西城区2015-2016学年度第一学期期末九年级数学试题及答案

北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷

九年级数学 2016.1

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()2

57y x =-+的最小值是 A ．7-

B ．7

C ．5-

D ．5

2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为

A ．35

B ．53

C ．

45 D ．34

3．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为

A ．12

B ．

C ．

D ．

4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+

B ．2(3)5y x =-+

C ．2(3)4y x =--

D ．2(3)9y x =+-

5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°

6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)， AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为

A ．(2-，4)

B ．(1

2

-，1)

C ．(2，4-)

D ．(2，4)

7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离

灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为

A ．40海里

B ．40tan37°海里

C ．40cos37°海里

D ．40sin37°海里

8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为

A ．30°

B ．45°

C ．50°

D ．70°

9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为

A ．60(30020)y x =+

B ．(60)(30020)y x x =-+

C ．300(6020)y x =-

D ．(60)(30020)y x x =--

10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当

67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为

A ．8

B ．10-

C ．42-

D ．24-

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若

34a b =，则

a b

b

+的值为 ． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”） 13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为 ．

14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．

点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD = ．

15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平

地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，

A 是踏板，CD 是地面，点

B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知A

C =1尺，C

D =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为 ．

BAC

16．阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

小敏的作法如下：

老师认为小敏的作法正确．

请回答：

连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是

；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是 ．

三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29

题8分）

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．计算：24cos30tan60sin 45???-?．

18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD 求tan C 的值．

19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．

（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；

（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．

20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．

（1）求证：△ABD ∽△DCB ；

（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．

21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相

同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？

22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点． （1）求k 的值；

（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方

法；

（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，

直接写出m 的取值范围．

23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，

∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；

（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为

直接写出∠BAF 的度数．

24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某

小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于

点D ，交AC 于点E ．

（1）求证：∠PCE =∠PEC ；

（2）若AB =10，ED =

32，sin A =3

5

，求PC 的长．

26．阅读下面材料：

如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+

双曲线2k

y x

=

交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式k

ax b x

+>

的解集． 有这样一个问题：求不等式32

440x x x +-->的解集．

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32

440x x x +-->的解集进行了探究．

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化

当0x =时，原不等式不成立；

当0x >时，原不等式可以转化为2

441x x x +->

； 当0x <时，原不等式可以转化为2

441x x x

+-<；

（2）构造函数，画出图象

设2341y x x =+-，44

y x

=

中分别画出这两个函数的图象．

双曲线44

y x

=

如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2

341y x x =+-；

（不用列表）

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为 ；

（4）借助图象，写出解集

结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解

集为 ．

27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21

2

y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212

y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．

（1）求二次函数212

y x bx c =-++的表达式； （2）连接AB ，求AB 的长；

（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，

判断四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．

28．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．

（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4

①依题意补全图2；

②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多

少？请直接写出结果．

图1 图2 备用图

29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；

当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．

光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．

图1 图2 图3 （1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；

（2）当⊙O的半径为1时，如图3，

①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此

光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为

__________°；

，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第

②自点A(1

二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为

______________；

（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．

图4

北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）

三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29

题8分）

17．解：原式=2

4………………………………………………………3分

=

1

6

2

-

=

11

2

．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，

∴BD=

1

2

AB=6，…………………………………1分

AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=……………………………………2分∵BC=15，

∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分

∴在Rt△ADC中，tan C=

AD

CD

……………………………………………………4分

………………………………………5分19．解：（1）令0

=

y，则2230

x x

-++=．

解得1

1

-

=

x，3

2

=

x．………………………………………………………1分∵点A在点B的左侧，

∴A （1-，0），B （3，0）． …………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ． …………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，

∴顶点C 的坐标为（1，4）． …………………………………………………4分

∵点C ，D 关于x 轴对称，

∴点D 的坐标为（1，4-）．

∵AB =4，

∴=ACB DCB ACBD S S S ??+四边形1

442162

=???=． ………………………………5分

20．（1）证明：∵AD ∥BC ，

∴∠ADB=∠DBC ． ……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，

∴△ABD ∽△DCB ． ……………………3分

（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，

∴

AB AD

DC DB

=

． …………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB

=． ∴DB =10． ………………………………………………………………5分

21．解：根据题意，得 (213)(82)6x x --=． …………………………………………2分

整理得 211

180x x -+=． 解得 12x =，29x =． …………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，

∴2x =． ……………………………………………………………………………4分

答：人行通道的宽度是2米． ……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，

∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．

∴2(4)420k ?=--?=． ……………………………………………………1分 解得 2k =． …………………………………………………………………2分

（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），

抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分

∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛

物线2C ． …………………………………………………………………4分

（3）31m -<<． ……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，

∴AD =DB ， ……………………………………1分

∠ADO =90°．

∵AB =

∴AD =

∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，

∴∠AOD =60°． ………………………………………………………………2分

∵在Rt △AOD 中，， ∴OA =

?

