阳江一中高一上学期期末考试(数学)

09-10学年高一上学期期末

数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。考试用时150分钟。

参考公式：台体的体积公式12(3

h V S S =++

第一部分 选择题(共50分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设函数ln(1)y x =-的定义域为A ，函数2x y =的值域为B ，则 A B = ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1) 2．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

则原图形的面积是（ ） A .22 B .1 C .2 D

.2(1+)

3．下列的哪一个条件可以得到平面α∥平面β （ ）

A ．存在一条直线a ，a a αβ∥，∥

B ．存在一条直线a a a αβ?，，∥

C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥

D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ 4．下列四种说法，不正确．．．

的是 （ ）

A ．每一条直线都有倾斜角

B ．过点(,)P a b 平行于直线0

Ax By C

++=的直线方程为0)()(=-+-b x B a x A

C ．过点M （0，1）斜率为1的直线仅有1条

D ．经过点Q （0，b ）的直线都可以表示为y kx b =+

5．直线y=x+m 与圆2

2

220x y x y +-+=相切，则m 是 （ ） A ．–4 B ．–4或0

C ．0或4

D ． 4

6．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）

A ．]1,(],0,(-∞-∞

B ．),1[],0,(+∞-∞

C ．]1,(),,0[-∞+∞

D ． ),1[),,0[+∞+∞

7．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1=45 ， ∠CDC 1=30 ，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的 余弦值是 （ ）

A ．4

B 4

C 8

D 8

8．函数f(x)=2x +3x －6的零点所在的区间是 （ ）

A ．[0，1)

B ． [ 1，2 )

C ． [2，3 )

D ．[3，4)

9．在30?的二面角α-l-β中，P ∈α，PQ ⊥β，垂足为Q ，PQ=2a ，则点Q 到平面α的 距离为 （ ） A ．

3a B ． 32 a C ． a D ．

3

32 a

10．奇函数)(x f 在区间[]a b --,上单调递减，且)0(0)(b a x f <<>，那么)(x f 在区间[]b a ,上

（ ）

A ．单调递减

B ．单调递增

C ．先增后减

D ．先减后增

第二部分非选择题(共100分)

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．直线320x -

+=的倾斜角α= ；

12. 两圆C 221:4470x y x y ++-+=，C 222:410130x y x y +--+=的公切线 有 条；

13．计算：3

23

9

641932

log

4log

5-

??

? ??-+-= ；

14．已知两条直线1l ：80ax y b ++=和2l ：210x ay +-= (0b <) 若12l l ⊥且直线1l 的纵截距为1时， a = ，b = ；

15．用棱长为1个单位的立方块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图 如右图所示，则它的体积的最小值为 ，

最大值为 .

主视图

三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） （1）求过点P （－1，2）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于12

的直线方程；

（2）求圆心在y 轴上且经过点M （-2，3）， N （2，1）的圆的方程. 17．（本小题满分12分）

已知函数)1(log -=x a a y （1,0≠>a a 且） （1）求此函数的定义域；

（2）已知),(),,(2211y x B y x A 为函数)1(log -=x a a y 图象上任意不同的两点，

若1>a ,求证：直线AB 的斜率大于0.

18．（本小题满分12分）

如图，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB ，AB ⊥BC ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2. （1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ； （2）求三棱锥P —AEF 的体积.

19．（本小题满分12分）

已知方程22242(3)2(14)1690()x y t x t y t t R +-++-++=∈表示的图形是一个圆 （1）求t 的取值范围；

（2）当实数t 变化时，求其中面积最大的圆的方程。

20．（本小题满分13分）

定义：若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点。已知函数)0(1)1()(2

≠-+++=a b x b ax x f （1）当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；

（2）若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；

A

B

C

P

E

F

（3）在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在直线1

45)(2

+-+

-=a a a x x g 的上，求b 的最小值。

（参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为??

?

?

?++2,

2

2121y y x x

21．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形， 且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点。 （1）求证：PB //平面EAC ；

（2）若AD=2AB=2,求直线PB 与平面ABCD 所成角的

正切值； （3）当A D A B

为何值时，PB ⊥AC ？

试题答案

一、选择题：BADDB CABAB

二、填空题：11、60?

； 12、3； 13、18-；

14、（1）0,8a b ==-； 15、10, 16;

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（1）由题意设直线方程为

1(0,0)x y a b a

b +

=>>……………………1分 ∵点P （-1，2）在直线上，∴

121a

b

-+

=，则2a b ab -=…………………… 2分

又∵112

2

ab =，则1ab =……………………3分

∴211

a b ab -=??

