山西省太原五中2015届高三二模数学(理科)试卷

山西省太原五中2015届高考数学二模试卷（理科）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）

1．已知集合M={x||x|＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N为( )

A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（0，）D．?

2．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种．

A．30 B．36 C．60 D．72

3．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于( ) A．3 B．﹣3 C．D．

4．的展开式中x的系数是( )

A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4

5．实数x，y满足，使z=ax+y取得最大值的最优解有两个，则z=ax+y+1的最小

值为( )

A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣1

6．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )

A．36πB．16πC．12πD．π

7．已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为

( )

A．B．C．D．

8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )

A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日

9．以下四个命题中，其中真命题的个数为( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0；

③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1

④命题p：“x＞3“是“x＞5“的充分不必要条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=x

（b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为( )

A．﹣y2=1 B．x2﹣y2=1 C．﹣=1 D．﹣=1

11．已知一函数满足x＞0时，有g′（x）=2x2＞，则下列结论一定成立的是( ) A．﹣g（1）≤3 B．﹣g（1）≥2 C．﹣g（1）＜4 D．﹣g（1）≥4

12．如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=θ，AD是边BC上的高，当θ∈时，?的最大值与最小值之差为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）

13．已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为，则实数m等于__________．

14．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为__________．

15．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是__________．

16．如图在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进15m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进5m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则建筑物AE 的高为__________．

三．解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知数列{a n}满足S n=，（其中S n是数列{a n}的前n项和，且a2=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前2n项和T2n．

18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，

向左、右两边下落的概率分别是，

（Ⅰ）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；

（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．

19．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．

20．给定椭圆C：+=1（a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准

圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为．

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．

21．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．

选做题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.选修4-1：几何证明选讲

22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F

（1）求证：∠CDF=∠EDF；

（2）求证：AB?AC?DF=AD?FC?FB．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（3，2），且倾斜角为．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．

（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；

（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

山西省太原五中2015届高考数学二模试卷（理科）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）

1．已知集合M={x||x|＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N为( )

A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（0，）D．?

考点：交集及其运算．

专题：集合．

分析：解绝对值不等式求得M、解对数不等式求得N，再根据两个集合的并集的定义求得M∩N．解答：解：∵集合M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}={x|0＜x＜1}，

∴M∩N=（0，1），

故选：B．

点评：本题主要考查绝对值不等式、对数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．

2．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种．

A．30 B．36 C．60 D．72

考点：计数原理的应用．

专题：应用题；排列组合．

分析：“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．

解答：解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：

1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．

2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．

综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．

故选：A．

点评：本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．

3．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于( )

A．3 B．﹣3 C．D．

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．

专题：平面向量及应用．

分析：根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果．

解答：解：∵，

∴cosα+2sinα=0，

∴tanα=，

∴tan（）

=

=﹣3，

故选B

点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以2015届高考中应引起足够的重视．本题是把向量同三角函数结合的问题．

4．的展开式中x的系数是( )

A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4

考点：二项式系数的性质．

专题：计算题；二项式定理．

分析：=，利用通项公式，即可求出

的展开式中x的系数．

解答：解：=，

∴的展开式中x的系数是+1=﹣3，

故选：A．

点评：本题考查二项式系数的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

5．实数x，y满足，使z=ax+y取得最大值的最优解有两个，则z=ax+y+1的最小

值为( )

A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣1

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有2个，利用数形结合确定a的取值即可得到结论．

解答：解：不等式组等价为或

不等式对应的平面区域如图：

由z=ax+y得y=﹣ax+z，

若a=0时，直线y=﹣ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．

若﹣a＞0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z经过点A，D时满足条件，此时﹣a=1，解得a=﹣1．

若﹣a＜0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时z=ax+y取得最大值的最优解有1个或者无数个，不满足条件．

综上满足条件的a=﹣1，即z=﹣x+y+1，

则y=x+z﹣1，当直线y=x+z﹣1经过B（1，0），C（0，﹣1）时，目标函数取得最小值，

此时z=﹣1+0+1=0，

故选：A

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有2个，利用结合数形结合是解决本题的关键．

6．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )

A．36πB．16πC．12πD．π

考点：球内接多面体．

专题：综合题；空间位置关系与距离．

分析：确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得

D到平面ABC的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：设△ABC的外接圆的半径为r，则

∵AB=BC=，AC=3，∴∠BAC=120°，S△ABC=，

∴2r==2

∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，

∴D到平面ABC的最大距离为3，

设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，

∴R=2，

∴球O的表面积为4πR2=16π．

故选：B．

点评：本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．7．已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为

( )

A．B．C．D．

考点：程序框图．

专题：概率与统计；算法和程序框图．

分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于54得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．

