第2章 质点动力学
第2章 质点动力学
一、基本要求
1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；
2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；
3．掌握运用动量守恒定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。
二、基本内容
（一）本章重点和难点：
重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。 难点：微积分方法求解变力做功。 （二）知识网络结构图：
????
?
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?????
??
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?
?
??????????????????????????????
???????????公式合外力矩为条件角动量守恒定律公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律角动量定理
动能定理动量定理基本定理能功角动量
冲量动量基本物理量)0()()0(
（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量
动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。 2.力矩和角动量
力矩是位矢与力的矢积；角动量是位矢与动量的矢积。合外力矩等于质点角动量随时间的变化率。
3.保守力和非保守力
保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。
(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：?
?=
2
1
t t dt F I
2．动量定理：
质点动量定理：?
?=-=?=
2
1
1
2t t v m P P dt F I
质点系动量定理：dt
P
d F
=
3．动量守恒定律：
当系统所受合外力为零时，即0=ex F
时，或in
ex F F
系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1
4．变力做功：
dr F r d F W B
A
B A
?
?=?=θcos （θ为)之间夹角与r d F
直角坐标系中：
)d d d ( z F y F x F W z y B
A
x ++=?
5．动能定理：
（1）质点动能定理：
k1k221222121E E mv mv W -=-=
（质点所受合外力做功等于质点动能增量。）
（2）质点系动能定理:
∑∑==-=+n
i n i E E W W
1
kio
1
ki in
ex
（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。）
6．保守力、势能、功能原理：
（1）保守力：做功只与始末位置有关，与经历的路径无关的力
（2）重力势能：
mgh E =P ，地面为势能零点
（3）弹簧的弹性势能：
2
P 21kx E =
，弹簧原长处为势能零点
（4）万有引力势能：r m
m G
E 'P -=，m '与m 相距无限远处∞=r 为势能零点
（5）功能原理：0ex
in nc W
W E E +=-
7．机械能守恒定律：
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功（或只有保守内力做功）时，即：当
in
nc ex =+W W 时，质点系的总机械能是守恒的：
0E E =
8．质点角动量定理：
（1）质点角动量：v m r p r L
?=?= 大小：θsin mvr L =（的夹角和是r v θ） 方向：沿的方向v r
?。
注：当质点做圆周运动时：ωωJ mr L ==2
（2）质点角动量定理：dt
L
d M =（微分形式）（质点对任一参考系的角动量随时间的
变化率等于合外力对该点的力矩。）
或：L dt M t t
?=??0
(积分形式）
9．质点角动量守恒定律：
当合外力矩0=M 时，角动量L 保持不变。 两种情况：
（1）合外力0=F ,得合外力矩0=M ;
(2)虽然合外力0≠F ,但作用线过参考点O,即合外力矩0=M 。（如地球绕太阳运动）
（五）思考问答：
问题1假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其他可资利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖面呢？
答：此题应了解动量守恒定律。当系统所受外力可以忽略时，系统的动量保持不变。 当人处于摩擦可以略去不计的冰面上，周围又无其他可以利用的工具时，初始动量为零，可向背离湖岸的方向扔一自身携带的物体，从而使人获得朝向湖岸的动量。
问题 2 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。 答：设一小车在水平面上，以速度u
匀速运动，小车内有一小球，相对于小车沿u
的方向运动，如图所示。在小车和地面上分别建立惯性坐标系S '和S ，则小球在S '系和S 系中
的速度分别为v 和v ，u v v
+'=。小球在S '系和S 系中的加速度分别为a '和a ，a a ='。它在两坐标系的位移分别为x '和x ，ut x x +'=。
①由于小球的速度与S '系和S 系有关，故动量v m P
=与惯性系有关。
②显然，动能E k =
2
21mv 与惯性系有关。 ③由于??=r d F W
，故S '系中?='''dx F W ，S 系中;?=F dx W 因为a a =',所以
F a m ma F '='==,于是????+=+=+=''''''')''('dt F u W dt F u dx F ut x d F W ，所以功
也与惯性系有关。
④设在惯性系S '中动能定理成立，即k E W ''?=，则在惯性系S 中，?+'=''dt F u W W ，()()()()仍与惯性系有关。
与惯性系无关。但数值即质点的动能定理形式所以因为??=-=-=-+??? ??-=+-+=-=?,,'''','2
1'21',
'21'21'21''21212102
020*********K k E W mv mv u dt F u mv mv W mv mv u mv mv u v m v m mv mv E μ
问题3 把物体抛向空气中有哪些力对它做功？这些力是否都是保守力？
答：把物体抛向空气中，通常物体受到重力、空气阻力和浮力的作用。但是浮力作用很小而被忽略；重力对物体做功，是保守力。空气阻力方向与运动方向相反，对物体做负功，且做功与路径有关，所以空气阻力为非保守力。
问题4 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变？在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ 答：在弹性碰撞中，动能不变，动量守恒；在非弹性碰撞中，动量守恒，动能不守恒。 问题5 动量的大小和方向与参考系有关吗？冲量的大小和方向与参考系有关吗？ 答：物体的质量与速度的乘积为某时刻物体的动量，因速度与参考系的选取有关，所以动量的大小和方向与参考系的选取有关。
冲量是描述力对时间积累的物理量，物体间相互作用力和作用时间与参考系的选取无关,因此冲量的大小和方向与参考系的选取无关。 问题6 动量定理的数学表达式是
()?
