全等三角形压轴题-3

全等三角形压轴题 3

1. 在△ABC 中，BC=AC ，∠BCA=900，P 为直线AC 上一点，过A 作AD ⊥BP 于D ，交直线BC 于Q ．

（1）如图1，当P 在线段AC 上时，求证：BP=AQ ．

（2）当P 在线段AC 的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ ． （3）如图3，当P 在线段CA 的延长线上时，∠DBA = 时，AQ =2BD ．

2.

经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S △ABD=S △ ADC ，则

BD=CD 成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：

（1）已知：如图2，AD 是△ABC

的中线，沿AD 翻折

△ADC ，使点C 落在点E ，DE 交AB 于F ，若△ADE 与△ADB 重叠部分面积等于△ABC 面积的1

4

，问线段AE 与线段BD 有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．

（2）已知：如图3，在△ABC 中，∠ACB = 900 ，AC =2，AB =4，点D 是AB 边的中点，点P 是BC 边上的任意一点，连接PD ，沿PD 翻折△ADP ，使点A 落在E ，若△PDE 与△PDB 重叠部分的面积等于△ABP 面积的1

4

，直接写出BP 的值．

C

B

P

D A B

A

Q

B P

D

A

A

A

D

A

D

C

B

A

备用图

N M

C A

B

N M

C D

A

B 图 1

B A

Q

D

C

M P

G

图 2

N F E 3. 在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠=o o

.

（1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；

（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且

x,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；

（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围. （不写解答过程，直接写出结果）

4. 在Rt △ABC 中，AC=BC ，P 是BC 垂直平分线MN 上一动点，直线PA 交CB 于点E ，

F 是点E 关于MN 的对称点，直线PF 交AB 于点D ，连接CD 交PA 于点G. （1）如图1，若P 点在△ABC 的边BC 上时，此时点P 、E 、F 重合，线段AP 上的点

Q 关于的对称点D 恰好在边AB 上，连接CQ ，求证：CQ 平分∠ACB ；

（2）如图2，若点P 移到BC 上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP 的度数；

（3）若点P 移动到△ABC 的内部时，线段AE 、CD 、DF 有什么确定的数量关系，请

画出图形，并直接写出结论： .

D

C

B

A

A

D

C

B

E

E

B

C

G

F

D

A

5. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足

221212720a b a b +--+=，OC ∶OA=1∶3. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、.当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；

（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG=HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由.

6. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交于点F..

（1）若∠BAD=∠CBE ，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE ；

（3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG ，连接FG ，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 .

A

B

C O

y

O

x

y

x

图 1

Q

F E

D

B A

7. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）.

（1）当a 、b 满足22

88320a a b b -+-+=时，求∠BAO 的度数；

（2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角顶点，OC 为腰作等腰Rt △OCD ，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO ；

（3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积.

8. 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 相交于点P

(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上

① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数

(2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°，求证：BD ＝CE

9. 已知A(a，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a－4b＝－6，以A为直角顶点，且以AB为腰作等腰直角△ABC

(1) 求C点的坐标

(2) 如图，若点C在第二象限，点M在BC的延长线上，且AM＝AN，AM⊥AN，则CM 与BN存在怎样的关系？请予以证明

(3) 如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD之间存在何种数量关系，并证明你的结论

10.如图（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D为

x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE⊥AD交x轴于F,且AE=AD,连BE交y轴于

点P.

(1) 求∠ABO的度数；

(2)若AO=3OP,求E点的坐标;

(3)如图（2）若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且∠ACO=600,试求∠AFB的度数。

11. （1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：AD=BE．

（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．

①求证：2CM+BE=AE；

②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．

12. （1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．

（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠A CB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

并证明这种关系．

（3）如图3，在△ ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系。请写出你的猜想．（不需证明）

13. 已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M。请探究：

（1）如图（１），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线

段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论。

（2）如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（１）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；

（3）如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝２BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系。

14. 已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

15.如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

16. 如图，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：

CD BE =，△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

17. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．

C

F

G

E

D

B

A

H

18. 直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且

．

（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90BCA α∠=∠=o o

，则 （填“”，“”

或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满

足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．

19. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，

GC .

（1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接

AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明

理由.

BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠

α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=

∠A

B

C

E F D D

A

B

C

E F A

D

F

C E

B

图1

图2 图3

20. 已知Rt ABC ?中，AC BC =，90C ∠=?，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=?，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2DEF

CEF

ABC

S S S ???+=．当

EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否

成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ?，CEF S ?，ABC S ?又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

21. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM

的平分线BF 相交于点F.

⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：

① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明

F

E

D

C

B

A

图1

A

E

C

F B

D

图2

A

E

C

F

B

D

图3

22. 在Rt△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G. （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC

②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．

（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

23. 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，

90BAD CAE ∠=∠=?.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ；

⑵将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转θ?(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

图①

N

M E

D

C

B A

图②

N

M E

D

C

B

A

A

图

G

H

F E

D

C

B

A

图

24.锐角为45o的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．

(1)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(2)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为(1)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

图

图