高次不等式与分式不等式
高考数学 高次分式不等式解法
课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、 教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容 .对一 个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法 这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握 二、 教学目标设计 1、 掌握简单的分式不等式的解法 ? 2、 体会化归、等价转换的数学思想方法 . 三、 教学重点及难点 重点简单的分式不等式的解法? 难点不等式的同解变形? 四、 教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶 梯上楼（楼 梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的 2倍，他俩 同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几 倍? 设楼梯的长度为S ,甲的速度为V ,自动扶梯的运行速度为 V 0. S ,乙上楼所需时间为 V V o 整理的丄 - V 2V 0 +V 由于此处速度为正值，因此上式可化为2V 0 V 2V ,即V ? 2V 0 .所以, 甲的速度应大于自动扶梯运行速度的 2倍. 2、分式不等式的解法 X +1 例1解不等式： ?2. 3x —2 于是甲上楼所需时间为 由题意，得 V o 』：0 3x -2 (X —1 >0 = (3x —2Xx —1)vO ,可以简化上述解法? 3x 一2 ：： 0 a a 另解：（利用两数的商与积同号（ O= ab ?0, O= ab ：：：0 ）化 b b 为一元二次不等式） 2 ^2 = 3x -2 X -1 ：：： 0 X <1 ,所以，原不等式的解集为',1 3 13 J 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法： （1） 不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零 （2） 利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解 一般地，分式不等式分为两类： f （X ） （1） 0（ : ： 0）二 f X g X 0 （ ：： 0）； g X f （x ）" VC j f （χ）g （χp °（兰 °） （2） 0 （匕 0） ? g X g X =0 U 2= 1-2 0 = 3x —2 3x —2 3x -2 x-1 3x -2 ： ： 解：（化分式不等式为 次不等式组） 丄丄2 3x —2 3X —2 一2 2 3x -2 亠。 3x -2 X -1 :： 0 3x -2 0 或 x —1 0 3x-2 ：： 0 X : 1 2 或 X - 3 X 1 2 X 一 3 Ig I 或X 不 存在? 所以，原不等式的解集为 31 -， 即解集为 2,i x-10 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 初中数学方程与不等式之分式方程知识点 一、选择题 1．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（） A．180180 3 2 x x -= + B． 180180 3 2 x x -= + C．180180 3 2 x x -= - D． 180180 3 2 x x -= - 【答案】D 【解析】 【分析】 先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】 解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：180180 3 2 x x -= - . 故选：D. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数. 2．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是() A． 4 1 16 x x x += +- B． 4 16 x x x = -+ C． 4 1 16 x x x += -- D． 4 1 16 x x x += -+ 【答案】D 【解析】【分析】 首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的 1 1 x- ，而乙每天完成总工程 的 1 6 x+ ，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】 ∵工程期限为x天， ∴甲每天完成总工程的 11x -，乙每天完成总工程的16 x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116 x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键. 3．关于x 的方程 m 3+=1x 11x --解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠ C ．m<2m 3≠且 D ．m>2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】 方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴210x m x =-??-≠? 解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】 此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 4．解分式方程11 222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3" C ．x="4" D ．无解 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ． 考点：解分式方程． 放缩法的常见技巧 （1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 （1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。 （3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积） 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时， 等号成立． 常用放缩思想 这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了下面就是常用思路了，主要就是裂项部分 二项平方和 f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0 1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩 解析： 步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令 t=1/（x+2） 第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号 第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号 个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单， 看似简单实则难 2.构造+三角形★★★★ 平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求 解析： 构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 构造★★★★ 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x （易错题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案 一、选择题 1．已知关于x 的分式方程 213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m >- D ．3m ≥- 【答案】A 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】 213 x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得 23x m x -=-， 移项及合并同类项，得 3x m =-， Q 分式方程213 x m x -=-的解是非正数，30x -≠， 30(3)30m m -≤?∴?--≠? ， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】 此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值 2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ） A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025 x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键. 3．方程 24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 去分母得：2x=（x ﹣2）2+4， 分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4， 经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．若 x=3 是分式方程 2102a x x --=- 的根，则 a 的值是 A ．5 B ．-5 C ．3 D ．-3 【答案】A 【解析】 把x=3代入原分式方程得， 210332 a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A. 5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ?-= B ． 800800402.25x x -= C ． 800800401.25x x -= D ．800800401.25x x -= 【答案】C 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞ 0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1} ? ?? ???x |x ≠－b 2a R ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞ 0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ? 2．简单分式不等式的解法： 0)()(0) ()(>??>x g x f x g x f ； () 0()f x g x ≤?________________ 1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2) 2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.????－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D .????－∞，－12∪(1，＋∞) 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.? ??? ??x |x ≠－13 B.? ??? ??－13 C.? ?? ? ??x |－13≤x ≤13 D ．R 4．若不等式ax 2 ＋bx －2＜0的解集为? ?? ???x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )． A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26 5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 例题选讲： 例2：求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 例3：已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 方程与不等式之分式方程解析 一、选择题 1．方程1235 x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x = C ．3x =- D ．1x = 【答案】D 【解析】 【分析】 方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】 方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1， 经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根. 2．方程 10020x +＝60 20x -的解为（ ） A ．