点到直线的距离(杜晓雯)
2006年全国高中青年数学教师优秀课比赛
《点到直线的距离》教案
四川省成都市第七中学数学组杜晓雯
【课题】点到直线的距离
【教材】全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）人民教育出版社
【授课教师】杜晓雯
一．教学目标
1．教材分析
⑴教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．
⑵地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
2．学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．
3．教学目标
依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标．
⑴ 知识技能
① 理解点到直线的距离公式的推导过程； ② 掌握点到直线的距离公式；
③ 掌握点到直线的距离公式的应用．
⑵ 数学思考
① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；
② 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力； ③ 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．
⑶ 解决问题
① 通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ② 由探索点()2,0P 到直线0x y -=的距离，推广到探索点()00,P x y 到直线
0A x B y C ++=()22A B +≠0的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽
象的数学研究方法．
⑷ 情感态度
结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．
二． 教学重点、难点
1．教学重点
⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．
2．教学难点
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．
⑵所得的两条直线互相平行且距离为2．
例3
学生：两条平行直线间的距离处处相等；
板书设计：
设计说明：
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力； 2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；
3．由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；
5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．
课题：点到直线的距离 1． 问题1 如何求点(2,0)P 到直线0x y -=的距离？ 方法① 方法② 方法③ 方法④ 2． 问题2 如何求点(4,2)P 到直线220x y -+=的距离？ 3． 问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++= 的距离（220A B +≠）？ 方法① 利用定义的算法框图 方法② 利用直角三角形的面积公式的算法框图 方法③ 利用平面向量的算法框图
点到直线的距离公式
4．典型例题 例1 例2 例3 例4
5．课堂练习 6．课堂小结 7．课后作业
向量法求空间距离教案
A B C D O S x y z 图2 A B C D α n a b 龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法求空间距离 能用向量方法解决空间距离问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用. 二、授课内容及过程： 1、点到平面的距离 方法：已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则A 到平面α的距离d =AB n n ? . 2、两条异面直线距离： 方法：a 、b 为异面直线，a 、b 间的距离为：AB n d n ?= . 其中n 与a 、b 均垂直，A 、B 分别为两异面直线上的任意两点 题型1：异面直线间的距离 例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =。求异面直线BD 和SC 之间的距离？ 题型2：点面距离 如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4 π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1 (,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为
向量法求异面直距离解法探求
向量法求异面直距离解法探求
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
向量法求异面直线的距离解法探求 湖南 黄爱民 空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。 一、 定义法： 例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二面角，且正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ，EF 的中点，求异面直线BD 与EF 的距离。 解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。显然AF AD ,的夹角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900， AD AF AB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2 121)()(212121-=+-+-=++=++=ΘEF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=?-?=?-=?⊥⊥∴=+--=?+?--?=-?-=?∴即又即）（,021)2 1(.,,0002160cos 2 121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。 ,2 3||434160cos 41)21(||2202222222a MN a a a a AD AD AF AF AD AF MN MN ==+-=+?-=-==Θ异面直线BD 与EF 的距离为a 2 3。 点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。然后利用向量 模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。 二、射影法： 分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂 直的法向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模设为d ，从而由 公式||| |n n a d ?=求解。 例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距离。 解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则B （a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则)3,,(),0,0,(a a a PC a AB -==， 设PC AB ,的公垂线的方向向量为),,(z y x n =由 ? ??==??????=-+=?==?z y x az ay ax PC n ax AB n 30030，不妨令x=0,y=1,z=3则有)3,1,0(=n ，又)3,0,0(a AP =，∴AB 与PC 间的距离为：a a n AP n d 1010910 9||| |==?=。 点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利 用待定系数法确定公垂线的方向向量n 。
最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离》预习导航
