等比数列求和公式的推导

等比数列求和公式的推导
等比数列求和公式的推导

构造函数在确定参数的范围及求值问题中的应用

刘玉 邵东县第一中学 邮编42800

夏桂芳(新疆石河子市第二中学,高级教师,邮编832000)

摘要:构造函数,是重要的数学方法. 运用构造法解题,是培养学生创造意识和创新思维的手段之一. 其实创新思维是整个创新活动的关键,敏锐的观察力,创造性的想象,独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征. 而构造法正是从这方面训练学生的思维,使学生的思维由单一型转变为多角度,从而培养学生的创新思维能力.

关键词:构造函数,参数,求值

正文:

构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用. 它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点而采取相应的解决办法,其基本的方法是:借用一类问题的性质,来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中,若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时,可以启发学生根据题目特点,展开丰富的联想,拓宽自己思维范围。运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一,同时对提高学生的解题能力也有所帮助。具体的说构造法就是根据题设条件和结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借它认识与解决原问题的一种思想方法. 通过巧妙地构造辅助函数,把原来的问题转化为研究辅助函数的性质,从而达到解题目的. 本文主要运用构造辅助函数解答关于求参数范围及求值问题的非函数问题.

一、确定参数的范围

例1 若不等式2

21(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的所有m 都成立,求x 的取值范围. 解:原不等式可化为2(1)(21)0m x x ---<.

构造函数2()(1)(21)f m x m x =---,22m -≤≤,其图象是一条线段.

根据题意,只须 ???<---=<----=-0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22x x f x x f ,即???<-->-+0

122032222x x x x 解得 2

31271+<<+-x .

所以,使不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的所有m 都成立的x 取值范围为

2

31271+<<+-x . 点评:注意到本题有两个变量x 、m ,且x 本来为主元,但为了解题方便,把原不等式看为m 的一次函数,大大简化了运算. 在多字母的关系式中,应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”,重新构造函数.

例2 n

a n n x f x x x +-++=)1(21lg )( ,其中a 是实数,n 是任意自然数且2≥n . 若)(x f 在]1,(-∞∈x 时有意义,求a 的取值范围;

解: )(x f 当]1,(-∞∈x 时有意义等价于

]12(1)0,(,1,2x x x n n a x n +++-+>∈-∞≥ 且]1,(-∞∈x 时恒成立,

即 ].1,(,)1()2()1(-∞∈???

???-+++->x n n n n a x x x 恒成立. ① 因为]1,()1,3,2,1(,-∞-=-在)(n k n

k

x 上都是增函数, 所以1

2

1()()()()x x x n g x n n n -??=-+++????

在(-∞,1]上也是增函数,从而它在1=x 时()g x 取得最大值 1(1)12112(1)(1)2

n n n g n n n n n --=-+++=-=-- (). 因此, ①式等价于 1(1)(1)2

a g n >=--, 也就是a 的取值范围为?

?????

-->)1(21n a a . 例3 已知不等式3

2)1(121212111+->+++++a g l n n n ο 对一切大于1的自然数n 都成立,求实数a 的取值范围.

解:构造函数),2(212111)(N n n n

n n n f ∈≥+++++=

, 由01

1221121)()1(>+-+++=-+n n n n f n f , 知)(n f 为增函数,最小值为653121)2(=+=f .

故只须32)1(12165+->a g l ο成立,解得2

511+<

二、求值问题

例4 设7()5f x ax bx =+-,b a ,为常数,(7)7f -=,则)7(f 的值为( )

A. -17

B. -7

C. 14

D. 7

解:5)(7

-+=bx ax x f bx ax x f +=+∴75)(,

令7

()()5x f x ax bx ?=+=+,则)(x ?为奇函数,从而有)7()7(??-=-, []5)7(5)7(+-=+-∴f f

17)7(-=∴f

例5 设βα,分别是方程032=-+x x g l ο 和032=-+x x

的根,求βα+的值.

解:构造函数3)(2-+=t t g l t f ο ,则)(t f 在区间),0(+∞ 上是单调增函数,

由α是方程032=-+x x g l ο的根,得230l g οαα+-=,即()0f α=;

由β是方程032=-+x x 的根,得230ββ+-=,所以230ββ=-> 因此 2(3)l g οββ-=,也就是2(3)(3)30l g οββ-+--=,即(3)0f β-=.

