2.数列极限

数列的极限

教学目标：熟练运用数列极限的运算法则，掌握三个重要极限，并能熟练应用解决问题。 教学重点和难点:重要极限的应用。 一、知识梳理

（1）数列极限的概念：一般地，在n 无限增大的变换过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做

数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=。

（2）数列的极限运算：如果B

b A a n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ，那么

B

A b a n n n ±=±∞

→)(lim ；B A b a n n n ?=?∞→)(lim ；)0(lim

≠=∞→B B A

b a n n n

注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点： (a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的； (b)参与运算的数列的个数必须是有限个。 （3）几个重要的极限

1

lim 0(1),lim

0,lim (n n n n q q C C C n →∞

→∞→∞

=<==为常数）

（4）无穷等比数列各项的和

在无穷等比数列{}n a 中，如果01q <<，n s 表示其前n 项和，那么我们称

n

n s s ∞

→=l i m 为这个无穷等比数列各项的和，且

q a s -=

11

。

注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比q 满足01q <<。 二、典型例题

一. 填空题：

1. 计算： 11

34lim 34n n

n

n n +-→∞-=+____________. 2. 计算：22213lim 1n n n n →∞??

++= ?-??

__________； 3. 计算：2123lim

21

n n

n →∞++++=+__________. 4. 无限循环小数0.123

化为分数是_________________. 5. 若1lim 11n n a a →∞

??

-??+=?? ??????

?，则a 的取值范围是___________. 6. 观察下列等式： 11=

()1412-=-+

149123-+=++

()149161234-+-=-+++

可以猜测第n 个等式为 ． 7. 已知()f x 是定义域为正整数集的函数，具有如下性质：对于定义域内任意的k ，如果

()11f k k =

+成立，则()1

12

f k k +=+成立.那么下列命题正确的是 ． ①若()145f =成立，则对于任意5k ≥，均有()1

1

f k k =+成立 ②若()156f =

成立，则对于任意14k ≤≤，均有()11

f k k ≠+成立 ③若()61f =成立，则对于任意的15k ≤≤，均有()1

1

f k k ≠

+成立 二. 解答题 （满分48'分）

8. （满分14分）已知等差数列{}n a 中，414a =，前10项和18510=S ，求： （1）求n a ；

（2）将{}n a 中的第2项，第4项，第8项，…，第n

2项，即依次取出第2n

项，按原来

的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ． 解：

9. （满分14分）已知()

2

1

2n a n =

+ (*

n N ∈) ，

记()()()()1231111 n n A a a a a =----.

（1）计算1234,,,A A A A ； （2）猜想n A 表达式； （3）证明（2）结论.

10. （满分20分）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为

2

1

的半圆得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形 ,,,,43n P P P ，记纸板n P 的面积为n S .

（1） 试求123,,S S S ； （2） 试写出()2n S n ≥； （3） 求lim n n S →∞

.

解：

11.（满分20分）已知正项数列{}n a ，11

2a =

，且122

n n n a a a +=+（*） （1） 求证：1n a ??

?

???

是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2） 数列{}n b 满足1n

a n

b e =，

),2m N m ∈≥仍是{}n b 中的项，

求m 在区间[]2,2006中所有可能值之和S ； （3） 若将上述递推关系（*）改为：122

n

n n a a a +<

+，且数列{}n na 中任意项n na p <，试求满足要求的实数p 取值范围.

解：

三、小结:习题中问题总结.

四、课后练习 1、若lim(34)5,lim(6)1

n n n n n n a b a b →∞

→∞

+=-=，则lim(3)n n n a b →∞

+=

2、一个无穷等比数列所有项的和为52且

16931=?a a ，则它的公比为

3、若223,(1000)1000

,(1000)n n n a n n ?+

4、设无穷递缩等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n S S ∞→=lim 且

n n n a S a S 431+=++，则数列

{}n a 的公比q ＝

5、无穷等比数列

{}n a 的各项和为7，若数列{}n b 满足n n n n a a a b 31323++=--，则数列{}

n b 的各项和为

6、等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n n T S ,且132+=n n

T S n

n ，则=

∞→n n n b a lim

7、如果

0)21(

lim =-∞

→n

n a a ，则实数a 的取值范围是

8、对任意N n ∈，有11

2212221--?-++++=

n n n t a ，其中t 是与n 无关的实常数，若5

3lim -=∞

→t a n n ，求t 的值。

9、已知1)(+=ax x f 为x 的一次函数，

??