预习导航 请沿着以下脉络预习： 1．距离公式 (1)两点间距离公式：P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2| (2)点到直线的距离公式：P (x 0，y 0)，直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0，则P 到l 的距离 (3)两平行线间距离公式：l 1，l 2的方程分别为Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0，其中C 1≠C 2，则l 1与l 2之间的距离 d = 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|； (3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |，当a ＝0时，即x 轴，d ＝|y 0|； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |，当b ＝0时，即y 轴，d ＝|x 0|. 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．12 B ．32 C ．322 D ．22 答案：C 2．直线x －y －2＝0与直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．12 B ．32 C ．22 D ．322 答案：D 3．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则|OP |的最小值为( )． A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．2 答案：B 4．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是__________． 答案：13515
解析：两直线方程必须化为同系数后，才能利用公式． 5．与两平行直线l 1：3x －y ＋9＝0，l 2：3x －y －3＝0等距离的直线方程为__________． 答案：3x －y ＋3＝0 解析：设直线方程为3x －y ＋C ＝0. 由两平行线间距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2 ， 可得|9－C |＝|C ＋3|，解得C ＝3． ∴所求直线方程为3x －y ＋3＝0. 6．求点P (3，－2)到下列直线的距离． (1)3x －4y ＋1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴． 解：(1)根据点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2 ＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，∴d ＝|6－(－2)|＝8. (3)d ＝|3|＝3．
人教版初中七年级数学下册《点到直线的距离》教案
点到直线的距离 教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。 教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。 教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程： 一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？ 二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。 （1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的 垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？ 如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：
如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离。 6、做一做 （1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。 （2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋 三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结 四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。
向量法求空间点到平面的距离教案
学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
学习必备欢迎下载
学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
用向量法求空间距离
用向量法求空间距离 湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙 在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离 用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离. 例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点， DQ=4 1 DB ，求P 、Q 两点间的距离. 解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 0)4 141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21 －4141(－，，=. 46= ,即P 、Q 两点的距离为4 6. 二、 求点到直线之间的距离 已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d . 则有>= < 故>
例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2). 所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故 d = 13 286 213168=- = 所以点O 1到直线AC 的距离为13 286 2. 三、 求点到平面的距离 如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量 在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d ，所以 d ==>
小学人教四年级数学点到直线的距离教案
执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时 学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。 教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。 教学难点能解决一些实际的问题 教学准备多媒体课件、三角尺 教学过程 一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示） （学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。 （学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这 节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的 距离（板书课题）。 【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学 生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复 习为今天的学习起到铺垫作用】 二、新知探究。 修改意见
（一）点到直线的距离 1、画一画 从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量 学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂 直线段最短。 教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离 【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线 的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】 （二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什 么发现？ （生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线 垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条 直线是否平行。 三、巩固练习 （一）基础练习 1、填空。
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，
用向量法求空间距离
A B C D m n 1 图向量法求空间距离 向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。 1.异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在 n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离 d 等于在上的射影长，即| |n d = 证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==, | |||)(?=?∴?++=?∴++= | |||||n n AB d ?= =∴ 2平面外一点P 到平面α的距离 如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定 点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即| |n d = 因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。 [例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2， 底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。 图2 A B C M N 1 A 1 B 1 C 图3
