江苏省宿迁市高中数学第2章概率第10课时随机变量的均值和方差导学案无答案苏教版选修2_3100

江苏省宿迁市高中数学第2章概率第10课时随机变量的均值和方差导学案无答案苏教版选修2_3100
江苏省宿迁市高中数学第2章概率第10课时随机变量的均值和方差导学案无答案苏教版选修2_3100

随机变量的均值和方差

【教学目标】

能熟练地计算实际问题中随机变量的均值(数学期望)、方差和标准差.

【知识回顾】

1.均值:一般地,若离散型随机变量X的分布列为P(X=x i)=p i(i=0,1,2,…,n),则E(X)= .

2.均值的性质:

①若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)= .

②若X服从两点分布,则E(X)=;

③若X~H(n, M,N) 则E(X)=;④若X~B(n,p),则E(X)= .

3. 方差:对于离散型随机变量X的分布列,则V(X)=,X的标准差= .

4. 方差的性质:

①V(aX+b)=.②若X服从两点分布,则V(X)=.③若X~H(n,M,N) 则V(X)=;④若X~B(n,p),则V(X)=.【合作探究】

例1.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.

(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;

(2)设ξ=m2,求ξ的分布列及其数学期望E(ξ).

例2. 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的时间.

(1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望和标准差.

例3.某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%.生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.

(1)记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的期望;

(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

例4.某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)Array进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.

(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;

(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块

地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:

2020年高一数学必修一集合单元测试题

人教版必修一数学教学质量检测卷【一】 第 一 章 《 集 合 》 时 间:90分钟 满 分:150分 姓名: 成绩: 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 下列各项中,不可以组成集合的是( ) A 所有的正数 B 等于2的数 C 充分接近0的数 D 不等于0的偶数 2 下列四个集合中,是空集的是( ) A }33|{=+x x B },,|),{(22R y x x y y x ∈-= C }0|{2≤x x D },01|{2R x x x x ∈=+- 3 下列表示图形中的阴影部分的是( ) A ()()A C B C B ()()A B A C C ()()A B B C D ()A B C 4 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 5 若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且,则集合A 的真子集共有( ) A 3个 B 5个 C 7个 D 8个 6. 下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合;

(3)3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素; (4)集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7. 若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =?,则m 的值为( ) A 1 B 1- C 1或1- D 1或1-或0 8 若集合{}{} 22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈,则有( ) A M N M = B M N N = C M N M = D M N =? 9. 方程组? ??=-=+91 22y x y x 的解集是( ) A ()5,4 B ()4,5- C (){}4,5- D (){}4,5- 10. 下列表述中错误的是( ) A 若A B A B A =? 则, B 若B A B B A ?=,则 C )(B A A )(B A D ()()()B C A C B A C U U U = 11.若集合1{|,},{|,},{|,}22 n P x x n n Z Q x x n Z S x x n n Z ==∈==∈==+∈,则下列各项中正确的是( )A . Q P ≠? B .Q S ≠? C . Q P S = D .Q P S = 12.已知集合M={x|x 1},N={x|x>}a ≤-,若M N ≠?,则有( ) A .1a <- B .1a >- C . 1a ≤- D .1a ≥- 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分。 13 设{}{} 34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或,则______,==b a 14.已知{15},{4}A x x x B x a x a =<->=≤<+或,若A ?≠B,则实数a 的取值范围是 . 15. 某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱

高中数学:应用题练习

高中数学:应用题练习 1.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:m 2),高为h (单位:m)(S ,h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α,不锈钢支架的长度之和记为l . (1)请将l 表示成关于α的函数l =f (α); (2)问:当α为何值时l 最小,并求最小值. 解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ,则∠DCB =α? ? ???0<α<π2,DH =h ,设AD =x . 则DC = h sin α ,CH = h tan α ,BC =x + 2h tan α . 因为S =12? ? ???x +x + 2h tan α·h , 则x =S h -h tan α, 则l =f (α)=2DC +AD =S h +h ? ????2 sin α-1tan α? ????0<α<π2. (2)f ′(α)=h ·? ????-2cos αsin 2 α--1sin 2α=h ·1-2cos αsin 2α, 令f ′(α)=h · 1-2cos αsin 2α=0,得α=π3 . 当α变化时,f ′(α),f (α)的变化情况如下表: α ? ? ???0,π3 π 3 ? ????π3 ,π2