?≥-==)1()],1([)

0(,1)(n n g f n n g （1）若

))(1()(N n n g n g a n ∈--=，求证：{}n a 是等比数列；

（2）设n S 是{}n a 的前n 项和，求n

n S ∞→lim 。

10、已知数列{}n a ，284=a 且满足111

1n n n n a a n

a a +++-=-+

（1）求

321,,a a a 及{}n a 的通项公式；

（2）设

{}n b 为等差数列且

c n a b n

n +=

，其中c 为不等于零的常数，若n n

b b b T +++= 21，求

)1

11(

lim 21n n T T T +++∞

→ 。

11、已知数列

{}n a 有12,()a a a p p ==为常数，对任意的n N ∈，有

1()

2n n n a a S -=

。

（1）求a 的值； （2）判断数列

{}n a 是否为等差数列；

（3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的n N ∈都有n b b <且lim n n b b →∞=，

则称b 为数列

{}n b 的“上渐近值”

。令

21

12n n n n n S S p S S ++++=

+

，

求数列{}1

22n p p p n +++- 的 “上渐近值”。

数列的极限典型例题（答案）

1. 4-

2. 3-

3. 1

4 4. 61/69

5 5. a>1/2 6. ()

()

()1

1

21491611123 n n n n ---+-++-=-++++ 7. ① ③

8.解：（1）由410

14

185a S =??=? ∴

11314,

1101099185,

2

a d a d +=???+???=?? 153a d =??=? 23+=∴n a n

（2）设新数列为{n b }，由已知得 223+?=n n b

()()1233222226212 n n n G n n ∴=+++++=-+*)(,62231N n n n ∈-+?=+

9.解：(1)12348

5479

6

59A A A A =

==

=

(2) 12348

5104127149612

515

918A A A A =

=

==

==

= 猜测2636

n n A n +=+ （3）1o 当1n =时 显然已计算成立；

2o 假设当n k = (*

k N ∈)时 26

36

k k A k +=

+

则当1n k =+时

()()()()()()()()()()()()()()112122

11112342261136323324216

33316

k k k A a a a a k k k k k k k k k k k k ++=----??++++=?-=? ? ?++++??+++=

=

+++ 等式成立

所以，由1o 2o对所有*

n N ∈，26

36

n n A n +=

+

10.（满分20分） 解： （1） 2

22

2

12313111112

2

2228

2

22432

S S S π

π

πππ

π

ππ

????

????=?=

=-=

=

-

+=

?? ? ? ??????????? （2）

()

222

2

231231

111122222221111224444 n n n S n π

ππ

π--????????

??

=-++++≥?? ? ? ? ?

????????????

????

????=-++++?? ? ? ?????

??????

（3） 1

4lim 122263

14

n n S πππππ

→∞==-=-=-

11. 解：（1） 11

121111112

22

n

n n n n n n a a a a a a a +++=

?

=

+-=+即 1n a ??????

是以12为公差的等差数列，且11

2a = ∴1132223n n n a a n =+

?=+ （2）132

n

n a n b e

e

+==

()1211111111

722224

4

m m m m m m m m a a a e

e

e

e

-?

???-+++++ ? ?+

???

??

===

是{}n b 中的第n 项， 则

7

3

4

2

m n e e

++=()2122006m n m ?=-≤≤

22006m ≤≤ 3520051006008S ?=+++=

（3） 11

121111112

22

n n n n n n n a a a a a a a +++<

?

>

+->+即 112211

1111111113

222n n n n n n n a a a a a a a a ---??????-+∴

=-+-++-+>

+= ? ? ??????? 226

22333

n n n a na n n n -∴<

?<=+<+++

所以满足要求的实数p 取值范围是2p ≥.