二次根式
二次根式（一）
班别__210____姓名________成绩___________
一选择题（每题3分，21分） 1、下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2、下列语句中不正确的是（ ）。
A ．-1的立方根是-1
B .1的立方根是
1
C ．是的立方根
D .8的立方根是2 3、将
根号外的a 移到根号内，得 ( )
A.
； B. －
； C. －
；
D.
4、若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 为（ ） A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．－1
5、在实数范围内，下列判断正确的是（ ） A .若=，则
B .若
, 则 C .若=，则
D .若
=，则
6、在(-)0
,
,0,,0.010010001……，∏/2，－0.333…，
， 3.1415，2.010101…(相
邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
7、（2013浙江金华、衢州4分）
分母有理化的结果是【 】
（A
1 （B
1 (C )1
（D ）－1
二、填空题（每题3分，24分）
8．若是一个实数，则x的值为_____．
9．已知│2x+1│+=0，则－x2+y2008=______．
10．已知a=，b=，则a+b=______．
11、（2013南京市，7，2）使有意义的x取值范围.
12、若，则＝
13、满足的整数是.
14、若=1-x,则x的值为.
15、一个正方形的边长变为原来的倍，则面积变为原来的倍；一个立方体的
体积变为原来的倍，则棱长变为原来的倍.
16=。
17、已知最简二次根式b a=______，b=_______．
二、解答题（55分）
18、解下列各式中的x（14分）
⑴⑵
19．计算：（6分）（－3）2008·（+3）2007
三．计算:（21分）
（1）；（2）；
（3）
20（7分）设的整数部分是m，小数部分为n，求m－n的值．
21（7分）
二次根式有意义
二次根式有意义 评卷人得分 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（） A．B．C．D． 3．式子中x的取值范围是（） A．x≤3 B．x＜3 C．x≥﹣3 D．x≥3 4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0且 x≠1 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥B．x≤C．x≥﹣ D．x≤﹣ 6．如果式子有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x≥2 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 9．二次根式有意义的条件是（） A．x B．x C．x D．x≤3 10．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＞2 C．a=2 D．a≤1 11．使有意义的x的取值范围是（）
A．x＞B．x＜C．x≥﹣ D．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x≥1且x≠2 D．x＞2 13．在二次根式中，字母x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥﹣3 评卷人 得分 二．填空题（共2小题） 14．当x 时，二次根式有意义． 15．如果分式有意义，那么x的取值范围是．
二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 【解答】解：由题意可知： ∴x≥﹣3且x≠0 故选：C． 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 【解答】解：A、∵是二次根式， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B、∵是二次根式， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3，故本选项错误； C、∵是二次根式， ∴x﹣3≥0， ∴x≥3，故本选项错误； D、∵是二次根式， ∴≥0， ∴x＞3，故本选项正确； 故选：D．
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 二次根式 知识点一： 二次根式的概念 定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。” “称为二次根号。 注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式， 而 ， 等都不是二次根式。 例1233x 1x （x>0）04 22、 y x 1 +、y x +（x ≥0，y?≥0）． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。 例2．当x 是多少时，1x 3+在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时， 32x ++ 1 x 1 +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式a （a≥0）的非负性 a （a≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a≥0））是一个非负数，即a ≥（a≥0）。 注：因为二次根式a （a≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以 非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即a ≥（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝 对值、偶次方类似。 例4(1)已知y= 2x x 2-+-+5，求 y x 的值． (2)若1b 1a -+ +=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式()2 a 的性质 ()2a=a（a≥0） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式()2a=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。 例1 计算()25 2 2 3???? ? ?2 2 7 ? ? ? ? ? ? 例2在实数范围内分解下列因式: （1）3 x2-（2）4 x4- 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1） 9（2）2 (4) - （3） 25（4）2 (3) - 例2 填空：当a≥0时， 2 a=_____；当a<0时，2a=_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若 2 a=a，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a是什么数？（3）2a>a，则a是什么数？ 例3当x>2，化简()()2 2x2 1 2 x- - -． 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 二次根式定义解读 我们知道：一般地，形如a )0(≥a 的式子的式子叫做二次根式，而a )0(≥a 也表示a 的算术平方根，所以可得,0≥a )0(≥a . 这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？ 1. 条件)0(≥a 的作用：列不等式，可求被开方数中，字母的取值范围. 例1 当a -1 1++a 有意义时，a 的取值范围是 . 析解：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得,0≥-a 含有分式，分母不为零，得01≠+a , a 的取值应使以上二式都成立， ∴据题意得???≠+≥-0 10a a 解得：,0≤a 且1-≠a . 例2 121 2+x 有意义，则x 的取值范围是 . 解：法一 据题意得： 012>+x , 12->x , 当x 取任意实数时，上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数. 法二：∵,02≥x ∴112 ≥+x , 即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义，∴x 的取值范围是全体实数. 点评：此题看似简单，学生却极易出错，错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解，从而得出荒谬的结论. 【小结】数学表达式中的条件，往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围. 2. 0≥a 的作用：表示非负数，往往与也表示非负数的绝对值、偶次幂同时出现于同一题目中. 例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数，则22y x += . 