=?消去b 整理得2

210a a --=，解得1a =或12

a =-

（舍去）……………………5分

由1ab =解得1b =，故所求直线方程是1x y +=…………………… 6分 （2）由题意圆心C 在线段MN 的中垂线上……………………7分 ∵31122

2

MN k -=

=-

--，MN 的中点是（0，2）………………8分

∴MN 的中垂线方程是22y x =+…………………9分 令x=0则y=2,圆心C （0，2），半径r=5)

21()02(2

2=-+-…………………… 11分

所求圆的方程为5)2(2

2

=-+y x

…………………… 12分

17.（本小题满分12分）

解：（1）由10x

a ->得1x

a > 0

x

a a ∴>………………1分 当01a <<时，0x <..........................................................2分 当1a >时，0x >.................................................................3分

01a ∴<<时，函数的定义域为(,0)-∞；1a >时函数的定义域为(0,)+∞………….5分

（2）∵A ，B 为为函数)1(log

-=x

a

a y 图象上任意不同的两点， ∴可设A 1

1(,log (1))x a x a

-，B 2

2(,log (1))x a x a -…………………………………6分

∴直线AB 的斜率1

2

12

log (1)log (1)

x x a a AB a

a k x x ---=

-……………………………8分

∵A ，B 为图象上任意不同的两点，不妨设12x x >………………………………9分 ∵1a >，∴1

2

x x a

a

>，∴1

2

11x x a

a

->-，∴1

2

log (1)log (1)x x a a a

a

->-……11分

∴1

2

12

log (1)log (1)

0x x a a AB a

a k x x ---=

>-，即直线AB 的斜率大于零……………12分

18．（本小题满分12分）

证明：证明：（1）∵ABC PA 平面⊥，ABC BC 平面?

∴BC PA ⊥…………………………………………1分 又BC AB ⊥

∴PAB BC 平面⊥，而?AE 平面PAB ………2分 ∴AE BC ⊥………………………………3分

A

C

P

E

F

又PB AE ⊥

∴PBC AE 平面⊥………………………………………………………………5分 而?AE 平面AEF

∴平面PBC AEF 平面平面⊥…………………………………………………6分

（2） 由（1）PBC AE 平面⊥

又∵PC AF ⊥

∴PC EF ⊥（三垂线定理逆定理）…………………………………………7分 ∴?

∽PCB ?……………………………………………………………8分 ∴

6

1)

32()

2(2

22

2=

=

=??PC

PE S S PBC

PEF ………………………………………………10分

∴PEF S ?=

6

1PBC S ?=

3

2………………………………………………………11分

∴AEF P V -=PEF A V -=

3

1×2×

3

2=

9

4………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：∵圆的方程可化为 2222

[(3)][(14)]761x t y t t t -+++-=-++ (2)

（1）由题意2

761t t -++0>…………………… 3分， 解得117

t -<<…………………… 5分

（2）设圆的半径为R ，则2

2

2

3167617()7

7

R t t t =-++=--+

…………………… 7分

∵117

t -

<<， ∴当37

t =

时，半径2

R 取得最大值

167

…………………… 9分

当圆的半径最大时，圆的面积最大，此时37t =

……………………10 则所求圆的方程为2

2

241316

()()7

49

7

x y -

++

=

……………………12分

20．（本题满分13分）

解：(1)3)(2--=x x x f ，由x x x =--32

， ……………………1分 解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或3. ……………………3分 (2)令x b x b ax =-+++1)1(2

，则012

=-++b bx ax ①

由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42

>--=?b a b ， …………………5分 即0442

>+-a ab b 恒成立， …………………6分

则016162

<-=?'a a ，故10<

(3)设A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2)(x 1≠x 2)，1

45)(2

+-+-=a a a x x g ， …………………8分

又AB 的中点在该直线上，所以1

452

2

2

2

12

1+-+

+-

=+a a a x x x x ，

∴1

452

21+-=

+a a a x x ， ………………10分

而x 1、x 2应是方程①的两个根，所以a

b x x -=+21，即1

452

+-=

-a a a a

b ，

∴1

452

2

+--

=a a a

b =-

51411

2

+??

?

??-??? ??a a =-1

)21(

1

2

+-a

……………12分

∴当 a =2

1∈(0，1)时，b min =1- …………13分

21．（本小题满分14分）

.解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,

因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB, ……………2分 EAC PB EAC E 平面平面??,0,所以PB //平面EAC 。…………4分

（2）设N 为AD 中点，连接PN ，则P N A D ⊥...............................5分 又面PAD ⊥底面ABCD ，所以，PN ⊥底面ABCD ……………………6分 所以PBN ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角,……………………7分 又AD=2AB=2,则PN=2,3=

NB ,。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 所以tan PBN ∠=2

62

3=，即PB 与平面ABCD 所成角正切为值2

6。。。。。。9分

（3）由(2)知,NB 为PB 在面ABCD 上的射影,要使PB ⊥AC ，需且只需NB ⊥AC 。。10分 在矩形ABCD 中，设AD ＝1，AB ＝x ,,21=

AN

由BAC ANB ∠=∠,得NAB Rt ?∽CBA Rt ?，………………………………………11分

2

12

2

=

??=?=x

BC AN AB

BC

AB AB

AN

解之得：2

x =

, ……………………13分

所以，当A D A

B

=时，PB ⊥AC 。…………………………14分