几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ， 、)0,0,0(A )81 ,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则 )2,0,0(),0,4 3,43( ),8 1 ,41,43(1==- =AA AM MN ， 设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有 )0()1,1,3(8 ),81,83( 8183 0434********>-=-=∴?????? ?-==?=???????=+=++-??????⊥⊥z z z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n 向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是 5 5 21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2 2201011011= +-+-?= =>
新人教版四年级《点到直线的距离》教学设计
课题点到直线的距离 教学内容：人教版教材第59页例3 课程标准描述 通过观察、操作等活动，经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 教学目标: 1、经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知 直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。 2、会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 3、进一步体会数学和现实生活的联系，培养数学应用意识。 教学重点、难点： 会画已知直线的垂线，认识点到直线的距离。 评价活动方案 1、通过画一画，折一折等操作活动，认识点到直线的距离。以评价教学目标1。
2、能用直尺或三角尺测量点到直线的距离。以评价目标2。 教学准备：课件 教学过程 一、导入 1、提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 2、谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 3、学生画图，指名到黑板上板演。指出垂足。 师谈话： 今天这节课我们要继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离 （板书课题） 二、新授 （一）认识“点到直线的距离” 1、刚才大家过A点作直线的垂线，那么，从A点到垂足之间的这条线是线段？还是射线？还是直线？ 2、教师指出：从A点到垂足之间这条垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
指明学生说说什么叫“点到直线的距离” （二）认识垂直线段的性质 1、谈话：刚才我们画了从A点到直线的垂直线段。 你能从A点向直线画几条不垂直的线段吗？任意画几条。 2、把这些线段的长度与刚才那条垂直线段的长度比一比，你发现了什么？ 3、把你的发现与同桌交流一下。 4、指名交流。 5、小结：正因为这条垂直的线段最段，所以“点到直线的距离”其实就是指这个点到这条直线的垂直线段的长度。 三、巩固练习：第59页上“做一做” （一）第1题： 1、出示题目， 谈话：题目要求我们量出点到直线的距离，那么什么是点到直线的距离？ 2、学生动手作图，测量。 3、汇报测量结果。 （二）第2题：
向量法求空间距离n
向量法求空间距离 广州市第78中学数学科 黄涛 教学重点难点 重点：掌握由向量数量积推导距离公式 难点：空间向量的投影的理解，灵活运用数形结合的思想，空间直角坐标系的 建立，求法向量，向量的选取。 教学方法、教学手段 采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。 因为要充分体现数形结合思想，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。 教学目标： (1) 知识目标：理解向量数量积与射影的关系，基本掌握用数量积公式的变形求空间距离的方法和步骤 (2) 能力训练目标：培养动手能力，计算表达能力，空间想象能力 (3) 创新素质目标：通过立体几何向量方法解题体会知识之间的内在联系，事物内在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法 (4) 情感目标：化繁为简，化难为易，在师生共同探索中建立学生学习数学的信心和热情 教学过程： 一．复习引入 1．如右图中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点D 1到平面BB 1C 1C 的距离是_______,直线B 1C 1与B 1C 的距离是_________. 2.点C 1到平面AB 1C 的距离又是______,体对角线BD 1与面对角线B 1C 的距离是__________. 分析：以第一题找具体线段方法求距离很困难，提出能否避开“作图”这一难点，不通过找具体的线段求解，而用“数”来求解？ 3.我们已经学习了向量的数量积为0可证垂直，| |||,cos b a b a b a ??>=<可求夹角， 221221221)()()(||z z y y x x a a a -+-+-==? 可以求两点间的距离，射影公式>
人教新课标版(A)高一必修 点到直线的距离公式教案
3．3．3两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式 三维目标： 知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪王新敞 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研
究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 0222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式： 点),(0 y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为： 2 200B A C By Ax d +++= 王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(0 y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?
学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一： 设点P到直线l的垂Array线段为PQ，垂足为Q，由 PQ⊥l可知，直线PQ的斜 率为 B（A≠0），根据点斜 A 式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面 我们探讨别一种方法王新敞
人教版七年级数学下册 5.1 相交线-点到直线的距离练习
5.1 相交线-点到直线的距离 班级：__________ 姓名：__________分数：__________ 一、选择题 1. 点到直线的距离是指( ) A.从直线外一点到这条直线的垂线 B.从直线外一点到这条直线的垂线段 C.从直线外一点到这条直线的垂线的长 D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长 2. 下列说法正确的是( ) A.若线段，则点是线段的中点 B.相等的角是对顶角 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 3. 为直线外一点，，，为直线上三点， ，则点到直线的距离为 （） A. B. C. D.不大于 4. 如图，在三角形中，于点，则下列
说法错误的是（） A.点到直线的距离为线段的长度 B.点到直线的距离为线段的长度 C.点到直线的距离为线段的长度 D.点到直线的距离为线段的长度 5. 如图，为直线外一点，点，，在直线上，且 ，垂足为，，则下列说法中错误的是（） A.线段的长度叫点到直线的距离 B.，，三条线段中，最短
C.线段的长度叫点到直线的距离 D.线段的长度等于点到直线的距离 6. 下列说法正确的是（） A.过，两点的直线的长度是，两点之间的距离 B.线段就是，两点之间的距离 C.在连接，两点的所有线中，最短线的长度是，两点之间的距离 D.乘火车从上海到北京要走千米，这就是说上海站与北京站之间的距离是千米 7. 如图，点在直线外，在过点的四条线段中表示点到直线 距离的是线段（） A. B. C. D. 8. 如图所示，右，，，则下列说法正确个数为（）
①到的距离为； ②到的距离为； ③到的距离为； ④到的距离为． A. B. C. D. 9. 如图所示，，垂足为，连接 ，下列说法正确的是（） ①线段是，两点间的距离 ②线段的长度是，两点间的距离 ③线段是点到直线的距离 ④线段的长度是点到直线的距离． A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