f ′(α) - 0 + f (α) ↘ 极小值 ↗ 所以l min =f ? ???? π3=3h +S h . 答 当α= π3时,l 取最小值3h +S h (m). 2.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为1 m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. (1)若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14 m 2 (木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围; (2)若四根木条总长为6 m,求窗口ABCD 面积的最大值. 解 (1)设一根木条长为x m, 则正方形的边长为2 1-? ?? ?? x 22=4-x 2 m. 因为S 四边形ABCD >14,所以4-x 2>14,即x <15 2. 又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x >2, 所以42<4x <215. 答 四根木条总长的取值范围为(42,215). (2)方法一 设AB 所在的木条长为a m,则BC 所在的木条长为(3-a )m. 因为a ∈(0,2),3-a ∈(0,2),所以a ∈(1,2). 窗口ABCD 的面积S =41-a 2 4 · 1-(3-a )24 4-a 2·4-(3-a )2 a 4-6a 3+a 2+24a -20, 设f (a )=a 4-6a 3+a 2+24a -20,

高中数学随机变量分布列知识点

第二章随机变量及其分布 内容提要: 一、随机变量的定义 设是一个随机试验,其样本空间为,若对每一个样本点,都有唯一确定的实数 与之对应,则称上的实值函数是一个随机变量(简记为)。 二、分布函数的概念和性质 1.分布函数的定义 设是随机变量,称定义在上的实值函数 为随机变量的分布函数。 2.分布函数的性质 (1) , (2)单调不减性:, (3) (4)右连续性:。 注:上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上,分布函数的定义可能有所不同,例如,其性质也会有所不同。 (5) 注:该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。 三、离散型随机变量 1.离散型随机变量的定义 若随机变量的全部可能的取值至多有可列个,则称随机变量是离散型随机变量。 2.离散型随机变量的分布律 (1)定义:离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值,称为离散型随机变量的分布律,表示为 或用表格表示:

或记为 ~ (2)性质:, 注:该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。 其中。 注:常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。 3.离散型随机变量的分布函数 =,它是右连续的阶梯状函数。 4.常见的离散型分布 (1)两点分布(0—1分布):其分布律为 即 (2)二项分布 (ⅰ)二项分布的来源—重伯努利试验:设是一个随机试验,只有两个可能的结果 及,,将独立重复地进行次,则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。 (ⅱ)二项分布的定义 设表示在重伯努利试验中事件发生的次数,则随机变量的分布律为 ,, 称随机变量服从参数为的二项分布,记作。 注:即为两点分布。

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题 附答案解析 Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合M ={x |x 2+2x =0,x ∈R },N ={x |x 2-2x =0,x ∈R },则M ∪N =( ) A .{0} B .{0,2} C .{-2,0} D .{-2,0,2} 2.设f :x →|x |是集合A 到集合B 的映射,若A ={-2,0,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{2} C .{0,2} D .{-2,0} 3.f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A .(3,-2) B .(3,2) C .(-3,-2) D .(2,-3) 4.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .9 5.若函数f (x )满足f (3x +2)=9x +8,则f (x )的解析式是( ) A .f (x )=9x +8 B .f (x )=3x +2 C .f (x )=-3x -4 D .f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 6.设f (x )=??? x +3 x >10, fx +5 x ≤10,则f (5)的值为( ) A .16 B .18 C .21 D .24 7.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0},若S ∩T ={(2,1)},则 a , b 的值为( ) A .a =1,b =-1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =1 D .a =-1,b =-1 8.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) C .(-1,0) 9.已知A ={0,1},B ={-1,0,1},f 是从A 到B 映射的对应关系,则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 10.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2- x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n ∈N *时,有( ) A .f (-n )

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。 解(1)如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时,y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 (2)令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 (注:该题可用基本不等式求最小值。)

2.某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件;若该企业所生产的产品全部销售,则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数k (1≤k≤3)。 (1)求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式;(2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. (1)依题意,F(x)=(x-3)(11-x)2-k(11-x)2=(x-3-k)(11-x)2,x∈[7,10]. (2)因为F′(x)=(11-x)2-2(x-3-k)(11-x)=(11-x)(11-x -2x+6+2k) =(x-11)[3x-(17+2k)]. 由F′(x)=0,得x=11(舍去)或x=.(6分) 因为1≤k≤3,所以≤≤. ①当≤≤7,即1≤k≤2时,F′(x)在[7,10]上恒为负,则F(x)在[7,10]上为减函数,所以[F(x)]max=F(7)=16(4-k).(9分) ②当7<≤,即2

