高等数学第六版(同济版)第十二章复习资料

第十二章无穷级数引言：一、无穷级数简介：无穷级数

是数学分析中的一个重要组成部分，是表示函数，特别是表示非初等函数的

一个重要的数学工具，与极限理论并称为数学分析两大理论. 二、分类：

常数项级数：它是函数项级数的特殊情况，又是函数项级数的基础. 函

数项级数：它是研究函数性质以及进行数值计算的重要手段第一节常

数项级数的概念和性质一、常数项级数的相关概念 1.引例：关于圆

的面积问题：求半径为的圆的面积首先作圆的内接正六边形，算出其面

积，得到圆面积的一个近似值：. 然后，以正六边形的每一边为底分别作一

个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这6个等腰角形面积之和，得到圆面积

的一个近似值：，即正十二边形的面积再次，以正十二边形的每一边为

底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这12个等腰三角形的积，

得到圆面积的一个近似值：，即正二十四边形的面积如此进行次，得到

圆面积的近似值，即正边形的面积. 越大，近似的效果越好，自然地认为，

圆面积是无穷多个数累加的和，即抽去面积问题的具体意

义，就得到无穷级数的概念 2.常数项无穷级数：设有数列，将该数列的

各项依次用加号连接所成的表达式称为常数项无穷级数，简称常数项级数或

级数，记作即.其中称为级数的通项或一般项注：1.

级数是无穷多个数相加的结果 2. 级数的形成经历了一个

有限到无限的过程 3.级数的和：称级数的前项和

为级数的部分和.称数列为级数的部分和数列若部分和数

列有极限，即，则称级数收敛，称为级数的和,即称

差值为级数的余项，显然若数列的极限不存在，则称发散

例1.讨论等比级数(几何级数) 的敛散性，其中解：(1).若，则部

分和 . 当时，有，则收敛当时，有，则发散 (2).若，则部分和，有，则发散.

(3).若，则部分和，有不存在，则发散. 综上，等比级数

在时收敛，在时发散例2. 证明等差级数发散证

明：由于部分和，有，从而发散例3.判定级数的敛散性，因此部分和，解：由于通项

且收敛，其和为1. ，则二、收敛级数的基本性质性质1：若级数收敛，和为，则级数也收敛，和为，其中

性质2：若级数与都收敛，其和分别为和，则也收敛，其和为

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性

性质4：若级数收敛，则对该级数的项任意加括号后所形成的级数

仍收敛注：1°. 反之不成立，即去掉收敛级数各项中的括号后得到的级数未必收敛例如：收敛于0，但去掉括号后所形成的级数

却发散.因为的部分和不存在极限 2.若级数的项加括号后所形成的级数发散，则也发散性质5：若级数收敛，则

注：1. 若，则发散 2.若，则未必收敛

例4.证明调和级数发散证明：用反证法，假设级数收敛于，再令该级数的部分和为，有从而也有，即.

但，这与矛盾，从而调和级数发散

三、级数收敛的判别法——(柯西审敛原理，，定理: 级数收敛，都有

成立证明：级数收敛数列收敛，，，，都有成立例5.利

用柯西审敛原理判定级数的敛散性. 解：，，要使不等式成立，只须于是，，，，，都有

由柯西审敛原理知，数收敛. 第二节

常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法 1.正项级数及其收敛性

(1).正项级数：若级数中的通项，则称为正项级数

(2).正项级数收敛：设正项级数的部分和数列收敛于，则称收敛，其和为

注：正项级数的部分和数列是单调增加的数列 (3).正项级数收敛的性质：定理1. 正项级数收敛的部分和数列有界

注：正项级数发散的部分和数列无界 2.正项级数审

敛法(敛散性判别法) (1).比较审敛法定理2.对正项级数和，满足，，

若收敛，则若发散，则发散.(大的

收敛保证小的必收敛；小的发散导致大的发散证明：1.设

收敛于和，则的部分和，即部分和数列有上界，

且单调增加，于是由单调有界准则知收敛，从而也收敛 2. 假设收

敛，由1知也收敛，出现矛盾，故发散推

论：对正项级数和，若收敛，且，，有则收敛. 若发

散，且，，有，则发散例1.讨论级数(广义调和级数) 的收敛性. 解：(1). 当时，有，而调和级数发散，从而

广义调和级数发散 (2). 当时，由于时，，. ，所以

从而级数的部分和 . 这表明数列有界，从而广义调和级数收敛综上，广义调和级数当时收敛，当发散

例2.证明级数是发散的证明：由

于，从而，而级数是调和级数，发散.故级数是

发散的 (2).比较审敛法的极限形式定理3.对正项级数和,满足 . (1). 若，与同敛态

(2). 若，且收敛，则收敛 (3). 若，且发散，则发散

证明： (1).由，则对，，，有，或，即 . 若收

敛，由于，从而收敛.若发散，由于，从而发散，即.

