的要点之一就是要分析所要做的和已知之间的关系。这种关系最好是代数关系，因为有了代数关系比较容易知道怎么去做图。
图四
不错，FD 及 CD 三等分了∠EDA；但天啊！在这个例子里，我们先造了一个任意角∠FDC，然后再做其三分之一角。这就像把牛车放在牛前而要牛拉着牛车走一样的荒唐。读者千万不要笑我举了这样的例子。事质上这个例子不是我杜撰的，这位将牛车放在牛前的人士还大有来头──他是美国某大学的校长。他在 1931 年出版了两本著作。第一本是长达三百多页，名为《欧几里得还是爱因斯坦》的巨作。他在这本书里「证明」了平行公理（事实上，这又是一个无法证明的公理），而把研究非欧几何学的人（包括爱因斯坦在内）臭骂一顿。第二本是《三等分一角》，他的做法就是我们的例四。这种唐吉诃德式研究数学的人士在每个地方，每个阶层都有。
由一线段出发
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为了研究几何间的代数关系，我们最好引进解析几何。在解析几何中，我们用坐标来表平面上的点，用一次方程式表直线，用二次方程式表圆，甚至三分角的问题也可以用代数式子来表示，这一点我们会慢慢谈到。在整个做图课题中，最重要的是按分析由一线段 S 出发，我们能做出那些线段，由中学课本知，用直尺及圆规，我很容易做一线段使其长为 S 长的二倍、三倍、……、 n 倍，我们也知道如 n 何把一线段等分、三等分、……、 m 等分。因此也能做出一线段使其长为 S 长的倍，即 S 长的 m 任何正分数倍都可以做出来。如果用解析几何的观点──线段的长短加上方向──则 S 长的任何有理数倍长的线段都可以做出来。为了方便行文起见，我们可以用 S 的长度做为坐标系统中的单位长，则 S 对应到坐标系统中的 1。由上述的讨论知任何有理数系统中的元素都可以做出来。（即可以做出长度为 S 长的该有理数倍的线段）
可做数体
当然，可以做出来的不只是有理数。譬如，假定一正实数 a 是可做的，则 a 也可以做其做法如下：（图五）用 a + 1 的长度为直径做半圆，在 B 点立 AC 的垂直线，交半圆于 D，则 BD 的长度为 a 。（可由两直角三角形 ABD 及 DBC 之相似证得）
图五
举个特例，有理数 2 是可做的，所以 2 也可做。更有进者， b + c 2 ( b ， c 都是有理数)这种形式的数都可做。我们当然可以用 b + c 2 这类数为 a 而做出更复杂的数 a (即 b + c 2 等等。为了区别这些做出的数的繁简程度，我们要定义 n 阶数。假设 a，b， c 是有理数而 a>0，则称 b + c a 这样的数为 1 阶可做数，简称 1 阶数。因为我们可以取 c＝0，所以 1 阶数包括有理数。 a1 = a2 时，当两个 1 阶数 b1 + c1 a1 及 b2 + c2 a2 称为同类的一阶数。有了 1 阶数及其同类关系，我们可以定义 2
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阶数， b + c a ，即其中 a ，b ，c 都是同类的 1 阶数而 a ＞0。这些 2 阶数都是可做的，这是因为 a ，
b ，c 都是可做数，而可做数相加还是可做数，可做数相乘还是可做数。后者的证明如下:设 x , y 为
可做数。(图六)做两条相交的直线，其交点为 A。在一直在线取 AB，使其长为 x 。在另一直在线取单位长 AC，再取 CD，使其长为 y 。联 CB，做 DE∥CB，交 AB 于 E。由比例关系知 BE 长为 xy 。
图六
y ，可见可做数相除仍为可做数。因此可做数相加、减、乘、除仍为 x 可做数。用现代的术语来说，若一个数集中的任两元素互相加减乘除后仍然在该数集中，则此数集称为一个「体」。我们知道有理数集是一个体，实数集是一个一个体,而可做数集也是一个体。
