2007级高等数学(上)期末考试试题及参考答案

2007级高等数学（上）期末考试试题班级学号姓名得分

一．选择题（每小题3分，共15分）

1．设当0→x 时， 1cos -x 与2ax 是等价无穷小，则=a （）

(A) 2 (B) 2- (C) 12 (D) 12

- 2．设2

1()1?≤=?+>?x x f x ax b x 在1=x 处可导，则,a b 的值分别为（）

(A) 1,2 (B) 2,1- (C) 1,2- (D) 2,1-

．1

1(x x -+=? ( )

(A) π (B) 2π (C) 4

π (D) 0 4．曲线=x y e 与该曲线过原点的切线=y ex 及y 轴所围成图形的面积=A ( )

(A) 1

()d -?e x e ex x (B) 1(l n )d -?e

y y y e (C) 10()d -?x e ex x (D) 10(ln )d -?y y y e 5．曲线22210?-=?=?

x y z 绕x 轴旋转一周所形成的曲面方程为( ) （A ）22221x y z --= (B) 222

21x y z -+=

二．填空题（每小题3分，共15分） 6．若向量 x 与 (2,1,1)= a 共线，且18?=- a x ，则= x

7．设3233()(1)x f x x x x e =++++，则(10)()f

x = 8．设20()()d ln 22x t F x f t =

+?，其中()f x 连续，则()F x '= 9．设 2=x y e 与 2=x y xe 都是某二阶常系数齐次线性微分方程的特解，则该微分方程为

10．曲线sin ,cos (0)4y x y x x π

==≤≤与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积=x V

三、计算题（每小题5分，共60分）

11．求 2011lim tan x x x x →??- ??

?. 12．设曲线()n y f x x ==（n 为正整数）在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)ξ，求lim ()→∞

n f ξ. 13．设 2arctan ln(1)

x t y t =??=+?，求 x y d d 及 22d d x y . 14．设 y e xy e +=，求 0x y =''．

15．设 0=x 是 43()2y f x x x ax ==-+ 的驻点，求常数a 的值，并求

该曲线的凹凸区间与拐点．

16．设()d sin f x x x x C =+?，求()d cos f x x x ?

． 17

．求1

3x -?． 18．求微分方程 0x x xy y xe e '+--=的通解．

19．求微分方程 2324x y y y e '''++=的通解．

20．求过点(0,1,2)，且与直线11211

x y z -+==平行，又与平面 230++=x y z 垂直的平面方程．

21．已知()''f x 连续，()1=f π，且

0[()()]sin d 3''+=?f x f x x x π，求(0)f ． 22．求 21arctan d +∞

?x x x

．四、证明题（每小题5分，共10分） 23．证明：当2e a b e <<<时，222

4ln ln ()b a b a e ->-. 24．设函数()f x 对任意实数12,x x 都满足 1212()()()+=?f x x f x f x ，

且(0)1'=f ，证明：（1）()()'=f x f x ；（2）()=x f x e .

参考答案

一．选择题（每小题3分，共15分）

1．C 2．B 3．B 4．C 5．C

二．填空题（每小题3分，共15分）

6．6,33---（，）

7．1033e x 8．2()f x 9．440y y y '''-+= 10．

12π 三、计算题（每小题5分，共60分）

11．原式2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---======

12．切线方程 1(1)y n x -=-

11lim ()lim(1)n n n f n e

ξ→∞→∞-=＝ 13． 2dy t dx =， 2222(1)d y t dx

=+ 14． y y y e x '=-+ ； 2

()(1)()()y y y y y e x e y e x y e x ''?+-?+?+''=-+ ； 021|x y e =''= 15．

0a =，

)(x f 的凹区间为 (,0],[1,)-∞+∞；凸区间为 [0,1]；拐点为 (0,0),(1,1)- 16．()sin cos f x x x x =+

2()sin 1d ()d lncos cos cos 2

f x x x x x x x C x x =+=-++?? 17．令

t =，原式1231331114(3)d [3]2233

t t t t --=--=-?＝ 18．原方程变为： 1x x

xe e y y x x

+'+=

原方程的通解：111[](C)x x dx dx x x x xe e y e e dx C xe x x -

+??=+=+? 19．320y y y '''++=的通解：212x x Y C e C e --=+；原方程特解 2213x x y Ae e == 原方程通解 212x x y C e C e --=+213x

e +

20．平面的法向量为 (2,1,1)(1,2,3)(1,5,3)n =?=- 平面的方程为 5310x y z -+-=

21．000[()()]sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x π

ππ''''+=+??

? 00()d(cos )sin d(())f x x x f x π

π'=-+??

0000[()cos ]()cos d [()sin ]()cos d f x x f x x x f x x f x x x π

ππ

''=-++-??

()(0)f f π=+

所以：(0)2f =

22．21arctan d +∞

?x x x 11arctan d()x x +∞=-?121arctan 1|d (1)

x x x x x +∞+∞=-++? 211[ln ln(1)]|42x x π+∞=

+-+1ln 242π=+ 23． 2()ln f x x =在[,]a b 上应用Lagrange 中值定理得：

222ln ln ln ()()b a b a a b ξξξ-=

-<< ln ()x g x x =在2(,)e e 内导数 2

1l n ()0x g x x -'=< 由ln ()x g x x =在2[,]e e 上单调性得 222ln ln 2e e e

ξξ>= 所以 2224ln ln ()b a b a e

->- 24．（1）00()()()()()(0)()lim lim h h f x h f x f x f h f x f f x h h

→→+--'== 0()(0)()lim ()(0)()h f h f f x f x f f x h

→-'=== （2）由()()f x f x '=得： d[()]d ()

f x x f x =，所以 l n ()l n f x x C =+

()x f x Ce = ，由题得：1C = ，所以：()x f x e =