=

∠60sin 3

2sin AOD AD =4． ………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°． ……………………………………………………………5分

24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，

∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．

∴AD =DB ． ……………………………1分 设AD =x ，

∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =AD

DC

，∠ACD =58°， ∴DC =

tan58x

． ………………………………………………………………3分

∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，

∴

tan58x

+90=x ． ……………………………………………………………4分

将tan58°≈1.60代入方程，

解得x ≈240． …………………………………………………………………5分

答：最高塔的高度AD 约为240米． 25．（1）证明：连接OC ，如图1．

∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，

∴OC ⊥PC ． ……………………………1分 ∴∠PCO =∠1+∠2=90°． ∵PD ⊥AB 于点D ， ∴∠EDA =90°．

图1

∴∠A +∠3=90°． ∵OA =OC ， ∴∠A =∠1． ∴∠2=∠3． ∵∠3=∠4， ∴∠2=∠4．

即∠PCE =∠PEC ． …………………………………………………………2分

（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．

∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5

A =， ∴BC =A

B ·sin A =6．

∴AC =22BC AB -=8．

3分 ∵在Rt △AED 中，ED =3

2

， ∴AE =

sin ED A =5

2

． ∴EC=AC －AE =11

2

． ∵∠2=∠4， ∴PE=PC ．

∵PF ⊥EC 于点F ， ∴FC=

12……………………………………………………………4分 ∠PFC =90°． ∴∠2+∠5=90°．

∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°． ∴∠A =∠5． ∴sin ∠5 =

3

5

． ∴在Rt △PFC 中，PC =

sin 5FC ∠=12

55． ……………………………………5分

26．解：（2）抛物线如图所示；……………………1分

（3）x=4

-，1

-或1；……………………3分

（4）41

x

-<<-或1

x>．……………………5分

27．解：（1）∵二次函数2

1

2

y x bx c

=-++，

当0

x=和5

x=时所对应的函数值相等，

∴二次函数2

1

2

y x bx c

=-++的图象的对称

轴是直线

5

2

x=．

∵二次函数2

1

2

y x bx c

=-++的图象经过点A（1，0），

∴

1

0,

2

5

.

2

b c

b

?

=-++

??

?

?=

??

……………………………………………………………1分解得

2,

5

.

2

c

b

=-

?

?

?

=

??

∴二次函数的表达式为2

15

2

22

y x x

=-+-．………………………………2分（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1．

∵一次函数3

y x

=-+与二次函数2

1

2

y x bx c

=-++的图象分别交于B，C两点，∴2

15

32

22

x x x

-+=-+-．

解得

1

2

x=，

2

5

x=．………………3分

∴交点坐标为（2，1），（5，2

-）．

∵点B在第一象限，

∴点B的坐标为（2，1）．

∴点D的坐标为（2，0）．

在Rt△ABD中，AD=1，BD=1，

∴AB2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN的形状是矩形．………………………………………5分证明：设一次函数3

y x

=-+的图象与x轴交于点E，连接MB，MN，如图2．∵点B绕点M旋转180°得到点N，

∴M 是线段BN 的中点．

∴MB = MN ．

∵M 是线段AC 的中点， ∴MA = MC ．

∴四边形ABCN 是平行四边形． ……6分

∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ， 当0y =时，3x =． ∴点E 的坐标为（3，0）． ∴DE =1= DB ．

∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°． 同理∠DAB =∠DBA =45°． ∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．

∴四边形ABCN 是矩形． ……………………………………………7分

28．解：（1，垂直； …………………………2分

（2）①补全图形如图所示； ………………3 ②结论：（1）中NM 与AB 证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ， ∴∠CAB =∠B =45°． ∴∠CAN +∠NAM =45°．

∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ， ∴AD =AE ，∠DAE =90°． ∵N 为ED 的中点，

∴∠DAN =

1

2

∠DAE =45°， AN ⊥DE ．

∴∠CAN +∠DAC =45°， ∠AND =90°．

∴∠NAM =∠DAC ． 4分

在Rt △AND 中，AN

AD

=cos ∠DAN

在Rt △ACB 中，AC

AB

=cos ∠CAB

∵M 为AB 的中点，

∴AB =2AM ．

∴2AC AC AB AM ==．

∴AM AC =． ∴

AN AD =

AM

AC

． ∴△ANM ∽△ADC ． ∴∠AMN =∠ACD ．

∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°． ∴∠AMN =90°．

∴NM ⊥AB ． ………………………………………………………5分 （3）当BD 的长为 6 时， ……………………………7分 29．解：（1）所得图形，如图1所示． ……………………1分

（2）①

………………………………………3分

②(

12)或(1

2

-)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，

点Q 在第一象限，

连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ． ∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ， ∴MQ ⊥OQ ． ∴∠MQO =90°． ∵MO =2，MQ =1，

∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=2

1

=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．

∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3． ∵QH ⊥x 轴， ∴∠QHO =90°．

∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，

∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =

2

3

． …………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，

连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．

∵直线l 是⊙M 的切线， ∴MD ⊥l ．

∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°． ∵∠1=∠2，

∴∠OPD =∠NPD ． ∵PN ∥x 轴，

图2

∴∠NPD =∠PDO ． ∴∠OPD =∠PDO ． ∴OP =OD ． ∵OF ⊥PD ， ∴∠MFO =90°，PF =FD ． ∵cos OMF ∠=

MF MO

MO MD

=

， 设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1，

∴12

212x x

+=

+．

解得x =

∵0x >，

∴x =

∵PE ⊥OD ， ∴∠PED =90°=∠MOD ． ∴PE ∥MO ．

∴∠EPD =∠OMF ．

∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ．

∴

MO

MF

PD PE =

． ∴PD MO MF

PE ?=

=122

x x +? (1)x x =+

． …………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与

①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵

3

2

P y <． ………………………………8分