(完整word版)高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布教案

第二章 随机变量及其分布 2.1.1离散型随机变量 第一课时 思考1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1 , 2 ,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上(图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 定义1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ).随机变量常用字母 X , Y ,ξ,η,… 表示. 思考2:随机变量和函数有类似的地方吗? 随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域. 例如,在含有10件次品的100 件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件.例如{X=0}表示“抽出0件次品” , {X =4}表示“抽出4件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢? 定义2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0,1,…,10;某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0, 1,2,…. 思考3:电灯的寿命X 是离散型随机变量吗? 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所以 X 不是离散型随机变量. 在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量.例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量: ?? ≥?0,寿命<1000小时; Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量Y 的构造更简单,它只取两个不同的值0和1,是一个离散型随机变量,研究起来更加容易. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米,则林场树木的高度ξ是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验

高二数学《随机变量的方差(第2课时)》教案

§2.3.2离散型随机变量的方差(第2课时) 一、教材分析: 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天,我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据1x ,2x ,…, n x 中,各数据与它 们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -,2 2)(x x -,…,2)(x x n -,那么 [1 2n S = 21)(x x -+2 2)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差 。 二、学情分析: 学生学习本节应该比较轻松,定义比较简单,初中已经接触过方差,高中阶段是将原先学得知识进一步提升。主要学生能将离散型随机变量的分布列列出来,进行套公式运算就可以,应注意的是要求学生在计算过程中细心。有过探究、交流的课堂教学的尝试。 三、教学目标: 1、知识与技能 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程和方法: 通过教师指导下的探究活动,经历数学思维过程,熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法,养成合作的意识,获得学习和成功的体验.了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”,以及“若ξ~Β(n ,p ),则D ξ=np (1—p )”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 3、情感和价值: 承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

高中数学概率大题

高中数学概率大题(经典二)一.解答题(共10小题) 1.某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当p1=,p2=时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字). 2.已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品.需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回,直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数,求ξ的分布列及Eξ. 3.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数),假设李老师

和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到,记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(II)求使P(X=m)取得最大值的整数m. 4.在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. (Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程)和数学期望Eξ;(Ⅱ)求概率P(ξ≥Eξ). 5.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时): A班 6 7 8 B班 6 7 8 9 10 11 12

高一数学集合单元测试卷

高一数学集合单元测试卷 (时间45分钟 满分100分) 一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,8×4分=32分) 1.下列各项中不能组成集合的是 ( ) A .所有正三角形 B .《数学》教材中所有的习题 C .所有数学难题 D .所有无理数 2.若集合M =}{6|≤x x ,a =5,则下面结论中正确的是 ( ) A .}{M a ? B .M a ? C .}{M a ∈ D .M a ? 3.设集合S ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},集合B ={2,3},则 ( ) A .B A C S ? B .A C B C S S ? C .B C A C S S ? D .A C S =B C S 4.已知集合A 中有10个元素,集合B 中有8个元素,集合A ∩B 中共有4个元素,则集合A ∪B 中共有( )个元素 ( ) A . 14 B . 16 C . 18 D .不确定 5.已知a ∈R ,集A =}{1|2=x x 与B =}{1|=ax x 若A B A = 则实数a 所能取值为 A .1 B .-1 C .-1或1 D .-1或0或1 ( ) 6.如果集合A ={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是 ( ) A .0 B .0 或1 C .1 D .不能确定 7. 满足{1,2,3} ?M ?{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 ( ) A .8 B .7 C .6 D .5 8.集合A ={x |x =2n +1,n ∈Z },B ={y |y =4k ±1,k ∈Z },则A 与B 的关系为 ( ) A .A =B B .A ?B C .A =B D .A ≠B 二.填空题(5×4分=20分) 9.集合{}23*<-∈x N x 用列举法表示应是 ; 10.设集合{}12|)(-==x y y x A ,,{}3|)(+==x y y x B ,,则A ∩B = . 11.某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 12.已知全集{}{}=∈>-=≤≤-=A C U x x x A x x U U ,则,,31281________. 姓名__ __ __ __ __ __ __ __ 班级____ ____ ____ __得分__ ____ ______ ______ —— — —— — —— — — — — —— —— —— — — — — — —— — — — — — ——— — — — — — —— — — —————————

