追及问题例题

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一、本周教学内容：

专题三追及问题的几种不同求解方法

二. 知识归纳、总结：

“追及”、“相碰”是运动学中研究同一直线上两个物体的运动时常常涉及的两类问题，也是匀变速直线运动规律在实际问题中的具体应用．两者的基本特征相同，都是在运动过程中两个物体处在同一位置．处理方法也大同小异．

1、“追及”、“相碰”的特征：

“追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处于同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲= v乙。二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即v甲= v乙。此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上，若v甲＜v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动物体时，情形跟第二种相类似。

两物体恰能“相碰”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同．2、解“追及”、“相碰”问题的思路：

解题的基本思路是：

（1）根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图

（2）根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程．注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．

（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程．

（4）联立方程求解．

3、分析“追及”“相碰”问题时应注意：

（1）分析“追及”、“相碰”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益．

（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否停止运动．

（3）仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件

4、解决追及和相碰问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法．求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等．

例1、汽车正以10 m／s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m ／s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m／s的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远?

分析：汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断缩小，当这个距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足题设的汽车恰好不碰上自行车的条件，所以本题要求的汽车关闭油门时离自行车的距离S ，应是汽车从关闭油门减速运动，直到速度与自行车速度相等时发生的位移。汽车与自行车在这段时间内发生的位移自S 之差，如图所示．

解法I ：汽车减速到4 m ／s 时发生的位移和运动的时间分别为

m 76216100a 2v v S 22=?-=-=自

汽汽 s a v v t 16410=-=-=自汽

这段时间内自行车发生的位移

S 自 = v 自t= 4×l = 4 m ，

汽车关闭油门时离自行车的距离

S=S 汽－S 自 = 7－4 = 3 m ．

解法Ⅱ：利用v —t 图进行求解，如图所示，

直线I 、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，其中划斜线部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离为图线I 的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有

m 362)410(a )

v v (2)v v (2t )v v (S 2

=?-=-?-=-=自汽自汽自汽

评注：追及问题是运动学中较为综合且有实际意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同．对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟悉运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。借助于v —t 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了．

例2、一小汽车从静止开始以3 m ／s ２ 的加速度行驶，恰有一自行车以6 m ／s 的速度从

车边匀速驶过．

（1）汽车从开动后在追上自行车之前经多长时间后两者相距最远?此时距离是多少?

（2）汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少?

对设问（1）

解法I ：汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大，当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小．所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大．

有 .)s (2a v t ,v t a v ===?=自

自汽

).m (6432126at 21t v s 2=??-?=-?=?自

解法Ⅱ：利用相对运动求解．

以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速)/(6600s m v v v -=-=-=自汽，加速度a =v 汽－v 自＝3m/s 2

汽车远离自行车减速运动（与自行车对地运动方向相反），当末速为v t =0时，相对自行车最远．

.)(236,00s a v t at v v t ==-=

=-

).(62,220202m a v s as v v t -=-==- 负号表示汽车比自行车落后．

解法Ⅲ：极值法．

设汽车在追上自行车之前经时间t 相距最远．

.t 23t 6at 21t v s s s 22-=-?=-=?自汽自 利用二次函数求极值条件知

当)s (2)23(26a 2b t =--=-

=时，△s 最大

).(6223262max m s =?-?=?

解法Ⅳ：如图1所示，作出 v －t 图

设相遇前ts 两车速度相等，

6t a v =?=汽 即 3t =6

解得t =2s 时两车相距最远

两车的位移差△s =?216×2 = 6

m

图1

对设问（2）解法I ：汽车追上自行车时，两车位移相等．

2

t a 21t v '='?自，代入数值得s t 4='，

.s /m 1243t a v =?='?='汽

解法II ：由图1知，t =2s 以后，若两车位移相等，即 v －t 图线与时间轴所夹的“面积”

相等．

由几何关系知，相遇时间为 t ′=4s ，此时s m v v /122==自汽

评注：（1）本题采用了多种解法，如综合法，相对运动法、极值法、图象法等，各有特色，这体现了对同一问题的理解角度不同，解法不同．

（2）在解决运动学问题时，在解题方法上可以从公式、图象等方面多角度考虑问题，利用图象解决问题能把抽象的物理过程变得直观形象，易于接受，且计算过程相对简化．

例3、甲、乙两车相距s ，同时同向运动，乙在前面做加速度为1a 、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为2a 、初速度为0v 的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系．