若将 1 和 x 对调，则 BE 长为我们可以按顺序定义 3 阶数，4 阶数，…，及同阶数间的同类关系。假设 n －1 阶数及其同类关系已经定义过，则 n 阶数呈 b + c a 形式，其中 a ，b，c 是同类的 n －1 阶数，而 a ＞0。若 a1＝a2，则两 n 阶数 b1 + c1 a1 ， b2 + c2 a2 称为同类。同类的 n 阶数组成一个体，其证明由合用归纳法及根式有理化法可得。一个 n 阶数可以看或一个阶数比 n 高的数；一个 n 阶数有时也同时可能是一个阶数比 n 为低的数；如果一个 n 阶数不能同时也是个阶数较低的数，则称为纯 n 阶数。所有的阶数，1 阶数，…， n 阶数，都叫做可做数。例五： 2 和 1 + 3 2 是同类的 1 阶数， 2 和 6 为不同类的 1 阶数，
1 + 3 2 和 4 2 为不同类的 2
阶数;。 2 也可以看成 2 阶数(因为 2 = 2 + 0i 4 2 )， 4 2 是纯 2 阶数， 2 则不然。综上所述，由一线段 S 出发，我们可以做出可做数倍长的线段。
只能做可做数
反过来，我们要证明由一线段 S 出发，用直尺及圆规只能做出这些可做数倍长的线段。
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现用归纳法证明如下。一直线可以其上的两点表出，一圆可以其圆心及半径长表出，而半径长或线段长可以两点之间的距离表出（譬如，这两点可以是平面上的坐标原点和实轴上距原点为该长度的点）。用直尺及圆规在 n 步骤内我们得到了一些点、一些直线、一些线段、一些圆。假定这些点及代表直线、线段及圆的点的坐标都是同类的 n 阶数，我们要证明到下一步骤已做出的点其坐标都是同类的 n + 1 阶数。（若坐标可做则点可做，反之亦然。）若第 n + 1 步骤做的是联结两已做点而做直线或是以已做点为圆心，已做长为半径做圆，则我们并没有得到新的（代表）点。如果联结两已做点 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 而得这两点间的线段，则此线段长为
( x1 x2 ) + ( y1 y2 )
2
2
。它是个 n + 1 阶数，且和原有的点的坐标（看成 n + 1 阶数）同类。
另一能得到新点的是做两已做直线，两已做圆或一已做直线，一已做圆之间的交点。设两直线分别通过 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 及 ( x3 , y3 ) ， ( x4 , y4 ) ，则其方程式分别为 y y1 =
y2 y1 ( x x1 ) 及 x2 x1
y y3 =
y4 y3 ( x x3 ) ，而得其交点的坐标为 xi ， y j （1≤ i 、 j ≤4）的有理函数，所以新点的坐标 x4 x3
仍为同类的 n 阶数。设两圆的圆心分别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，半径长分别为 r1 ， r2 ，则其方程式分别为
( x x1 ) + ( y y1 )
2
2
= r12 及 ( x x2 ) + ( y y2 ) = r2 2 。两式相减， x 2 ， y 2 项消去，可得 x 及 y 的一次
2 2
由此知交点的横坐标 x 呈 b + c a 形式。其中 a,b,c 全式。以之代回两式之一，可得 x 的二次方程式。为 x1 ， x2 ， y1 ， y2 ， r1 ， r2 的有理函数。所以 x 为 n + 1 阶数。因 y 与 x 有线性（即一次）关系，所以 y 也是 n + 1 阶数，且和 x 同类。更有进者， x ， y 和原有点的坐标（看成 n + 1 阶数）都同类。同样的证法可以用来处理一圆及一直线相交的情形。这样，我们用归纳法证明了在 n 步骤内做出的点的坐标为 n 阶数。也就是说在有限步骤内我们能做的是可做数。简单地说，可做的数可以用＋，－×，÷，及整数表出。
有一点须要说明：在做图过程中，我们常「任取一点」、「任做一直线」或「任做一圆」。由此所得点及线、圆的代表点的坐标当然不一定是可做数。但既然是「任取」或「任做」，这表示最后所得结果与取那一个或做那一个无关。所以我们可以取一点、做一直线或做一圆使其代表点的坐
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标为已做出的数。因为有理数为 0 阶数，且在实数系统中密集，所以我们可以假定这些坐标为 0 阶数。有了这样的说明，我们的证明就不是以偏概全了。另一点值得注意的是：一直线 ax + by + x = 0 ，或一圆 x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 是否可做，全决定于 a ， b ， c 是否都可做。
