ch14_2求复合函数偏导数的链式法则

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

多元复合函数求导法则【包含偏导数】

§8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为 (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数 的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有 这里,当时,。 上式两边除以得 而当时,有,从而 所以 故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。 用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如, 设与复合而得到 函数。 若在点可导, 对具有连续偏导数, 则复合函数在点可导, 且 (2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。 例如, 设 与 复合而得到 函数 ,若 在点 具有对及的偏导数, 函数 在对应点具有连续偏导数, 则在点的两个偏导数存在, 且 (3) 事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。 但均是的二元函数,所以应把(1)式中的 直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。 类似地, 设及 均在点具有对及的偏 导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点的两个偏导数都存在,且 (4) 例如,若有连续偏导数,而 偏导数存在,则复合函数 可看作上述情形中当的特殊情形, 因此 (4)式变成

等式两边均出现了 或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明: 左边的是将复合函数 中的看作常数,而对求偏导数； 右边的是把函数中的及看作常数,而对 求偏导数。 因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为 由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释： 求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。 而沿第一条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似)；而沿第二条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是。

复合函数求导法则及其应用

习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。 （8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧 毛涛 （理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000） 指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的 定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现 的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的 有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授 第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称 教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法 一、教学引导: 现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 二、学生课前准备: 复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则 三、课堂教学过程: 第一节课:多元复合函数的求导法则: 1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形: 定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有 dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt 2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形: 定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导

数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～ ,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有 教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，, ～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y ,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y 讨论: ,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y ,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy ,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y ,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y ,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看 作 ,x,x,x ,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x ,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区 别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y 222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y 3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形 定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函

2-6复合函数的求导法则(链式法则)

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块 三级模块名称 复合函数的求导法则（链式法则） 模块编号 2-6 先行知识 导数的四则运算 模块编号 2-4 复合函数 1-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、复合函数的求导法则的证明 1、了解复合函数的求导法则的证明 熟练掌握 2、复合函数的求导法则（链式法则） 2、掌握复合函数的求导法则（链式法则） 能力目标 1、培养学生的计算能力 2、知识拓展的能力 时间分配 45分钟 编撰 陈亮 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：先让学生犯错，目的的是让学生记忆深刻，然后解决错误，在解决错误的过程中使得学生理解复合函数求导法则，最后通过例题由浅到深逐步理解复合函数的求导法则。 特点：通过犯错让学生记忆深刻。 二、授课部分 （一）、预备知识 1、导数的四则运算 2、复合函数 简单介绍复合函数的定义(由多个初等函数复合而成的函数称为复合函数) 复合函数的分解，重点介绍复合函数的分解。 sin 2y x = 分解成 sin ;2y u u x == lnsin y x = 分解成 ln ;sin y u u x == ln cos x y e = 分解成 ln ;cos ;x y u u v v e === 1 sin x y e = 分解成 1;sin ;u y e u v v x ===

2 arcsin 2x y ? ?= ?? ? 分解成 2;sin ;2x y u u arc v v === 课堂练习： () 4 1 arctan 23arccos x y e y x y x ==-= lntan ln ln ln 2 x y y x y x x x ===++ （二）、新课讲授 1、新课导入 提问： (sin 2)?x '=（目的是让学生犯错） 解决错误：()(sin 2)2sin cos x x x ''=? ()()() 222sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos 2x x x x x x x '' =+=-= 为什么？为什么不等于cos 2x 而是2cos 2x ？ 解决问题： 先回顾一下求导公式,例如:()sin cos x x '= 即说明 sin sin sin 2cos cos cos 22d x d y d x x y x dx dy d x =?=?= 而()sin 2sin 2d x x dx '=，于是有： ()sin 22sin 2cos 222d x d x x x d x dx '= ?=? 类似()x x e e '=，即说明333x y x x y x de de de e e e dx dy d x =?=?= sin sin sin x x de e d x ?=2 2 2x u x u de de e e dx du ?=?=? 等等，可以多列举几个例子说明。 例1． sin x y e =求y '（一级）

多元复合函数的偏导数(一)

多元复合函数求导 （一）

证一元函数求导法则： 一元函数的链式法则 链式法则 ()()(())=()y f u u x y f x y x ??==???→=复合 ，()()dy dy du f u x dx du dx ?''==dy du du dx y u x ??→??→

多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合 （二）多元与一元的复合 （三）一元与多元的复合

证链式法则（多元套多元） 如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数) ,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数 )],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ????+????=??， y v v z y u u z y z ????+????=??.

u v x z y 链式法则如图示 =??x z ???u z x u ?????+v z ,x v ??=??y z ???u z y u ?????+v z .y v ??

类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ????+????+????=??, y w w z y v v z y u u z y z ????+????+????=??. z w v u y x

复合函数求导公式,复合函数综合应用

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！ 导数的运算法则及基本公式应用 一、常用的求导公式 二、复合函数的导数 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2 ,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数

（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】

复合函数求导练习题

复合函数求导练习题 1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f’?lim ?x?0?x 求平均变化率 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。．常用的导数公式及求导法则：公式 ①C?0，③’??sinx ‘ ②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex ⑤’?axlna ⑦? ‘ 11’ ⑧? xlnax11’’ cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]， [fg]’?f’g?g’f f’f’g?g’f [ ]?2 gg 例：

32 y?xx?4y? ?? sinx x y?3cosx?4sinx y??2x?3? y?ln?x?2? 2 复合函数的导数 如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且 ])ˊ= 或记作熟记链式法则 若y= f ，u=?? y= f [?]，则 f?????? ??u?y?x=yux y?x=f??? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f [?)]，则 ?? y?x=f??? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四

则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ． ?4 ，u?1?3x，则 设y?u ?4 y’x?y’u?u’x?’u?’x ??4u ?5 ??12u?5?12?5? 12 ． 例2求y?x 的导数． 1?x 15

多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 12 z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→→ ??， 所以 0lim t dz z f du f dv dt t u dt v dt ?→???==+ ???，即 dz f du f dv z du z dv dt u dt v dt u dt v dt ????=+=+ ????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??=+??两端除以dt 得到 的，常将dz dt 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ． 解 dt du u dx u dy x dt y dt ??=+ ??1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 二．多个中间变量，多个自变量情况