从而有 0)3()(=-=βf a f .

由)(t f 在区间),0(+∞ 上是单调增函数得 β-=3a ,

所以3a β+=.

总之,构造函数具有较强的灵活性和创新性,在数学解题时,观察题目的特点,发现条件中的关系, 结合所学函数以及数学问题所处的背景,灵活构造,构造出符合题目特点的函数, 必会事半功倍,收到意想不到的效果.

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习) 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式:??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n

等比数列求和教案

课题:等比数列的前n项和(一课时) 教材:浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 (人民教育出版社) 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版(基础模块)(下)第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 ●知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力:高二学生具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生 q 这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤的思维是一个突破,另外,对于1 其是在后面使用的过程中容易出错. 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.教学目标

●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程,提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新,磨练思维品质,培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点:等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. ●难点:错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用. 突破难点的手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点, 激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,并及时给予肯定;二抓知识的 切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点,本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法,让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究,而教师重在启发,引导。基于教学平台和数学软件让学生可观,可感,可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程

等比数列求和公式

等比数列求和公式 万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式(1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式:an=a1×q^(n-1); 推广式:an=am×q^(n-m); (3) 求和公式:Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值,n为项数) (4)性质: ①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq; ②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠0)". (6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零. 注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。

(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 (2)等比数列求和公式:Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提:q≠1) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。 记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π 2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义

数列求和公式证明

1)1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2)1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=? 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下! 所以, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×(n+1)=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1) =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式: q q a n --1)1(1 (1≠q ) q q a a n --11(1≠q ) n S = 或 n S = 1na (q = 1) 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质:如果等差数列由奇数项,则S 奇-S 偶=a 中 ;如果等差数列由奇数项,则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选: 例1:已知数列{n a }满足:43,911=+=+n n a a a ,求该数列的通项n a 。 例2:在等比数列{n a }中,36,463==S S ,则公比q = 。 - 例3:(1)等比数列{n a }中,91,762==S S ,则4S = ; (2)若126,128,66121===+-n n n S a a a a ,则n= 。

例4:正项的等比数列{n a }的前n 项和为80,其中数值最大的项为54,前2n 项的和为6560,求数列的首项1a 和公比q 。 例5:已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ,(a 是不为0的常数),那么数列{n a }是? 例6:设等比数列{n a }的前n 项和为n S ,若9632S S S =+,求数列的公比q 。 例7:求和:)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8:在 n 1和n+1之间插入n 个正数,使这n+2个数成等比数列,求插入的n 个数的积。 例9:对于数列{n a },若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1,公比为31的等比数列,求:(1) n a ;(2) n a a a a +---+++321。

等比数列和等差数列公式

等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比,符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得: 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是,公比为q,则有: a2 = a1q, a3 = a2q = a1q2, a4 = a3q = a1q3, , 以此类推可得,等比数列的通项公式为: a n = a n ? 1q = a1q n ? 1, 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列,即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为: 如果该等比数列的公比为q,则有: (利用等比数列通项公式)(1) 先将两边同乘以公比q,有: (1)式减去该式,有: (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论 当时,

而当q = 1时,由(2)式无法解得通项公式。 但我们可以发现,此时: = na1 ?综上所述,等比数列的求和公式为: ?经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时 (更正:分母为1-q) 当时, 等比数列无限项之和 由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: (更正:分母为1-q)性质 如果数列是等比数列,那么有以下几个性质: ? 证明:当时, ?对于,若,则 证明: ∵ ∴

?等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项,,,其中,则有 ?在原等比数列中,每隔k项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。 等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。 通项公式 如果一个等差数列的首项标为,公差标为,那么该等差数列第项的表达式为: . 等差数列的任意两项之间存在关系: 等差中项 给定任一公差为的等差数列。从第二项开始,前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例: 证明: 设, 则 ∵(矛盾) ∴ 证毕