任意角不能三等分
经过这样的分析后，我们可以证明三等分任意角的不可能性了。其要点有二，一为:不是任何实数都是可做数，一为：假定一角可以三等分，则某个线段长 x 为可做，但由代数的分析又知 x 不为任何 n 阶数，故得矛盾。详细的讨论如下：设∠O 为给定的一角。假定用直尺及圆规可以将∠O 三等分，即可以做直线
OT 而有如图七所示的关系。今在∠O 的一边上任取一点 A，以 O 为圆心，OA 为半径做弧交∠O 的另一边于 B，交 OT 于 C。做 AD⊥OB，CE⊥OB。我们可以假定 OA 的长度为单位长。（其它线段的长度则由与 OA 相比而得）令 OD 长为 a ，OE 长为 x （即 OD 长为 OA 长的 a 倍，OE 长为 OA
长的 x 倍）。则 a = cos 3θ ， x = cos θ 。由 cos 3θ = 4 cos3 θ 3cos θ ，则得 a = 4 x3 3x 。由此可知，如果∠O 可以三等分，则由线段 OA 出发， x 是可做的，而且满足上述的关系。但对某些 a 来说，这是一种矛盾。为此，我们证明一个比较广泛的定理。
图七
定理一：若有理系数方程式 ax3 + bx 2 + cx + d = 0 为不可约（在有理数中），则其三根皆为不可做。证明：若不然，设 x1 为可做根中纯阶数最低的一根。设其纯阶数为 n 。则 x1 = e + f h ，而 e ， f ，
h 为同类的 n 1 阶数， f ≠0， h ＞0。且非某 n 1 阶数的平方数。我们假定 n ≥1，否则 x1 为有理数，
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而方程式就因有有理根而变成可约了。将 x1 代入方程式中，经整理后得 s + t h = 0 ，其中
s = a ( e3 + 3ef 2 h ) + b ( e 2 + f 2 h ) + ce + d ， t = a ( 3e 2 f + f 3 h ) + 2bef + cf ，由于 s ， t 都是 n 1 阶数，而 h
不是任何 n 1 阶数的平方，所以由 s + t h = 0 可得 s ＝ t ＝0。若令 x2 = e f h ，以之代入方程式则得 s + t h = 0 。所以 x2 也是方程式的一根。今假定 x3 为方程式的第三根，则由根与系数的关系，得
b b b x1 + x2 + x3 ＝－，即 x3 = ( x1 + x2 ) = 2e 。则 x3 为 n 1 阶数。此与对 n 之假定矛盾，故得定 a a a 理。一有理系数方程式若可约，则必有一次的有理系数因式，因此有一有理根。所以为了应用定理一，我们要知道一个有理系数多项式何时有有理根。关于此，我们从中学数学课本知有定理二：一
整系数多项式 an x n + an 1 x n 1 +
+ a1 x + a0 = 0 若有有理根，则此有理根必为
b0 ，其中 b0 ， bn 分别 a0
为 a0 ， an 的因子。现在我们可以证明用直尺及圆规三等分任意角是不可能的。设∠O 为 60°，则
1 1 ，所以相对应的方程式为 = 4 x 3 3x 或 8 x 3 6 x 1 。根据定理二，若此方程式有有 2 2 1 1 1 理根，则此根必为±1，± ，± ，± 之一。但把这些数代入方程式知它们都不是根。所以原 2 4 8 方程式没有有理根，因此不可约，而根据定理一，则 x 为不可做。
a = cos 60 =
不但 60°不能用直尺及圆规三等分，还有许许多多的角也不能。反之，有些特殊角是可以三等分的。譬如大家都知道直角是可以三等分的，此外 45°也可以三等分，因为 a = cos 45 =
2 ， 2
所以方程式为
2 2 = 4 x 3 3x （它不是有理系数方程式）。但此方程式的三根分别为－， 2 2
2 2 1 ± 3 ，全是可做数。（事实上， x 为正，所以 x = 1 + 3 ）。当然，我们可以先将 90° 4 4
角三等分得 30°角，再把后者等分而得 15°角，此即 45°角的三分之一角。