∑∑∑-=21
1
2
t t i i i i i
v m v m dt F
，如果
()?∑=2
10t t i dt F ，则∑∑=12i i i i v m v m
，为什么守恒条件是∑=0i F ，而不是 ()?∑=2
1
0t t i dt F
？
答：动量守恒是指系统在运动过程中的每一时刻，系统内各质点动量的矢量和不变。如果
()?
∑=21
0t t i dt F
,系统在整个运动过程的冲量为零,只能说明系统初末两个状态的动量相等,
但不能保证系统在这段时间内的任一时刻的总动量都恒定不变。因此,这不是动量守恒的条件。
我们知道，如果∑=0i F ，则
()
0=∑dt
v m d i i
。
此式表示系统总动量不随时间的变化而变化,保持一恒矢量(守恒),因此系统动量守恒的条件是合外力为零,即∑=0i
F
。
三、解题方法
1．已知质点运动所受外力与时间函数式，求末速度或速度增量，应用动量定理求解。 2．已知质点运动所受外力与位置函数式，求末速度或速度增量，应用动能定理求解。 3．综合问题：碰撞
物体发生碰撞时：动量或角动量守恒。 完全弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒； 非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失不守恒；
完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失不守恒，但碰撞后物体以同一速度运动。
四、解题指导
1．动量定理的应用
一质量为kg m 2=的质点在力()()N t F x 32+=作用下由静止开始运动，若此力作用在质点上的时间为s 2，则该力在这s 2内冲量的大小多少？质点在第s 2末的速度大小为多少。 【分析】：此题是物体受变力作用求冲量大小，用冲量定义式来计算；求速度大小用动量定理来计算。
根据冲量定义：()()Ns dt t dt F I t t 10322
21
??=?+=?=
根据动量定理：??=-=?=21
1
2t t v m P P dt F I
()s m v v v m I /5)(212=→-=
2．变力做功的应用
一长方形地下蓄水池，面积为100m 2
，池水深1m ，池中水面在地面下2m 处，今需将池水全部抽到地面，抽水机应作功多少？
【分析】：用微积分法计算直线运动情况下的变力做功。
dy y 解：以地面为坐标原点，取图示oy 轴，水池中离地面为y 处，厚度为dy 的这一层水，抽到地面上需作功：
mgy W d d =，其中y s m d d ρ=，式中ρ为水的密度，所以抽完水需
作功。（用积分法计算直线运动情况下的变力做功）
以地面为坐标原点，取图示oy 轴，水池中离地面为y 处，厚度为dy 的这一层水，抽到地面需做功；dW dmgy =其中dm sdy ρ=，所以：
2
1
222161
()2
2.4510h h W dW sgydy
sg h h J ρρ===
-=???