高中数学应用题

函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式210(6)3 a y x x = +--,其中3

高中理科数学离散型随机变量及分布列

理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列 知识点一 1、离散型随机变量:随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母,X,Y ,表示,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质: (1)定义:一般的,若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n 的概率为()i i P X x p ,则表 (2)分布列的性质:①0,1,2,,i p i n ;②11n i i p (3)常见离散型随机变量的分布列: ①两点分布:若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布,并称(1)p P x 为成功概率 ②超几何分布:一般的,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则()(0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C 其中min{,}m M n ,且*,,,,)n N M N n M N N ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例1】已知一随机变量的分布列如下,且E (ξ)=6.3,则a 值为( ) A. 5

【变式1】某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 则该公司一年后估计可获收益的期望是________. 题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列(超几何分布) 【例2】在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列. 【变式2】某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力. (1)求X的分布列;(2)求此员工月工资的期望. 知识点二 1.条件概率及其性质 对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率叫做条件概率,用 符号P(A|B)来表示,其公式为P(A|B)=P(AB) P(B) (P(B)>0). 在古典概型中,若用n(B)表示事件B中基本事件的个数,则P(A|B)=n(AB) n(B) . 2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响,称A、B是相互独立事件. (2)若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). (3)若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. 3.二项分布

高中数学概率大题(经典二)

高中数学概率大题(经典二) 一.解答题(共10小题) 1.某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;(Ⅲ)当p1=0.8,p2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字). 2.已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品.需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回,直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数,求ξ的分布列及Eξ.3.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由老师和老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数),假设老师和老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到,记该系收到老师或老师所发活动通知信息的学生人数为X. (I)求该系学生甲收到老师或老师所发活动通知信息的概率; (II)求使P(X=m)取得最大值的整数m. 4.在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼还剩下的果蝇的只数. (Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程)和数学期望Eξ; (Ⅱ)求概率P(ξ≥Eξ). 5.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时): A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (Ⅰ)试估计C班的学生人数; (Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (Ⅲ)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明) 6.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);

高中数学必修1 集合 单元测试

新课标高一数学同步测试(1)—第一单元(集合) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列各项中,不可以组成集合的是 ( ) A .所有的正数 B .约等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.已知集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =?,则m 的值为 ( ) A .1 B .—1 C .1或—1 D .1或—1或0 3.设集合},3|{Z k k x x M ∈==, },13|{Z k k x x P ∈+==,},13|{Z k k x x Q ∈-==,若Q c P b M a ∈∈∈,,,则∈-+c b a ( ) A .M B . P C .Q D .P M ? 4.设U ={1,2,3,4} ,若B A ?={2},}4{)(=?B A C U ,}5,1{)()(=?B C A C U U , 则下列结论正确的是 ( ) A .A ?3且B ?3 B .A ∈3且B ?3 C .A ?3且B ∈3 D .A ∈3且B ∈3 5.以下四个关系:φ}0{∈,∈0φ,{φ}}0{?, φ}0{,其中正确的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 6. 设U 为全集,Q P ,为非空集合,且 P Q U ,下面结论中不正确... 的是 ( ) A .U Q P C U =?)( B .=?Q P C U )(φ C .Q Q P =? D .=?P Q C U )(φ 7.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B .},,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 8.设集合},4 12|{Z k k x x M ∈+==,},214|{Z k k x x N ∈+==,则 ( ) A .N M = B . M N C . N M D .φ=?N M 9.表示图形中的阴影部分( ) A B

随机变量及其分布知识点整理

随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1 ,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率. 2.超几何分布 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ,B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概

高中数学大题规范解答-全得分系列之十概率与统计的综合问题答题模板

概率与统计是高中数学的重要学习内容,在高考试卷中,每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算,统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,注重考查基础知识和基本方法;以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算. “大题规范解答——得全分”系列之(十) 概率与统计的综合问题答题模板 [典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性. (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷体育迷合计 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率. 附K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,