若收敛，(2).由，则对，，由于，从而收敛

(3).由知，假设收敛，则由(2)知收敛，矛盾，故发散例3.判

定级数的收敛性解：由于，又发散，从而发散

(3). 比值审敛法(d’Alembert判别法) 定理4. 对正项级数，满

足 (1).若，则收敛 (2).若或，则发散

(3).若，则敛散性待定证明： (1).由，取，使，存

在正数，当时，有，即.从而. 由于级数收敛，于是根据比较判别法的推论知收敛 (2).

由，取，使，存在正数，当时，有或，即，即数

列是单调增加的，从而，因此发散 (3).当时，可能收敛也可能

发散，例如：广义调和级数满足，但当时

收敛，当时发散. 例4．证明级数的收敛性. 证明：由于收敛. ，故例5.判定级数的收敛性.

解：由于，故发散. 例6.判断级数解：由于的收敛

性，故比值判别法失效，而收敛，从而由

于，，从而收敛 (4).根值审敛法(柯西判别法定理5. 对正项

级数，满足 (1).若，则收敛 (2).若或，则发

散 (3).若，则敛散性待定注：当时，可能收敛也

可能发散，例如：广义调和级数满足，但当时收敛，当时发散例7.判断级数的收敛

性. ，解：由于从而收敛 (5).极限审敛法

定理6.对正项级数， (1).若，则发散 (2).

若而，则收敛证明：(1). 在比较审敛法的

极限形式中，取，由调和级数发散，结论成立 (2). 在比较审

敛法的极限形式中，取，当时，由级数收敛，结论成立例8.

判断级数的收敛性解：由于，有，故收敛例

9.判断级数的收敛性解：由于，

有，故收敛

二、交错级数及其收敛法 1.交错级数：称各项是正负交错的级数为交错

级数，记作或 2.交错级数审敛法：(莱布尼兹判别法) 定理7.若交错级数 (2). ，则满足(1). 收敛，且其和，余项满足. 简记：若交错级数中数列单调减少趋近0，则收敛例10.判断交错级数的收敛

性，(2).,从而收敛. 解：由于(1). 三、任

意项级数及其绝对绝对收敛、条件收敛 1. 任意项级数：若级数中各项

为任意实数，则称为任意项级数 2. 绝对收敛：若级

数收敛，则称级数绝对收敛条件收敛：若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛例如：

绝对收敛；条件收敛. 3.级数收敛的绝对审敛法：定理8. 若级数

绝对收敛，则必定收敛证明：由已知，有收敛，设，则有，从而有收敛又，有，从而收敛

注：1°.反之不成立，即收敛的级数未必是绝对收敛的 2.一般来讲，但

若不趋近0，则由发散可知发散，

发散例11.判定级数的收敛性. 解：由于，而收敛，故收敛，从而也收敛. 例12. 判定级数的收敛性. 解：记，有，从而有不趋近0，因此

发散. 第三节幂级数一、函数项级数的相关概念 1.

函数项级数：设有区间上的函数列，将，称为函数项无穷级数，简称函数项级数，记作注：1.若，则函数项级数成为常数项级数

2°.函数项级数分两类：幂级数、三角级数 2.函数项级数的收敛域：若

常数项级数收敛，则称是函数项级数点，收敛点的全

体称为它的收敛域. 若常数项级数发散，则称的发散点，发散

点的全体称为它的发散域 3.函数项级数的和函数：对收敛域内的任一数，常数项级数，称之为函数项级数的和函数，即

注：和函数的定义域是的收敛域 4.函数项级数的余项：若的部分和为，其和函数为，有则称为的余项，有

二、幂级数及其收敛性 1.幂级数：称各项都是幂函数的函数项

级数为幂级数，即注：幂

级数在处收敛于.(幂级数还在发散呢？下面的介绍的幂级数的

收敛性能回答这些问题.) 2.幂级数的收敛性例1.考察幂级数的收敛性解：暂时固定，则为几何级数，从而当时，收敛，其和

为；当时，发散，即在上收敛，在发散

由此可见幂级数的收敛域是一个区间，这个结论对一般的幂级数也成立，

即：定理1.(Abel定理)若级数当时收敛，则，有绝对收敛

若级数当时发散，则，有发散注：由Abel定理可以

看出，幂级数的收敛域是以原点为中心的区间：；；推

论：若幂级数既不仅在确定的正数存在，使得 1.当时，幂级数

绝对收敛 2.当时，幂级数发散 3.当时，幂级数敛散

性待定注：称为幂级数的收敛半径 2.幂级数收敛

半径的求法定理2.设有幂级数，若，

则的收敛半径定理3.设有幂级数，若，则的收敛半

径例2.求幂级数的收敛半径与收敛区间.

