2017年高考数学 第四章 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式讲义(含解析)

第一节 角的概念 同角三角函数基本关系及诱导公式

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．

(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180

rad ，1 rad ＝57.30o . (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12

|α|·r 2. 3．任意角的三角函数

点p(x,y)是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r 代表点到原点的距离，22r x y =

+ 则sin α=r y cos α=r x tan α=x y ，cot x y

α=． 三角函数符号口诀：Sin 上面为正，下面为负；cos 右边为正，左边为负；tan 一三为正，二四为负；

4．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.

(2)商数关系：sin αcos α

＝tan α. 注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号

6.诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。

题型一 角及其表示

例1 (1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．

(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．

答案 (1){α|α＝k π＋π3

，k ∈Z } (2)第一、二象限或y 轴的非负半轴上

解析 (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3

， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3

＋k π，k ∈Z }． (2)∵2k π＋π<α<2k π＋32

π，k ∈Z ， ∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .

∴角2α的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．

思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．

(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．

(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．

(2)若角α在第三象限，则角α2

在第________象限． (3)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.

答案 (1)?

???2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )(2)二或四(3)－675°或－315°

解析 (1)∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为????π4，56π，

∴所求角的集合为?

???2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )． (2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋3π2

(k ∈Z )， ∴k π＋π2＜α2＜k π＋34

π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2

是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2

是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，α2

是第二或第四象限角．

(3)由终边相同的角关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ，

∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.

题型二 三角函数的概念

例2 （1）(2014·大纲全国，文2)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )

A.45

B.35 C ．－35 D ．－45

解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45

，故选D. 答案 D

(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α

<0，则角α是( ) A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而角α为第二或第三象限角．

由cos αtan α

<0可知cos α，tan α异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角． 思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .

(2)根据三角函数定义中x 、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．

（1）(2011·江西，文14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255

，则y ＝________． 解析 由题意，θ在第四象限，于是由－255＝sin θ＝y 16＋y 2

，解得y ＝－8. 答案 －8

(2)若sin α＜0且tan α＞0，则α是第________象限角．

解析 (1)∵sin α＜0，

∴α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴上；

又tan α＞0，

∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．

(2)由θ是第三象限角，知θ2

为第二或第四象限角， ∵????cos θ2＝－cos θ2

，

∴cos θ2

≤0， 综上知θ2

为第二象限角．

题型三 弧度制的应用

例3 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .

(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；

(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；

(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解 (1)α＝60°＝π3

rad ， ∴l ＝|α|·R ＝π3×10＝10π3

(cm)． (2)由题意得????? 2R ＋R ·|α|＝1012|α|·R 2＝4?????? R ＝1，α＝8(舍去)，?????

R ＝4，α＝12. 故扇形圆心角为12

. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.

所以S ＝12lR ＝12

(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.

即当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大．

思维升华 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式

结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12

|α|R 2. 已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．

答案 1 cm 2 1 cm 2

解析 设扇形圆心角为α，半径为r ，则

2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r

－2. ∴S 扇形＝12

|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1， ∴当r ＝1时(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.

题型四同角三角函数关系式的应用

例1 (1)（2015·福建，文6)若sin α＝－513

，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512

解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213

， ∴tan α＝sin αcos α

＝－512，故选D. 答案 D

（2）(2015·四川，文13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析 sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，

又∵2sin αcos α－cos 2α

＝2sin α·cos α－cos 2x sin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1

， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1

＝－1. 答案 －1

跟踪训练4 （1）（2016年全国I 卷文）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4

)=. 【答案】43

- （2）(2013·浙江，6)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102

，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34

D ．－43 解析 因为sin α＋2cos α＝102

，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得???sin α＝－1010，cos α＝31010，或???sin α＝31010，cos α＝1010

， 故tan α＝sin αcos α

＝－13，或tan α＝3， 代入可得tan 2α＝2tan α1－tan 2α

＝

2×????－131－????－132＝－34， 或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－3

2＝－34，故选C.

答案 C

题型五 诱导公式的应用

例5 (1)（2016年四川文）=。 【答案】

12

(2)已知cos ????π6＋α＝33，求cos ????5π6－α的值． 解 (1)∵????π6＋α＋????5π6－α＝π， ∴5π6

－α＝π－????π6＋α. ∴cos ????5π6－α＝cos ???

?π－????π6＋α ＝－cos ????π6＋α＝－33

， 即cos ????5π6－α＝－33

. 跟踪训练5 （1）(2013·广东，文4)已知sin(5π2＋α)＝15

，那么cos α＝( ) A ．－25

B ．－15 C.15 D.25 解析 sin ??

??5π2＋α＝sin ????π2＋α＝cos α＝15. 答案 C

(2)已知sin ????α＋π12＝13，则cos ???

?α＋7π12的值为________． 解析 cos ????α＋7π12＝cos ???

?????α＋π12＋π2 ＝－sin ????α＋π12＝－13

. 答案 (1)－13

(3)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝__________________________________.

解析∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35

或2， 又α是第三象限角，∴sin α＝－35

， 0750sin

∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，

∴tan α＝sin αcos α＝－35

－45

＝34

，

∴原式＝cos α(－sin α)

sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.

答案(2)－916