x ＝10 B ．x ＝﹣10 C ．x ＝5 D ．x ＝﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ），解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根． 【详解】 解：方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ）， 得100（20﹣x ）＝60（20+x ）， 整理，得8x ＝40， 解得，x ＝5， 经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5； 故选：C ． 【点睛】 本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键． 3．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量 增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．30007200 4030 x x -=+ B ．72003000 4030x x -=+ C ． 72003000 4030x x -=+ D ． 30007200 4030x x -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得： 72003000 4030x x -=+ 故选：C 【点睛】 本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量． 4．方程221 11 x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝ 12 B ．x ＝ 15 C ．x ＝ 14 D ．x ＝ 14 【答案】B 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1， 解得：x ＝ 15 ， 经检验x ＝1 5 是分式方程的解， 故选B ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 分式不等式放缩裂项证明 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 （1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。 （3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积） 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|? 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|? 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|? 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成 立． 常用放缩思想 这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了 下面就是常用思路了，主要就是裂项部分 二项平方和 f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 《不等式组与分式方程代数》综合训练 一．选择题（共17小题） 1．若关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（） A．12 B．14 C．21 D．33 2．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程＝﹣1有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（） A．2 B．3 C．5 D．6 3．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 4．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 5．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 6．若数a使得关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分 式方程﹣＝2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 8．要使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝2的解为非正数的所有整数a的和是（） A．10 B．9 C．8 D．5 9．若数k使关于x的不等式组只有4个整数解，且使关于y的分式方程+1＝的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（） A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣6 10．如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于x的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 11．若关于x的不等式组，有且只有三个整数解，且关于x的分式方程﹣＝﹣1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．15 12．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2＝有正数解，则满足条件的整数k的和为（） A．5 B．6 C．7 D．8 13．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程＝3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0 方程与不等式之分式方程全集汇编及解析 一、选择题 1．已知关于x 的分式方程22124 x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8 C ．-8或-4 D ．0或-8或-4 【答案】D 【解析】 【分析】 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】 解：分式方程去分母得：（x?2）2?mx ＝（x ＋2）（x?2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝?4时整式方程无解； 当x ＝?2时原方程分母为0，此时m ＝?8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容． 2．若数a 使关于x 的分式方程 2311a x x x --=--有正数解，且使关于y 的不等式组211 42 y a y y a ->-?? ?+??…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】 解方程 2 311a x x x --=--，得： 12 a x +=， ∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1， 又1x ≠， ∴ 1 2 a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1， ∵关于y 的不等式组21142 y a y y a ->-?? ?+??…有解， ∴a-1 （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 不等式分式与分式方程 【考纲说明】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【趣味链接】 【知识梳理】 一．不等式部分 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种：“≠”、“＞” 、“＜” 、“≥”、“≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a c ＞ b c ）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或a c ＜ b c ）． 方程与不等式之分式方程基础测试题 一、选择题 1．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是() A．1010 15 2 x x -=B． 1010 15 2x x -=C． 10101 24 x x -=D． 10101 24 x x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15 =分钟”列出方程即可得． 【详解】 设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时， ∴所列方程正确的是：10101 24 x x -=， 故选：C． 【点睛】 此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键． 2．已知关于x的分式方程12 1 11 m x x - -= -- 的解是正数，则m的取值范围是() A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6 【答案】A 【解析】 【详解】 方程两边同时乘以x-1得， 1-m-（x-1）+2=0， 解得x=4-m． ∵x为正数， ∴4-m＞0，解得m＜4． ∵x≠1， ∴4-m≠1，即m≠3． ∴m的取值范围是m＜4且m≠3． 故选A． 3．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（） 高三数学 序号004 高三 年级 班 教师 方雄飞 学生 分式不等式及简单的绝对值不等式的解法 学习目标 1、知识与技能：会求简单的分式不等式、简单的含绝对值不等式以及简单的高次不等式。 2、过程与方法： 通过知识点与实例巩固复习，体会数形结合及转化的思想在解题中的应用 3、情感态度与价值观：培养认真参与、积极交流的主体意识和乐于思考、踏实肯学的精神。 学习重点：绝对不等式与分式不等式的方法与步骤； 难点：注意数形结合和等价转化的思想在解题中的应用 教学过程 一、知识归纳 1、分式不等式的解法 思路是：“分式不等式??→?转化整式不等式”； 主要方法有：分类讨论、转化为整式 即: ?>0)()(x g x f ?≥0)() (x g x f 同理： ?<0)()(x g x f ?≤0) () (x g x f 2、简单的含绝对值不等式 思路是：“去掉绝对值符号”； 方法：平方法、定义法（讨论法）、几何意义法（等价变形） 即：a x a x a a x -<>?>>或)0(； a x a a a x <<-?><)0( 推广：?>≠>-)0,0(c a c b ax c b ax c b ax -<->-或 ?>≠<-)0,0(c a c b ax 3、简单的高次不等式的解法：标根法 思路：（1）、把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； （2）、各因式中x 的系数全部变为1，约去偶次因式； （3）、把各个根从小到大依次排好标出，从右上方向左下方“穿针引线”； （4）、严格检查因式的根（特别是约去的偶次因式的根）是否在解集内； 二、例题讲解 题型1 分式不等式的解法 例1、解不等式：（1）、1213≥--x x （2）、05 46 52 2>--++x x x x ； 方法点拨1：解分式不等式的步骤：（1）先化为标准型，即 )0(0) () (<>或x g x f ； （2）转化为整式不等式； （3）解不等式时应注意“系数符号、不等号的方向以及考虑分母不为零” 练习1、解不等式：（1）、021≤-x （2）、021 2>--x x （3）21≤+x x （4）、22 06 x x x x +<+- 题型2 绝对值不等式的解法 例2、解不等式：（1）392≥-x ； （2）125x x -++< 练习2、解不等式：（1）、12≤+x （2）、311<+ 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ，乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意，得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式： 1 232 x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组） 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>，00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --（0<）?()()0f x g x >（0<） ； （2） ()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??.分式不等式教案
分式不等式的解法
初中数学方程与不等式之分式方程知识点
分式不等式放缩、裂项、证明
分式不等式的解法基础测试题回顾.doc
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