分析：由于两车同时同向运动，故有t a v t a v v 120,=+=乙甲．

①当21a a <时，t a t a 21<，可得两车在运动过程中始终有乙甲v v >．由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次．

②当21a a =时，t a t a 21=，可得乙甲v v >，因此甲、乙两车也只能相遇一次。

③当21a a >时，t a t a 21>，甲v 和乙v 的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，t a 1和t a 2相差不大且甲有初速0v ，所以乙甲v v >；随着时间的推移，t a 1和t a 2相

差越来越大；当t a 1－t a 2=0v 时，甲v =乙v ，接下来t a 1－t a 2>0v ，则有乙甲v v <，若在甲v =乙

v 之前，甲车还没有超过乙车，随后由于乙甲v v <，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在甲v =乙v 时，两车刚好相遇，随后乙甲v v <，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在甲v =乙v 前，甲车已超过乙车，即已相遇过一次，随后由于乙甲v v <，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次．

解法I ：由于2

122021,21t a s t a t v s =+

=乙甲，相遇时有s s s =-乙甲

则s t a t a t v =-+212202121，0)(210221=+--s t v t a a 所以2121200)(2a a s a a v v t ---±=

①

② 21a a <时，①式t 只有一个正解，则相遇一次．

②当21a a =时，s 甲-s 乙s t v t a t a t v ==-+=021*******．

所以t =s /v 0只有一个解，则相遇一次．

③当21a a >时，若

s a a v )(22120-<①式t 无解，即不相遇． 若

s a a v )(22120-=，①式t 只有一个解，即相遇一次， 若

s a a v )(22120->，①式t 有两个正解，即相遇两次． 解法Ⅱ：利用v －t 图象求解．

①当21a a <时，甲、乙两车的运动图线分别为如图中的I 和Ⅱ，其中划斜线部分的面

积表示t 时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S ，则t 时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次．

②当21a a =时，甲、乙两车的运动图线分别为如图中的I 和Ⅱ，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次．

③当21a a >时，甲、乙两车的运动图线分别为如图中的I 和Ⅱ，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移．若划实斜线部分的面积小于S ，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于S ，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于S ，如图中0~ t 1时间内划实斜线部分的面积为S ，说明t 1时刻甲车追上乙车，以后在t 1 ~ t 时间内，甲车超前乙车的位移为t 1 ~ t 时间内划实斜线部分的面积，随后在t ~ t 2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t 2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次．

评注：这类问题并不难，需要的是细心，首先把可能的情况想全，然后逐一认真地从实际情况出发来分析，以得到正确的结果．

【模拟试题】

1、物体由静止开始做直线运动，先匀加速运动了4秒，又匀速运动了10秒，再匀减速运动6秒后停止，它共前进了1500米，求它在整个运动过程中的最大速度。

2、从地面竖直上抛一物体，通过楼上1.55米高窗口的时间是0.1秒，物体回落后从窗口顶部到地面的时间是0 .4秒，求物体能达到的最大高度。（g =10米/秒2）

3、一个物体从A 点从静止开始做匀加速直线运动到B 点，然后做匀减速直线运动到C 点静止，AB =s 1，BC =s 2，由A 到C 的总时间为t ，问：物体在AB 、BC 段的加速度大小各为多少？

4、一矿井深45米，在井口每隔一定时间自由落下一个小球，当第7个小球从井口开始下落时，第一个小球恰好落至井底，问：

（1）相邻两个小球下落的时间间隔是多少？

（2）这时第3个小球和第5个小球相距多远？

5、划速为v1的船在水速为v2的河中顺流行驶，某时刻船上一只气袋落水，若船又行驶了t秒后才发现且立即返回寻找（略去调转船头所用的时间），需再经多少时间才能找到气袋？

【试题答案】

1、v m=100米/秒

2、20米

3、a

s s

s t

AB

=

+

2

12

2

1

2

()

；

a

s s

s t

BC

=

+

2

12

2

2

2

()

4、0.5秒；15米

5、t；

【励志故事】

拿破仑与希特勒惊人巧合

拿破仑与希特勒事事相隔129年；

拿破仑于1804年执政，希特勒于1933年上台，时隔129年；

拿破仑于1809年占领维也纳，希特勒攻入维也纳在1938年，时隔也为129年；

拿破仑于1812年进攻俄罗斯，希特勒是在1941年进攻俄罗斯，其时又隔129年；

拿破仑于1816年战败，希特勒是在1945年战败，还是相隔129年；

两人掌权时都是44岁，进攻俄国时都是52岁，战败时都是56岁。