解：据题意得， 32-+y x +1-xy =0, ∴???=-=-+010 32xy y x , ∴???==+13 2xy y x , 二次根式有意义的条件练习题 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________有意义。 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤ 5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. = 成立的条件是 。 12. 若1a b -+与()2005 _____________a b -=。 13. )))020x y x x y =-+ 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()2 22a + D. ()2 24a + 17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( ) ()() 123224==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并 苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2）； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥）， 如22212;;3x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42的异同 a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a 初中数学 二次根式及其有意义的条件 编稿老师 徐文涛 一校 杨雪 二校 黄楠 审核 隋冬梅 【考点精讲】 概念 二次根式 表示方法 有意义的条件 1. 二次根式：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为 二次根号，“ a ”叫做被开方数。 2. 当 a ＞ 0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞ 0； 当 a ＝0 时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a ＝ 0。 这就是说， a （ a ≥ 0）是一个非负数。 【典例精析】 例题 1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10 ， x 2 3 ， 3 15 ， ，5 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路导航： 3 15 的根指数为 3； 5 的被开方数是负数，所以不是二次根式； 10 ， x 2 3 ， 符合二次根式的条件，所以是二次根式的有 3 个。 答案： C 点评： 二次根式必须满足两个条件：①根指数为 2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。 例题 2 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义 （ 1） (x 3) 2 ；（ 2） 4 3x ；（ 3） 1 x 1 思路导航： 要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数， 如果分母中有根式， 那么 被开方数必须是正数，因为零不能作分母。 答案： 解：（ 1）因为（ x － 3） 2≥0，所以无论 x 取任何实数， (x 3) 2 都有意义； （ 2）若 4 3x 有意义，则必有 4－3x ≥0，即当 x ≤ 4 时， 4 3x 有意义； 3 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根式. 定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式； （3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质 （1）a _____0（a ___0）；（2） ()2 a ＝_____（a ___0）；（3） a a =2＝() () ?? ?0_____ 0_____ a a ； （4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____. 4.二次根式的乘、除法则： （1）（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2 () () ?? ?<-≥00a a a a 进行化 简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变； （2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8； （3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 考点1 二次根式有意义的条件 人教版九年级第21章第1节二次根式（2）教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解a≥0）是一个非负数； （22=a（a≥0），会运用该公式进行简单计算； 2．过程与方法 （1）先复习二次根式概念及成立条件； （2）再让学生探讨a≥0a≥0）是一个非负数； （32=a（a≥0），最后运用结论严谨解题． 3．情感、态度与价值观 （a≥0）的正负特征培养分类讨论的科学态度；学生通过运用 2=a（a≥0）严谨解题，加强学生准确解题的能力． 教学重难点 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2．难点：用分类思想导出a≥0）是一个非负数；?2=a （a≥0）． 一．课堂导入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0a<0 二．探索新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是正数，负数，还是零呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 做一做：根据算术平方根的意义填空： 2=_______；2=_______；2=______；2=_______； ）2=______；2=_______；2=_______． 老师点评4是一个平方等于4的 2=4． 同理可得：2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72 ，）2=0，所以 例1 计算 1．2 2．（）2 3．2 4．（2 ）2 分析2=a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=56，（2）2=2 2724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 42 ）2 （） 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．（2（x≥0） 2．2 3．）2 4．）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题． 二次根式有意义 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 3．式子中x的取值范围是（） A．x≤3 B．x＜3 C．x≥﹣3 D．x≥3 4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0且x≠1 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥B．x≤C．x≥﹣D．x≤﹣ 6．如果式子有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x≥2 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1 9．二次根式有意义的条件是（） A．x B．x C．x D．x≤3 10．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（） A．a≥2 B．a＞2 C．a=2 D．a≤1 11．使有意义的x的取值范围是（） A．x＞B．x＜C．x≥﹣D．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥1且x≠2 D．x＞2 13．在二次根式中，字母x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥﹣3 二．填空题（共2小题） 14．当x 时，二次根式有意义． 15．如果分式有意义，那么x的取值范围是． 二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 【解答】解：由题意可知： ∴x≥﹣3且x≠0 故选：C． 