高二数学 等比数列求和公式的推导过程及方法

等比数列求和公式的推导过程及方法 Sn=a1+a2+……+an q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n (1-q)*Sn=a1*(1-q^n) Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) 等差数列 通项公式: an=a1+(n-1)d 前n项和: Sn=na1+n(n-1)d/2 或Sn=n(a1+an)/2 前n项积: Tn=a1^n + b1a1^(n-1)×d + ……+ bnd^n 其中b1…bn是另一个数列,表示1…n中1个数、2个数…n个数相乘后的积的和等比数列 通项公式: An=A1*q^(n-1) 前n项和: Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 前n项积: Tn=A1^n*q^(n(n-1)/2) 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn Sn=a1+a2+a3+……+a(n-1)+an =a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1) 等式两边乘以公比q q*Sn=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^(n-1)+a1*q^n 两式相减 Sn-q*Sn =a1+(a1*q-a1*q)+(a1*q^2-a1*q^2)+……+[a1*q^(n-1)-a1*q^(n-1)]-a1*q^n =a1-a1*q^n 即(1-q)*Sn=a1*(1-q^n) 得Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) F=100*[1+(1+0.06)^3+(1+0.06)^2+(1+0.06)] =100*[(1+0.06)^0+(1+0.06)^1+(1+0.06)^2+(1+0.06)^3] 可以看出中括号内是首项为1、公比为1+0.06的等比数列前4项求和 套用上面的公式,a1=1,q=1+0.06,n=4,可得 F=100*{1*[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]} =100*[(1+0.06)^4-1]/0.06 第1页共1页

等比数列的前n项求和公式

自选课题:等比数列的前n项和 教学设计 1.教学内容解析 本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容,它在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中,被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中. 数列作为一类特殊的函数,既是高中函数知识体系中的重要内容,又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型.在现行教材的编排中,等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中,是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容,它在完善数列单元的知识结构体系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性等方面都是不可或缺,在提升学生探究、应用和实践能力等方面,有着不可替代的作用和价值. 课标要求:学生经历等比数列前n项和公式的探索过程,掌握等比数列前n项和公式及推导方法,并能进行简单应用. 等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次,主要是因为它与函数、等差数列的内在联系,尤其是它在数学史上的历史印迹,以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想(如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等),所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养,都能充分发挥数学的育人功能。 基于以上分析,本节课的教学重点为:等比数列前n项和公式的导出及其应用。 2.学生学情分析 本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班,夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中,学生有较好的数学学科基础.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比,这是积极因素,可因势利导.然而,本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,对学生的思维能力提出很高的要求.另外,对于q = 1这一特殊情况,运用公式计算时学生往往容易忽视.教学对象刚进入高一不久,虽然逻辑思维能也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,缺乏深刻的理性思考。 基于以上分析,本节课的教学难点为:等比数列前n项和公式的探究及其推导。 3. 教学目标设置 (1)学生通过课前自主查阅数学史料,课堂演绎历史短剧,了解等比数列前n项和公式的来龙去脉,感受前人严谨的治学精神,体验数学的魅力和数学文化的熏陶。 (2)学生通过研究性学习和小组合作探究的方式,掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法,领悟公式的本质,并能运用公式解决简单问题。 (3)学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中,感悟特

常用的一些求和公式

下面是常用的一些求和公式:

a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数) 称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数,又称算术级数. 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数,又称几何级数. 通项公式 前n项和 等比中项

无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数:等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式:an=a1×q^(n-1); 推广式:an=am×q^(n-m); (3) 求和公式:Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值,n为项数) (4)性质: ①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq; ②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)". (6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零. 注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。 (1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1) 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

等差等比数列以及数列求和专题

§6.2 等差数列 一.课程目标 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二.知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n ≥2,d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式:2 2111)() (n n a a n d n n na S += -+=其中n ∈N *,a 1为首项,d 为公差,a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和. (1)通项公式的推广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a +=+。特别的,当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 (利用常用公式)

=x x x n --1)1(= 2 11) 211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 - n ,即n =8时,501)(max =n f 题1.等比数列的前n项和S n=2n-1,则= 题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ,则a = ,b = ,c = . 解: 原式= 答案: 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(75314 3 2 -+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1 4 3 2 --+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=--

