2017_2018版高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习提升学案苏教版选修2_120180312391

第3章空间向量与立体几何

1．空间向量的运算及运算律

空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．2．两个向量的数量积的计算

向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．

3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．

4．空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．

5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．

6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．

1．数形结合思想

数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的．空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷、有效，提高解题速度．

例1 某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；

(2)求二面角C1－AB1－C的余弦值．

(1)证明

由三视图可知，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

AA1⊥底面A1B1C1，B1C1⊥A1C1，且AA1＝AC＝4，BC＝3.

以点C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)， ∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)，

∴CA 1→·C 1A →＝0，CA 1→·C 1B 1→＝0，

∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，

又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，C 1A ?平面AB 1C 1，

C 1B 1?平面AB 1C 1，

∴A 1C ⊥平面AB 1C 1.

(2)解 由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，

设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

∵CA →⊥n ，CB 1→⊥n ，∴????? CA →·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即????? x ＝0，3y ＋4z ＝0，

令y ＝1，则z ＝－34，∴n ＝(0,1，－34

)， 又由(1)知，平面AB 1C 1的一个法向量为CA 1→＝(4,0,4)，

∴cos〈n ·CA 1→〉＝n ·CA 1→

|n |·|CA 1→|＝－342·54＝－3210， ∴二面角C 1－AB 1－C 的余弦值为3210

. 跟踪训练1 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：

(1)FC 1∥平面ADE ；

(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .

证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，

则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，

B 1(2，2,2)，

所以FC 1→＝(0,2,1)，

DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．

设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，

则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，

即????? n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得????? x 1＝0，z 1＝－2y 1，

令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．

因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.

又因为FC 1?平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .

(2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→， 得????? n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得????? x 2＝0，z 2＝－2y 2.

令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，

因为n 1＝n 2，所以n 1∥n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .

2．转化和化归思想

转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的．

例2 如图所示，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，

EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且FD ＝12

EA ＝1.

(1)求多面体EABCDF 的体积；

(2)求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值；

(3)记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

解 (1)如图所示，连结ED ，

∵EA ⊥底面ABCD 且FD ∥EA ，

∴FD ⊥底面ABCD ，

∴FD ⊥AD ，

∵DC ⊥AD ，FD ∩CD ＝D ， FD ?平面FDC ，CD ?平面FDC ，

∴AD ⊥平面FDC ，

∴V E －FCD ＝13AD ·S △FDC ＝13×12×1×2×2＝23

. V E －ABCD ＝13EA ·S ?ABCD ＝13×2×2×2＝83，

∴多面体EABCDF 的体积V 多面体＝V E －FCD ＋V E －ABCD ＝103

. (2)以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AE 所在的直线为z 轴，