02第二章一元函数微分学专题2(学生版)

题型十一 拉格朗日中值定理的常规证明问题

方法：若函数],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导,下列三种情况常使用拉格朗日中值定理

(1)出现)()(a f b f -;(2)出现)(),(),(b f c f a f ;(3)出现)(x f 与)(x f '之间的关系式.

1.设函数],[)(b a C x f ∈,在),(b a 内可导,M x f ≤')(且)(x f 在),(b a 内至少有一个零点,证明:)()()(a b M b f a f -≤+.

2.设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导,)()(b f a f =,且)(x f 不恒为常数,

证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(>'ξf .

练习1.设)(x f 在],[b a 上二阶可导, M x f ≤'')(,且)(x f 的最小点在),(b a 内,证明: )()()(a b M b f a f -≤'+'

2.设e x f x ='∞→)(lim ,且x

x x c x c x x f x f ??

? ??-+=--∞→∞→lim )]1()([lim ,求c .

题型十二 泰勒公式的常规证明

方法：使用泰勒公式进行证明时,最关键的是如何确定0x 和x ,一般地有: 1.0x 的选取标准(1)与一阶导数相关的点(2)区间中点(3)其他

2.x 的选取标准(1)与函数值相关的点(2)区间的端点(3)其他

1.设)(x f 在]1,1[-上三阶连续可导，0)1(=-f ，0)0(='f ，1)1(=f 证明：存在)1,1(-∈ξ，使得3)(='''ξf

2.设)(x f 在],[b a 上二阶可导,0)()(='='b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得 2

)()()(4)(a b a f b f f --≥

''ξ

练习1.设)(x f 在]1,0[上二阶可导,0)1()0(==f f ，且1)(min 1

0-=≤≤x f x ， 证明：存在]1,0[∈ξ，使得8)(≥''ξf

2.设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内二阶连续可导,证明：存在),(b a ∈ξ，使得

)(4)()(22)(2

ξf a b a f b a f b f ''-=+??

? ??+-

题型十三 不等式的证明

方法(1)利用单调性(2)利用中值定理(3)利用凹凸性(4)利用最值

1.证明：当0>x 时，x x x

x <+<+)1ln(1

2.证明：当0>x 时，)1ln()1(1x x e x ++>-

练习1.证明：当0>x 时，22)1(ln 1-≥-x x x ）（

2.设2e b a e <<<，证明：2224ln ln e

a b a b >--