3．功能原理的应用：
一倔强系数为k 的轻质弹簧，一端固定，另一端系一质量为m 的小球，放在桌面上，如图，此时弹簧处于自然状态，设小球具有水平向右的速度0v ，球与桌面的摩擦系数为u 。求小球向右运动的最大位移为多少？
（系统受四个力作用，重力、桌面支持力、弹力和摩擦力，重力和支持力不做功，弹力为保守内力，只有摩擦力做功） 根据功能原理： 0ex
W
E E =-
初状态只有动能：20012E mv =
末状态只有势能：21
2E kl = （l 为最大位移） 因此有： 22011
22
umgl kl mv -=
- 则：
1)umg
l k =
4．综合练习：动量守恒，机械能守恒
劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在地面上，在弹簧上放一质量为m 的平板，处于静平衡状态。有一质量也为m 的油泥从平板上高h 处自由下落，与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧又被压缩的最大距离为多少？
【分析】：将整个过程分为三阶段：油泥下落过程自由落体、油泥与平板完全非弹性碰撞过程动量守恒和油泥平板压缩弹簧过程机械能守恒。
解：油泥自由下落过程：
油泥和地球组成的系统，只有保守内力作功系统机械能守恒，则下落到平板时油泥速率为0v ，有：
22102
0gh v mgh mv == (1)
油泥与平板相碰撞过程中，油泥和平板组成的系统动量守，则有：
0)(mv v m m =+
所以，油泥和平板相碰后共同具有速率：
20gh
v m
m m
v =+=
(2)
油泥和平板压缩弹簧过程中，油泥、平板、弹簧和地球组成的系统，只有保守内力作功，系统的机械能守恒，即：
21E E =
若以弹簧自然长度处为弹性势能零点，以平板与弹簧处于静平衡位置为重力势能零点，则有：
gx
m m x x k E v m m kx E )()(21
)(21
212022201+-+=++=
所以：gx
m m x x k v m m kx )()(21
)(212120220+-+=++ (3)
式中x 为弹簧再次压缩的最大距离，式中
k mg
x =
0，将0x 值，式（2）代入式（3）得：
h k mg
k mg k mg x )()(2++=
五、能力训练
1．质量分别为m 和4m 的两个质点分别以k E 和k E 4的动能沿一直线相向运动，它们的总动量的大小为（ ）
（A ）
k
22mE （B ）
k
23mE （C ）
k
25mE （D ）
k
2)122(mE -
2．一质量为kg 10的物体在力)()40120(SI i t f
+=的作用下，沿x 轴运动，初速度
),/(60s m i v
=则s 3时速度为（ ）s m /。
（A ）i
10 （B ）i 66 （C ）i 72 （D ）i 4-
3．一质量为g 20的子弹沿X 轴正方向以s m /500的速度射入一木块后，与木块一起仍沿X 正方向以s m /50的速率前进，在此过程中木块所受冲量为（ ）s N ?。
（A ）9 （B ）-9 （C ）10 （D ）-10
4．一质点质量为kg 10，受方向不变的力：34()F x N =+作用，从原点由静止出发沿X 轴运动了2米，则此过程中该力做功为（ ）。
（A ）10J （B ）12J （C ）16J (D)14J
5．长度为R 的细绳一端固定（绳子的质量和伸长均忽略不计），另一端系一质量为m 的物体，若在最低点给物体一个初速度，使其恰好能在竖直平面内完成一次圆周运动，则初速度最小值为（ ）。
（A
1- （B
1- （C
）1- （D
1-
6.有两个倾角不同、高度相同，质量相同的斜面置于光滑的水平面上，斜面也是光滑的，有两个一样的小球，从这两斜面顶点，
由静止开始下滑，则（ ） 题6图
m 0v
（A ）两小球到达斜面底端时的动量相等 （B ）两小球到达斜面底端时的动能相等 （C ）小球和斜面组成的系统的动量守恒
（D ）小球和斜面组成的系统在水平方向上的动量守恒
7.一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。如图所示，已知摆球质量为m ，圆半径为R ，摆球速率为v ，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为???????。
8.一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然分裂为
21 ,m m 和3m 三块，且以相同的速率沿三个方向在水平面 题8图
上运动。各运动方向之间的夹角如图所示，则三块物体的质量之比321: :m m m =???????。 9.一倔强系数为k 的弹簧，甲将弹簧从平衡位置拉长l ,乙又继甲后，再将弹簧拉长2
3
l ，则甲作功为（ ），乙作功为（ ）。
10.质量为m 千克的炮弹，沿水平飞行，其动能为E ，突然在空中爆炸成质量相等的两块，其中一块向后，动能为
2
E
，另一块向前，其动能为（ ）。 11.一个人从10m 深的井中，把10kg 的水匀速地提上来。由于桶漏水，桶每升高1m 漏0.2kg 的水，问把水从井中提到井口，人所作的功。
12.体重为50千克的演员，在进行走钢丝绳练习时，不慎跌下，由于弹性安全带的保护使他不致受伤。已知安全带长5米，一端系在钢丝上，一端系在演员身上，弹性缓冲时间为1秒，试求安全带给演员的平均作用力为多大？（2
/10s m g =）
13.有一物体与斜面间的摩擦系数为2.0，斜面的倾角为0
45，设物体以s m /10的速率沿斜面上滑，求物体