解答：解：设实数x∈，

经过第一次循环得到x=2x+1，n=2

经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3

经过第三次循环得到x=2+1，n=4此时输出x

输出的值为8x+7

令8x+7≥55，得x≥6

由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．

故选：C

点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型?③解模．

8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )

A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日

考点：进行简单的合情推理；分析法和综合法．

专题：综合题；推理和证明．

分析：确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．

解答：解：由题意，1至12的和为78，

因为三人各自值班的日期之和相等，

所以三人各自值班的日期之和为26，

根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，

据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，

故选：C．

点评：本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

9．以下四个命题中，其中真命题的个数为( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0；

③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1

④命题p：“x＞3“是“x＞5“的充分不必要条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

考点：命题的真假判断与应用．

专题：简易逻辑．

分析：对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；

对于②，运用特殊值判断出错误命题，

对于③两个随机变量的线性相关性即可判断出真假．

对于④根据两者的范围大小判断．

解答：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，命题不正确不正确，

②命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R均有x2+x+1≥0，命题正确．

③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于±1，命题不正确．

④命题p：“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，命题不正确；

故选：A

点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、随机变量的相关性、以及抽样方法，考查了推理能力，属于基础题．

10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=x

（b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为( )

A．﹣y2=1 B．x2﹣y2=1 C．﹣=1 D．﹣=1

考点：双曲线的标准方程．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：由已知条件推导出|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16，由余弦定理得|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2，由此

求出b2=1，由一条渐近线方程为y=x，求得a=2，由此能求出双曲线方程．

解答：解：∵|F1F2|2=|PF1|?|PF2|，

∴4c2=|PF1|?|PF2|，

∵|PF1|﹣|PF2|=4，

∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=16，

即：|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16，①

设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π﹣θ，

由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2|?|OP|?cos（π﹣θ），

|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|?cosθ

整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②

由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2

∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．

∵一条渐近线方程为y=x（b∈N*），

∴=，∴a=2，

∴=1．

故选：A．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．11．已知一函数满足x＞0时，有g′（x）=2x2＞，则下列结论一定成立的是( ) A．﹣g（1）≤3 B．﹣g（1）≥2 C．﹣g（1）＜4 D．﹣g（1）≥4

考点：导数的运算．

专题：导数的概念及应用．

分析：利用g′（x）=2x2，可得g（x）=x3+c，再利用g′（x）=2x2＞，得到c＜x3，继而得到c≤0，代入值求助即可．

解答：解：∵x＞0时，有g′（x）=2x2＞，

∴g（x）=x3+c，

∴2x3＞x3+c，

∴c＜x3，

∵x＞0，

∴c≤0

∴g（2）=+c，g（1）=+c，

∴==+，

∴﹣g（1）==2﹣≥2

故选：B

点评：本题考查了导数的运算，以及函数的单调性，以及参数的取值范围，属于中档题．

12．如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=θ，AD是边BC上的高，当θ∈时，?的最大值与最小值之差为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：通过向量的运算法则及三角函数的定义可得?=4sin2θ，利用θ∈，计算即得结论．

解答：解：易知?=?（﹣）=?﹣?，

∵AD是边BC上的高，∴?=0，

∴?=﹣?=?，

又∵AB=2，∠ABC=θ，△ABD为直角三角形，

∴AD=ABsinθ=2sinθ，

∴?=

=4sinθ?sinθ

=4sin2θ，

∵θ∈，∴sinθ∈，

∴4sin2θ∈，即?的最大值与最小值分别为3与1，

故选：B．

点评：本题以三角形为载体，考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）

13．已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为，则实数m等于2或8．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：分类求出椭圆的长半轴长和半焦距，代入椭圆离心率求得实数m的值．

解答：解：由mx2+4y2=1，得，

若，得0＜m＜4，此时，，，

则，解得：m=2；

若，得m＞4，此时，，，

则，解得：m=8．

故答案为：2或8．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．

14．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为．

考点：定积分的简单应用；定积分．

专题：导数的概念及应用．

分析：根据函数图图象得出f（x）=sin（x﹣），再利用积分求解即可．

解答：解：由图可知，A=1，，

由得，又，

五点作图得出sin（ω﹣）=0，

ω﹣=kπ，k∈z，

ω=6k+1，

由图知，ω＜3，

ω＞0，

得ω=1所以f（x）=sin（x﹣），

阴影部分面积S=|∫f（x）|dx═|∫sin（x﹣）|dx=cos（x﹣）|=．

点评：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解，属于中档题．

15．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是﹣2或．

考点：等差数列与等比数列的综合．

专题：计算题．

分析：据三个数构成等差数列设出三个数；通过讨论哪一个数是等比中项，分三种情况列出方程求出三个数，求出公比．

解答：解：设三个互不相等的实数为a﹣d，a，a+d，（d≠0）

交换这三个数的位置后：

①若a是等比中项，

则a2=（a﹣d）（a+d）

解得d=0，不符合；

②若a﹣d是等比中项

则（a﹣d）2=a（a+d）

解得d=3a，

此时三个数为a，﹣2a，4a，公比为﹣2或三个数为4a，﹣2a，a，公比为．

③若a+d是等比中项，则同理得到公比为﹣2，或公比为．

所以此等比数列的公比是﹣2或

故答案为﹣2或

点评：解决等差数列、等比数列的问题时，常采用设出首项、公差、公比，利用基本量的方法列出方程组来解．

16．如图在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进15m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进5m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则建筑物AE