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 【解答】解：A、∵是二次根式， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B、∵是二次根式， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3，故本选项错误； C、∵是二次根式， ∴x﹣3≥0， ∴x≥3，故本选项错误； D、∵是二次根式， ∴≥0， ∴x＞3，故本选项正确； 故选：D． 3．式子中x的取值范围是（） 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） 1 21 +-x （3）45++x x (6) . （7）若1)1(-= -x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1 31 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 2 9922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式的知识点归纳总结 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如， ，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意 义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则 等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即 ； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 教学过程 一、复习预习 1.二次根式的概念 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的双重非负性 二、知识讲解 考点1 二次根式的概念 （a≥0）?的式子叫做二次根式， 要点诠释：（1）必需含有二次根号. （2）被开方数a≥0. （3）a可以是数,也可以是含有字母的式子. 考点2 二次根式有意义的条件 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 考点3 二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性是指二次根式本身是非负的0 ，被开方数也是非负的 a 03. 三、例题精析 【例题1】 下列式子，哪些是二次根式，、1 x x>0）、 、1 x y +（x ≥0，y?≥0）． 【答案】（x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次 1x 、1x y +． 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 【例题2】 当x 【答案】由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0能有意义． 【例题3】 已知 ，求x y 的值． 【答案】2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2 = y5 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2 = y5 【例题4】 ，求a2014+b2014的值． ∴a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1， 故a2014+b2014=（-1）2014+（1）2014=2 【解析】由二次根式的定义可知, 和 故只能是a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，故a2014+b2014=（-1）2014+12014=2. 四、课堂运用 【基础】 1.下列式子中，是二次根式的是（） A． B C D．x 【答案】A 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 ；第二，被开方数是正数或0． B选项所含根号不是二次的，C选项中被开方数可为负，D选项不含二次根号. 2.下列式子中,是二次根式的有(填序号) 一、选择题（共20小题） 1．下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是（） A．B．C．D． 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（A．x=1B．x≥1C．x＞1 D．x＜1 3．x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 5．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1 6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4 8．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x= B．x≠C．x≥D．x≤ 10．要使式子有意义，则a的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3 12．要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 13．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2 14．代数式有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x ≥1且x ≠﹣1 D ．x ≥﹣1 15．下列说法中，正确的是（ ）A ．当x ＜1时，有意义 B ．方程x 2+x ﹣2=0的根是x 1=﹣1，x 2=2 C ．的化简结果是 D ．a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c 16．在式子，，，中，x 可以取2和3的是（ ） A ． B ． C ． D ． 17．使代数式有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．﹣5≤x ＜5 C ．x ≥5 D ．x ≥﹣5 18．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥ B ．x ≥﹣ C ．x ＞ D ．x ≠ 19．二次根式有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＜2 D ．x ≤2 20．要使式子有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1 B ．m ≥﹣1 C ．m ＞﹣1且m ≠1 D ．m ≥﹣1且m ≠1 21．代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 22．使二次根式有意义的x 的取值范围是 ． 24．要使式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 25．使有意义的x 的取值范围是 ． 26．若，则（x+y ）y = ． 27．二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 28．使式子1+有意义的x 的取值范围是 ． 29．已知x 、y 为实数，且y=﹣+4，则x ﹣y= ． 30．若式子有意义，则实数x 的取值范围是 ． 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 二次根式知识点总结 王亚平 1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方 数，只有当a是一个非负数时，a才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性：心心-。）是一个非负数. 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到. 2 （掐）2 =a（a H0） 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个 非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0） —:a(a^0) v a = a = * I—a(a<0) 3. 注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式)： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算分母有理化 1. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说 这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a.b 与 a - - b , a ? b 与? a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；二次根式章节知识点题型及巩固习题
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