2007年天河区高二数学竞赛试题

789

9446473

2007年天河区高二数学竞赛试题

2007年4月12日下午2：30—4：30

一、选择题：

（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A ．84，84.4B ．84，6.1C ．85，6

.1D ．85，4

2.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）

（A ）1992（B ）1990（C ）1873（D ）1891

3.动点P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆

C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（）（A ）一条直线（B ）双曲线的右支（C ）抛物线（

D ）椭圆

4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（）

A ．①④

B ．②③

C ．②④

D ．①②

二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

）5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是___________.

6、已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为

与则若c a ,2

5

)( =?+c b a ______.

7.已知0

2sin 2sin 5=α，则)

1tan()

1tan(0

0-+αα的值是_______________________.

8.已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一

个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为___________.9.已知0>t ,关于x 的方程22=-+

x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.

10．已知点P 为椭圆13

22

=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于三、解答题：

（本大题共5小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（本题满分18分）如图，已知三棱锥P—ABC ，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为AB 中点，M

为PB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC ．

A

B

C D

1

A 1

B 1

C 1

D P

①

③④

②

（I ）求证：//DM 平面PAC ；

（II ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；

（Ⅲ）若M 为PB 的中点，求三棱锥M—BCD 的体积．

12.（本小题满分18分）已知函数(

)cos2sin cos 2f

x a x x x a b =--++的定义域为???

??

?20π，，

值域为[－5，1]，求常数a 、b 的值．

13.（本小题满分18分）某市对居民生活用水的收费方法是：

水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费.若每月用水量不

超过限量am 3

时，只收取基本用水费8元和每户每月的定额水损

耗费c 元；若用水量超过am 3

时，除了要收取同上的基本用水费

和定额水损耗费外，超过部分每m 3

还要收取b 元的超额用水费.已知每户每月的定额水损耗费不超过5元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况。根据上表中的数据，求出a，b，c 的值.

14．（本小题满分18分）设3

2

()f x ax bx cx =++的极小值为8-,

2

(2,0),(,0)3

-,如图所示,

（1）求()f x 的解析式；

（2）若对[3,3]x ∈-都有2

()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．

15.（本小题满分18分）如图，将圆分成n 个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记

为n a 。求

（Ⅰ）1234,,,a a a a ；

（Ⅱ）n a 与()12n a n +≥的关系式；

（Ⅲ）数列{}n a 的通项公式n a ，并证明()*

2n a n n N

≥∈。

月份用水量

(m 3)水费(元)

199215193

22

33

2007年天河区高二数学竞赛答题卷

选择题：每小题6分

填空题：每小题6分5．6．7．8．9．

10．

解答题：11．（本小题满分18分）

题号1

2

3

4

答案

学校：姓名：考号：

13．（本小题满分18分）

装订线内不要答题装订线内不要答题装订线内不要答题装订线内不要答题