的高为m．

考点：解三角形的实际应用．

专题：解三角形．

分析：由题意可得AC=BC=15，AD=CD=5，由余弦定理可得cos4θ，进而可得sin4θ，在△ADE中，AE=ADsin4θ，代值计算可得．

解答：解：由题意可得AC=BC=15，AD=CD=5，

在△ACD中由余弦定理可得cos（π﹣4θ）

===﹣，

∴cos4θ=，sin4θ=，

∴在△ADE中，AE=ADsin4θ=5×

故答案为：m

点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和等腰三角形的知识，属中档题．三．解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足S n=，（其中S n是数列{a n}的前n项和，且a2=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前2n项和T2n．

考点：数列的求和；数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）通过S n=及a n+1=S n+1﹣S n可得=，从而可得当n≥3时，a n=??…??aa2=2（n﹣1），进而可得结论；

（Ⅱ）分别求出奇数项的和与偶数项的和，相加即可．

解答：解：（Ⅰ）∵S n=，∴S n+1=，

∴a n+1=S n+1﹣S n=﹣，

化简得=，

又∵a2=2，∴a1=S2﹣a2=0，

当n≥3时，a n=??…??aa2

=??…??2

=2（n﹣1），

∴a n=；

（Ⅱ）∵b n=，

∴当n=2k﹣1时，b2k﹣1=a2k﹣1=2（2k﹣1﹣1）=4（k﹣1），

当n=2k时，b 2k==2（22k﹣1）=2?4k﹣2，

∴记数列{b n}的前2n项和T2n中奇数项和为T1，

则T1=0+4（2﹣1）+4（3﹣1）+…+4（n﹣1）

=4（1+2+3+…+n）﹣4n

=﹣4n

=2n（n﹣1），

记数列{b n}的前2n项和T2n中奇数项和为T2，

则T2=2?41﹣2+2?42﹣2+…+2?4n﹣2

=﹣2n

=﹣2n﹣，

∴T2n=T1+T2

=2n（n﹣1）+﹣2n﹣

=+2n2﹣4n﹣．

点评：本题考查数列的递推公式，考查等差、等比数列的求和公式，考查分类讨论的思想，利用a n=??…??aa2是解决本题的关键，属于中档题．

18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，

向左、右两边下落的概率分别是，

（Ⅰ）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；

（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

专题：概率与统计．

分析：（Ⅰ）设出“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可．

（II）确定随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出B（4，），

运用概率公式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，

而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故P（M）=+=，

从而P（N）=1﹣P（M）=1﹣．

（II）显然，随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4

且B（4，），

故P（ξ=0）=×（）0×（）4=，

P（ξ=1）=×（）1×（）3=，

P（ξ=2）=×（）2×（）2=，

P（ξ=3）=×（）3×（）1=，

P（ξ=4）=×（）4×（）0=，

则ξ的分布列为：

ξ0 1 2 3 4

P

故ξ的数学期望为E（ξ）=4×=

点评：本题考查了离散型的随机变量的数学期望，分布列的求解，关键是读懂题意，判断概率的类型，准确求解即可．

19．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．

考点：异面直线及其所成的角；由三视图求面积、体积．

专题：证明题；综合题；转化思想．

分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．

（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．

解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．

解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．

解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，

∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10

∴V=?S梯形BCED?AC=×10×4=．

即该几何体的体积V为．

（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，

∵AB=4，

BF=AF==5．

∴cos∠ABF==．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），

∴cos＜，＞=﹣

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．

取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．

连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵

∴Rt△ECO∽Rt△OBD

∴∠EOC=∠OBD

∵∠EOC+∠CEO=90°

∴∠EOC+∠DOB=90°

∴∠EOB=90°．

∵OE==2，OD==

∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．

切点为Q

∴BQ⊥CQ

∵AC⊥面BCED，BQ?面CEDB

∴BQ⊥AC

∴BQ⊥面ACQ

∵AQ?面ACQ

∴BQ⊥AQ．

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），

则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）

=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）

∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①

∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）

使得=λ

∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）?m=，n=②

②代入①得（﹣4）（）2=0?λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4

∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．