等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧

高考专题复习——等差与等比数列 一、知识结构与要点: 等差、等比数列的性质推广 定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2 c a b += ? 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+= 前n 项和nd n n a n a a S n )1(2 1 2)(121-+=+= 等差数列 当d>0(<0) 时{}n a 为递增(减)数列 当d=0时}{n a 为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等 1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈ q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ }{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等

定义: n n n n n n a a a a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →?=-11n n q a a 等比中项:a b c 成等比数列ac b =?2 基本概念 推广m n q -? 前n 项和=n S )1(11)1() 1(11 1≠--= --=q q q a a q q a q n a n n 等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--?===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ?=??+=+ }{n a 成等比,若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比 基本性质 当 1 01>>q a 或 1001<<q a 时 {}n a 为递减数列 当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列 二、典型例题 例1.在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ 20 )192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a ∴101921=+d a 那么100)192(102 ) (20120120=+=+= d a a a S 解法二:由q p n m a a a a q p n m +=+?+=+

等差等比数列求和公式

等差等比数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注:an=a1+(n-1)d 转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧(一定),那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an 化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立 当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1) 得 2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2)) 当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列 和=(首项+末项)*项数/2 项数=(末项-首项)/公差+1 首项=2和/项数-末项 末项=2和/项数-首项 末项=首项+(项数-1)*公差 等比数列求和公式 等比数列:a(n+1)/an=q, n为自然数。 通项公式:an=a1*q^(n-1); 推广式: an=am·q^(n-m); 求和公式:Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) (q不等于 1) 性质:①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq; ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. 在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. 注意:上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列求和方法总结

等比数列求和方法总结 数列求和作为高中数学教学中的难点和重点,是高考考核的重要部分之一。下面小编为大家整理了等比数列求和方法总结,希望能帮到大家! 所谓等比数列指的是:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。其中,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。注:q=1时,an为常数列。在此,笔者结合自己多年的教学经验,谈一下如何在等比数列求和教学中,引导学生总结多中解题方法。 所谓恒等变形法指的是:在保持原式结果恒等的情况下,优化、改变原题的表现形式。这样一来,原式就具有明显的共同点,便于更好地解决问题。对于此方法的运用,可以首先师生共同分析、总结,改变原式;之后引导学生自主解题;最后,引导学生拓展思维,找出不同的变形式来解题,可以是自主地也可以是小组合作进行,锻炼和培养学生思维能力的同时提高学生的动手实践能力,深化学生对数学的认知。如: 解题:a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1。 1.师生共同分析、总结变形后的式子为:a1之后,引导学生自主解决可以得出:a1.分解因式等于:1-qn=.因此,a1=a1/1-q,最后得出:sn=a1/1-q.

2.拓展学生思维空间,给予学生足够的自主权,让学生自主地或者小组合作找出其他的变形式,并解决问题,提高学生的数学素养。高中生已经具备了一定的独立思考能力,有了一定的思维结构,很快学生就得出了不同的变形式。即: a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+-a1qn=a1+q-a1qn=a1+qsn-a1qn,因此,a1+qsn-a1qn=sn,所以同样得出:sn=a1/1-q,还可有:a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1q+a1q2+……+a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q,因此sn=sn-a1+a1qn/q最后也得出:sn=a1/1-q.这样的方法还多种多样,其关键在于教师的引导,数学本身属于实践性、探究性较强的学科,作为数学教师,应抓住一切机会,给予学生自主权,培养学生积极探究的兴趣和欲望,从而提高学生的综合技能。 所谓比例性推理法指的是:根据等比数列的本质特征和性质公式,实施推理,得出结论,能够有效地锻炼学生的逻辑思维能力。如:等比数列的概念指出:a2/a1=a3/a2=……=an/an-1=q;通过等比定理可以推出:a2+a3+…+an/a1+a2+…+an-1=q;因此得出:sn-a1/sn-an=q;其中an=a1qn-1,将其带入化简式可以得出:sn=a1,最后得出:sn=a1/1-q.同样可以引导学生通过分比定理来自主解决问题,即:通过分比定理推出:a2-a1/a1=a3-a2/a2=…=an-an-1/an-1=q-1/1;之后,运用同样的道理,运用等比