(
)
(
)
倍立方及圆化方也没有解
根据定理一、二，我们可以举出许许多多不可用直尺及圆规三等分的角。不但如此，借用这两个定理，我们可以轻易地证明倍立方一样是不可能的。若原立方的边长为 1，而 x 为所要的新立方的一边，则 x3 2 = 0 。由定理一、二可知这样的 x 是不可做。
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至于圆化方的问题就比较复杂。首先，我们有比定理一更广泛的定理。定理三： x 为可做的一个必要条件是 x 为某 2m 次有理系数多项式的根。我们不想在此证明这个定理。我们只举一个特殊例子，希望读者由此大约可以想见一般的情形是怎么证的。譬如 x = 1 + 2 + 3 个 2 阶数。移项得 x = 1 + 2 + 3 。平方得 ( x 1) = 2 + 3 。移项
2
得 ( x 1) 2 = 3 。平方得 ( x 1) 2
2
2
(
)
2
= 3 ，整理得 x4-4x3+2x2+4x-2＝0。所以 x 为一有理系数四
次方程式的根。一般说来，若 x 是 m 阶数．则 x 为一 2m 次有理系数方程式的根。设圆的半径长为 1，则其面积为圆周率 π。若能圆化方，设 x 为正方形的一边，则 x 2 = π 。若
x 可做，则它的平方 π 也可做，因此根据定理三，要为某 2m 次有理系数多项式的根。 π 自古以来，
大家对于 π 是否为某一有理系数多项式的根的问题极感兴趣。用现代的术语来说，一个有理系数多项式的根称为代数数，否则为超越数。有理数是代数数；根据定理三，可做数都是代数数。那么 π 是代数数吗？1882 年，德国数学家林德曼（F. Lindemann）证明了 π 不是代数数而是超越数，因此不可能是可做数。第三大难题也是不可解。三大难题到 1882 年就全被证明为不可解了。百年之后还有人傻乎乎地要证其可解，能不令人摇头叹息？
更改规定
读者也许不服气，问道：「为什么要把直尺及圆规的使用限定得那么死？用其它的规定来三等分一角不是也很好吗？」不错，用其它的规定也不坏。但数学的基本精神是先有了规定，才根据规定来谈如何解问题或谈问题是否可解。所谓三大难题，工具的使用规定就是那么死，如果规定改了，则变成其它问题，再也不是所谓的三大难题了。就像玩象棋，规定象不能过河；若规定可以飞象过河，则成了另一种游戏了。另一种游戏好不好？只要有趣就值得玩玩。那么三等分一角呢？从古以来就不断有人改变规定，如用辅助工具（如例一，有刻度的直尺可视为辅助工具。），用辅助曲线（加例二）或使用趋近法（如例三）等。用新规定所得的数学知识及对其他数学的贡献也不少，但就是因为原先死硬规定的题目最难、所以使人努力了两千年之久。如果只用圆规或只用直尺如何？这方面也早有人研究过，也早就成定案。若只用圆规，意大利数学家马歇罗尼（Mascheroni, 1750～ 1800）有个令人难以置信的答案：凡用直尺及圆规能做的，只用圆规也能做。（圆规当然不能画直线；我们说圆规能做直线意即能做该直线上的两点。）只用直尺呢？当然只用直尺，由单位长出发只能做出单位长的有理倍数长的线段，但德国数学家史坦纳（J. Steiner, 1796～1863）却有如下
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的定理：给定一个圆，则只用直尺可做出任何用直尺及圆规可做出的线段。换句话说，若圆规与直尺合用，圆规只用一次就够了。本文所谈可做数的观念也可以用来谈论其它的做图问题，如等分圆等。由于篇幅所限只能点到为止。一般的做图讨论（包括三大难题、等分圆等）可参考 Courant 及 Robinson 合着的《数学是什么》 (what is mathematics) 一书。关于辅助曲线、辅助工具及趋近法，R. Yates 的书《三分角问题》 (The trisection problem) 有非常精彩而且详尽的讨论。注一：《数学是什么》一书国内有两种译本出售。以水牛出版社用《数学导论》做书名吴定远译的较佳。注二：商务人人文库(561)《几何三大问题》。
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