江苏专用2018高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课四种命题和充分必要条件课时分层训练

第一章 集合与常用逻辑用语第2课 四种命题和充分、必要条件课时

分层训练

A 组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、填空题

1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 [根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．]

2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ?α.则“m ∥β”是“α∥β”的________条件．

必要不充分 [m ?α，m ∥βD

α∥β，但m ?α，α∥β?m ∥β，∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]

3．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的________条件．

充分必要 [因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根，为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充分必要条件．]

4．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.

【导学号：62172008】

2 [由a ＞bD ac 2＞bc 2，但ac 2＞bc 2?a ＞b .

所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．

从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]

5．“m ＜14

”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件. 【导学号：62172009】

充分不必要 [x 2

＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，

即m ≤14，因为m ＜14?m ≤14

，反之不成立． 故“m ＜14

”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．] 6．给出下列命题：

①“若a 2

②“全等三角形面积相等”的逆命题；

③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题．

其中为真命题的是________．(填序号)

③④ [对于①，否命题为“若a 2≥b 2

，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]

7．(2017·金陵中学期中)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)

必要不充分 [当a >2且b >2时，a ＋b >4.

但当a ＝1，b ＝6时，有a ＋b ＝7>4，

故“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的必要不充分条件．]

8．“sin α＝cos α”是cos 2α＝0的________条件．

充分不必要 [∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α，

∴若sin α＝cos α，则cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．]

9．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________.

【导学号：62172010】

若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 [“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．]

10．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．

[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3＞0} {x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，

又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，

∴????? －1≤m －1，m ＋1＜3或????? －1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]

二、解答题

11．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．

(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解] (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )

该命题是真命题，证明如下：

因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .

又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．

所以f (a )

因此f (a )＋f (b )

所以否命题为真命题．

(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )

该命题是真命题，证明如下：

因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，

因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，

所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，

故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．

12．已知集合A ＝??????y ?

?? y ＝x 2－32x ＋1，x ∈??????34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围. 【导学号：62172011】 [解] y ＝x 2－32x ＋1＝? ????x －342＋716

， ∵x ∈????

??34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝?

?????????y ??? 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，

∴B ＝{x |x ≥1－m 2

}．

∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，

∴A ?B ，∴1－m 2≤716

， 解得m ≥34或m ≤－34

， 故实数m 的取值范围是? ????－∞，－34∪????

??34，＋∞. B 组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2017·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”)

必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数”，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之若f (x )＝x 2，则y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]

2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：

x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．

[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，

所以????? －a －1≥－3，－a ＋1＜1或????? －a －1＞－3，－a ＋1≤1，

解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]

3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.

[证明] 必要性：

若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，

则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，

∴a ＋b ＋c ＝0.

充分性：

若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，

∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，

∴(ax －c )(x －1)＝0，

∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，

∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．

综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.

4．(2017·南通第一次学情检测)已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )

＝x 2－c 2的最小值不大于－116

.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取值范围． [解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，

所以p 为真时，0

， 所以c ≤－14或c ≥14

， 因为c >0，所以c ≥14

. 因为p ，q 均为真命题，所以????? 0

，解得14

≤c <1， 所以，实数c 的取值范围为14

≤c <1.