解：由，则该级数的收敛半径为. 发散；当时，是交错级数，收敛，从又当时，而收敛区间为

例3.求幂级数的收敛区间解：由

于，从而级数的收敛半径，从而收敛区

间为例4.求幂级数的收敛区间解：由于，从而级数的收敛半径级数仅在收敛例5.求幂级数

的收敛半径. ，又当，即时，级数解：

由于收敛；当，即时，级数发散，从而级数的收敛半

径 . 例6.求幂级数的收敛区间解：

令，则有级数.由于，从而级数的收敛半径. 当时，发散；当时，的收敛区间为. 由，

即，于是级数的收敛区间为三、幂级数的运算定理4.设

幂级数与的收敛半径分别为和，令，则有，为常

数，；

，；，其

中，；

，其中，，比和都小，例如：，其

中，，其中，这两个级数的收敛半径均为，但是

的收敛半径只是. 四、幂级数和函数的性质定理5.若幂级数的收敛半

径，则其和函数满足： (1).在收敛区间上连续； (2).在收敛区

间内可逐项求导，且，； (3).

在收敛区间内可逐项积分，且，注: 逐项积分时, 运算前

后端点处的敛散性不变例7.求幂级数的和函数解：

由于，所以该级数的收敛域为，设其函数为，，

则，两端乘以，有 .因此.

由得，故有例8.求幂级数的和函数

解：由于，又时，级数域为，设其函数为，，

则，. 例9. 求

幂级数的和函数解：由于又时，级数发散，时，级数收敛，所以该级数的收敛域为，设其和函数为，，当时，

有，及. 而或由和函数的连续性得

到，于是 . 第四节函数展开成幂级数

一、函数展开成幂级数的相关概念 1. 函数展开成幂级数：若在区间上

存在幂级数收敛于给定的函数，则称在上能展开成幂级数，即. 2.泰勒级数：若函数在的某邻域内具有阶导数，则称

为的泰勒级数，即 . 当时, 泰勒级数又叫麦克劳林级数.

注：泰勒级数在处收敛于. 3.函数展成幂级数的条件

定理1 .函数在点的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是的泰勒公式的余项满足证明：设

为泰勒级数的项余和，的为拉格朗日余项. 阶泰勒公式为，其中

必要性：若在邻域内能展开成泰勒级数，则有 . 充分性：若，则有 . 思考：函数在处“有泰

勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同定理2.若能展成的幂级数，

则这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证明：设所展成的幂

级数为，；由可得；可得；，显然结

论成立. 二、函数展开成幂级数的方法：直接展开方法—利用泰勒公式

以此类推，，可得间接展开法—利用已知级数展开式 1.直接展开法

由泰勒级数理论可知，函数展开成幂级数的步骤如下：第一步：求函数

的各阶导数，若在求解的过程中发现有某个不存在，则不再进行，函数不能展开成幂级数. 第二步：求出及; 第三步：写出麦克劳林级

数 , 并求出其收敛半径. 第四步：考察在收敛区间

内，是否为零，若 . 例1.将函数展开成的幂级

数解：由于，有，，从而有幂级数，，从

而在收敛. 其收敛半径为 .从而,常数项级数都收敛，从而有，

进而有，因此，. 例2.将函数展开成的幂

级数解：由于，有，，从而有幂级数，由于，从而在，而收

敛. ，从而，. 对上式两边

求导可推出: ，. 例3. 将函数展开成的幂级数,其中为任意常

数解: 易求出，，，，从而有幂级数，由于，

因此对任意常数，级数在开区间内收敛. 为避免研究余项, 设此级数的

和函数为, ，则，逐项求导得 , 两端各乘以，得 , 两式相加得，从而有，即，又，有. 由此得 . 称为二项展开式. 注： (1). 在处的收敛性由的数值决定 (2). 当为正整数时, 级数为的次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理 (3). 对应于、的二项展开式分别为；； 2.间接展开法利用一些已知函数的幂级数展开式及幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数例4. 将函数展开成的幂级数，把换成得解: 因为 . 例5. 将函数展开成的幂级数. 解:由

于，从 0 到 x 积分, 得