向量法求空间距离和角
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两
个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．
新人教版四年级《点到直线的距离》教学设计与反思
教学内容：第59页 教学目标 1、让学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 3、让学生在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、让学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点、难点： 认识点到直线的距离，并能解决一些实际的问题。 教学准备：课件 教学过程设计 一、导入 1、提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 2、谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 学生画图，指名到黑板上板演。指出垂足。 3、谈话：今天这节课我们要继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离（板书课题） 二、新授 （一）认识“点到直线的距离” 1、刚才大家过A点作直线的垂线，那么，从A点到垂足之间的这条线是线段？还是射线？还是直线？ 2、教师指出：从A点到垂足之间这条垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
指明学生说说什么叫“点到直线的距离” （二）认识垂直线段的性质 1、谈话：刚才我们画了从A点到直线的垂直线段。你能从A点向直线画几条不垂直的线段吗？任意画几条。 2、把这些线段的长度与刚才那条垂直线段的长度比一比，你发现了什么？ 3、把你的发现与同桌交流一下。 4、指名交流。 5、小结：正因为这条垂直的线段最段，所以“点到直线的距离”其实就是指这个点到这条直线的垂直线段的长度。 三、巩固练习：第59页上“做一做” （一）第1题： 1、出示题目，谈话：题目要求我们量出点到直线的距离，那么什么是点到直线的距离？ 2、学生动手作图，测量。 3、汇报测量结果。 （二）第2题： 1、指明说明题目要求 2、学生操作 3、交流操作结果。 4、你发现了什么？先和同桌说一说，再指名交流。 5、小结：两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段的长度都相等。我们也可以说：平行线之间的距离处处相等。这个结论很重要，而且在生活中广泛的运用。 6、到现在为止，我们已经研究了关于图形距离的三种情况：（1）两点之间的距离 （2）点到直线的距离
利用向量法求点到平面的距离
利用平面的法向量求点到平面的距离 甘肃省 彭长军 如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n n u u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明. 例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8) 是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离. 解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得 2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=??++=??2y x 32z x 3?=????=-?? ,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r = 17 49=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则 G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2), GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0). 设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由 0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=??+-=?? x=y z 3y ??=?,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
3-2-5 利用向量知识求距离
能力拓展提升 一、选择题 9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM MC 1 ＝ 1 2，N 为BB 1的中点，则|MN |的长为( ) A.216a B.6 6a C.156a D.153a [答案] A [解析] 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A → ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， 由条件知，MN →＝AN →－AM → ＝12(AB →＋AB 1→)－13AC 1→ ＝12(AB →＋AB →＋AA 1→)－13(AA 1→ ＋A 1B 1→＋A 1D 1→)
＝12(2a －c )－13(－c ＋a ＋b )＝23a －13b －16c ， |MN →|2 ＝? ?? ??23a －13b －16c 2＝19(2a －b －12c )2 ＝19(4|a |2＋|b |2＋1 4|c |2－4a ·b －2a ·c ＋b ·c ) ＝21a 236，∴|MN →|＝216a . 10．二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( ) A.2 B.3 C ．2 D. 5 [答案] C [解析] 如图．∵二面角α－l －β等于120°， ∴CA →与BD → 夹角为60°. 由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1，|CD →|2 ＝|CA → ＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋
向量法求空间角、距离和二面角
向量法求空间角、距离和二面角 1.1.向量的数量积和坐标运算 a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是： —￥■—* 若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U ① a b X1X2 y〃2 Z1Z2; ②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22; ③ a b X1X2 y1 y2 z1z2 X1X2 y“2 Z1Z2 ④C0S a ， b 丨 2 2 2 厂 2 2 2 X1 y1 Z, . X2 y2 Z2 1.2.异面直线m,n所成的角 分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所 成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所 示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东 D图1 b B |a| |b| 卷第18题第（2）问） 1.3.异面直线m、n的距离 分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在
| AB n | n上的射影长，即d |n| 证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则
CD CA AB BD CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n| d |CD| 皿 1 |n| 设直线m, n所成的角为，显然cos la b| |a| |b| 14直线L与平面所成的角 在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所 示）, 再求cos ，则 |AB| | n| 2为所求的角. 1.5 . 二面角 方法一：构造二面 角 量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示）， 则 的两个半平面、的法向 ① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示, 那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos ri t n2 g | “2 | .(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即 n t n2 cos .（例如2004年高考数学广东卷第 |n 1 | |n2 | 图3 乙 18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、 求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则