等比数列求和公式(修改版)20120505

等比数列求和公式(第一课时) ——新课标人教版高中数学教材A 版必修5第二章第五节 教学思路 回顾等比数列 创设情境 引入课题 类比探索 公式推导 简单应用 模拟课堂 师:各位评委,各位同学,你们好!我是*号选手唐嘉敏。 本节课题是等比数列的前n 项和(第一课时),选自新课标人教版高中数学教材A 版必修5第二章第五节 师:同学们,老师有个想法,从今天开始我愿意在一个月里面,第一天给你100块钱,第二天给你101 块,第三天102块,每一天都多给你一块钱,但在这个月内你必须第一天回扣我1分钱,第二天回扣我2分钱,也就是说后一天回扣给我的钱数是前一天的2倍,有谁愿意呢? 生(热烈讨论,制造很吵的环境) 师:大家是不是在想,按照这样的方式,你是否真的占大便宜了呢?会不会有陷阱呢?下面,我们一起来 分析一下这个问题吧!(课件)。根据老师刚才所说的,显然我们可以建立这样一个模型:从第一天开始,我第一天给你100,第二天101,102,到第三十天我会给你129块钱,组成数列{}n a ;但你每一天回扣给我的钱都是前一天的两倍,到了第三十天,你要回扣给我29 2分钱,组成数列{}n b 。 那么,我给你的钱总共是多少? 怎么算呢? 生D (举手):等差数列求和公式 师:没错。这是一个首项是 生(齐答):100

师:公差是 生(齐答):1 师:的等差数列,那么我们就可以利用之前所学的等差数列的求和公式代入进去,算出来,结果是3435元,我总共给你的钱已经算出来了,现在我们应该也把 你总共给我的钱 也算出来,才能对比吧。谁能告诉我,你总共给我的钱怎么算? 生A (举手):应该是2 122++一直加到29 2 ,但是结果不会算出来。 师:(课件)嗯。如果我们把这上面的每一项逐一相加的话,那也太麻烦了。 那有简单的方法吗? 生(思考状、摇头状) 师:大家有没有发现这个是什么数列?(指着课件数列{}n b ) 生(齐答):等比数列 师:首项是? 生(齐答):1 师:公比是? 生(齐答):2 师:我们要求的其实就是这个等比数列的前30项的和吧。(指着课件n T )要求和,应该首先要知道等比 数列的前n 项和公式,是吧? (板书)一般地,对于等比数列123,,,,,n a a a a …………, 它的前n 项和应该是123n n S a a a a =+++ + ……,是吧? 好,现在我们先来回顾一下,上节课学的关于等比数列的内容。等比数列的定义是? 生(齐答): 1 n n a q a -=(,———>师引导补充范围 师:通项式是? 生(齐答): ———>师引导补充范围 师:现在我们要找等比数列的前n 项和公式, 要求数列的和,大家联想到什么?诶,我们之前不是学过等差数列的前n 项和的公式吗?大家还记不记得 我们当时是怎么推导的? 生B (举手):倒序相加法。 师:很好!我们一起来回顾一下倒序相加法(课件)。 根据等差数列的定义,前n 项和n S 可以写成这种形式,也可以写成这种形式(指着课件上的式1、2),刚好我们发现,对应两个项相加都等于1n a a +,所以我们把两个式子相加在一起,接着我们就得到n S 的表达式。 师:那么大家想一下,我们这个等比数列(指着板书)的前n 项和公式是否能用(板书)倒序相加法推导 呢? 下面,我们就这个问题进行探究。 首先,大家互相讨论一下! 生(热烈讨论) 师:好的!大家有讨论结果了吗? 生C (举手):我们小组认为这种方法在这里行不通。

数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(2 1 [+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ,即n =8时,501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

第六讲:等差、等比数列的运用公式大全

第六讲:等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质 定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质:{}n a 是等差数列 m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; a d a a d -+,, n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项, 即:当100a d ><,,解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当10 0a d <>,,由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ,有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶, 1 += n n a a S S 偶 奇. 12-n 的等差数列{} n a ,有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-,

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