P (K 2≥k ) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 [教你快速规范审题] 1.审条件,挖解题信息 观察 条件 ―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷,女体育迷10名 ??????→ 借助直方可确定图非体育迷及 体育迷人数 2.审结论,明解题方向 观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 ???→ 需要确定a ,b ,c ,d 及K 2的值 3.建联系,找解题突破口 由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→ 计算K 2可判断结论 1.审条件,挖解题信息 观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” ??????→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数 2.审结论,明解题方向 观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 ????→ 分分析类1名女性观众或两名女性观众 3.建联系,找解题突破口 由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数?????→列法列出 举举

高中数学 选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题(整理含答案)

高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题 时间:90分钟满分:120分 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是() A.不存在x0∈R,2x0>0 B.存在x0∈R,2x0≥0 C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0 2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是() A.能被3整除的整数,一定能被6整除 B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除 C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除 D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除 4.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4是|a|=5”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题p:?x∈R,2x<3x;命题q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是() A.p∧q B.綈p∧q C.p∧綈q D.綈p∧綈q 6.在三角形ABC中,∠A>∠B,给出下列命题: ①sin∠A>sin∠B;②cos2∠A<cos2∠B;③tan ∠A 2>tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是() A.0个B.1个

C .2个 D .3个 7.下面说法正确的是( ) A .命题“?x 0∈R ,使得x 20+x 0+1≥0”的否定是“?x ∈R ,使得x 2 +x +1≥0” B .实数x >y 是x 2>y 2成立的充要条件 C .设p ,q 为简单命题,若“p ∨q ”为假命题,则“綈p ∧綈q ”也为假命题 D .命题“若α=0,则cos α=1”的逆否命题为真命题 8.已知命题p :?x 0∈R ,使tan x 0=1,命题q :?x ∈R ,x 2>0.下面结论正确的是( ) A .命题“p ∧q ”是真命题 B .命题“p ∧綈q ”是假命题 C .命题“綈p ∨q ”是真命题 D .命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9.下列结论错误的是( ) A .命题“若log 2(x 2-2x -1)=1,则x =-1”的逆否命题是“若x ≠-1,则log 2(x 2-2x -1)≠1” B .设α,β∈? ???? -π2,π2,则“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件 C .若“(綈p )∧q ”是假命题,则“p ∨q ”为假命题 D .“?α∈R ,使sin 2α+cos 2α≥1”为真命题 10.给出下列三个命题: ①若a ≥b >-1,则 a 1+a ≥ b 1+b ;②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则mn -m 2≤n 2;③设P (x 1,y 1)是圆O 1:x 2+y 2=9上的任意一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心,且半径为1.当(a -x 1)2+(b -y 1)2=1时,圆O 1与圆O 2相切. 其中假命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 第Ⅱ卷(非选择题,共70分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11.给出命题:“若函数y =f (x )是幂函数,则函数y =f (x )的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是__________.

高中数学《随机变量及其分布》单元测试

数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》单元测试 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设X~B(n,p),E(X)=12,D(X)=4,则n,p的值分别为() A.18, B.36, C.36, D.18, 2.10张奖劵中只有3张有奖,若5个人购买,每人1张,则至少有1个人中奖的概率为() A. B. C. D. 3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,…,10.又设随机变量Y=2X-1,则P(Y<6)的值为() A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2 4.在区间(0,1)内随机取一个数x,若A=,B=,则P(B|A)等于() A. B. C.D. 5.若离散型随机变量X的分布列为 X123 P

则X的数学期望E(X)=() A. B.2 C. D.3 6.已知某离散型随机变量X的分布列如下表,则随机变量X的方差D(X)等于() X01 P m2m A. B. C. D. 7.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币出现不同面的次数为X,则D(X)=() A. B. C. D.5 的值分别为() 8.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1) 与D(2ξ+1) A.13,4 B.13,8 C.7,8 D.7,16 9.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为() A.恰有1只是坏的 B.4只全是好的 C.恰有2只是好的 D.至多有2只是坏的 10.节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5元,销售价是每束5元,节日后没卖出的鲜花以每束1.6元的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X的分布列为 X200300400500 P0.200.350.300.15 若进这种鲜花500束,则利润Y的均值是() A.706 B.690 C.754 D.720 11.现有甲,乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为;向乙靶射击两次,每次命中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击,该射手恰好命中一次的概率为()

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