能达到的高度。当物体返回最低点时，其速率又为多少？ 题14图
v 1
14.质量为1m 和2m 的物体以倔强系数为k 的轻弹 簧相连，置于光滑水平桌面上，最初，弹簧自由伸长，一质量为0m 的子弹以速度0v 沿水平方向射入1m 内，问弹簧压缩的最大量为多少？
15．质量均为m 的两个小球的固定在弯程1200角的绝缘轻杆两端，OA 和OB 的长度均为l ，可绕过O 点且与纸面垂直的水平轴无摩擦转动，空气阻力不计。设A 球带正电，B 球带负
电，电量均为q ，处在竖直向下的匀强电场中。开始时，杆OB 与竖直方向的夹角O 600=θ，
由静止释放，摆动到O
90=θ得位置时，系统处于平衡状态。求： (1)匀强电场的场强大小E ；
(2)系统由初位置运动到平衡位置，重力做的功g W 和静电力作的功e W ；
(3)B 球在摆动到平衡位置时的速度的大小v 。
16．一质量为10kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动，已知F=120t +40，式中F 的单位为N ，t 的单位为s 。在t =0时，质点位于x=5.0m 处，其速度v 0=6.0m ?s 1
-。求质点
在任意时刻的速度和位置。
17．轻型飞机连同驾驶员总质量为kg 3
100.1?。飞机以s m /0.55的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数α=5.0?102
N ?s ，空气对飞机的升力不计。求：（1）10s 后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s 内滑行的距离。
18．t F x 430+=的合外力作用在质量kg m 120=的物体上，（SI 制）试求：（1）在开始2s 内该力的冲量I ；（2）若冲量Ns I 300=，此力作用的时间；（3）若物体的初速度s m v /101=且方向与x F 相同，在s t 86.6=时，此物体的速度2v 。
19．质量为m 的小球，在力kx F -=作用下运动，已知t A x ωcos =，其中：k ，ω，A 均为正常量。求：在0=t 到ω
π
2=
t 时间内小球运动量的增量。 20．A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行当两船擦肩相遇时，两船各自向对方稳地传递50kg 的重物，结果是A 船停了下来，而B 船则以3.4m ?s
1
-的速度继续向前驶去。A 、B 两
船包括重物时的质量分别为0.5?103
kg 和1.0?103
kg ，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力）
21．一物体在介质中按规律x=ct 3
作直线运动，c 为一常量，设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x 0=0运动到t x =时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k ）
22．以质量为m 的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由v 减少到
2
v
。已知摆锤的质量为m '，摆线长度为l ，如图摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？
五、参考答案
1．B ；
2.C ；
3.A ；
4.D ；
5.D ；
6.D ；
7.
2R
mg v
π；
8.11:2； 9.
212kl ， 28
9kl ； 10.9
2
E ；
11. 882J ；
12. 500F N =；
13.s m v m h /16.8,25.4==；
14.l mv = 15. (1)力矩平衡时 ()()()
o o O
l qE mg l qE mg 90120sin 90sin -+=-
()qE mg qE mg +=
-2
1
q mg E 3=；
（2）重力做功 (
)mgl mgl mgl W o
o
o g ????
??-=--=12360
cos 60
cos 30cos
静电力做功 (
)m g l q E l q E L W o
o
o e 6
3
60
cos 60
cos 30cos =
+-=； 题22图
（3）小球动能的改变量： mgl Wc Wg E K ???
?
??-=+=?1332； 16．2646t t v ++=，3
22265t t t x +++=； 17．202t m
v v α
-
=，m t m
t v x x s 4676300=-
=-=α
；
18．（1）Ns I 68=；（2）s t 86.6=；（3）s m v /402=； 19．ω
kA
I P -
==?；
20．s m v s m v B A /6.3,/40.0=-=；
21．3
7
327
27l kc W -=； 22．gl m
m v 52min '
=
第二章 质点动力学
普通物理
黄 武 英
第二章
一.牛顿第一定律
质点动力学
三.牛顿第三定律
§2.1 牛顿定律
二.牛顿第二定律
§2.2 常见的力
一.万有引力 五.四种基本力 二.重力 三.弹力 四.摩擦力
牛顿定律应用举例
§2.3 单位制和量纲 §2.4 动量定理和动量守恒定律 §2.5 动能定理和功能原理 §2.6 能量守恒定律 §2.7 角动量定理和角动量守恒定律
物理与电子信息学院
§2.4 动量定理和动量守恒定律
一、质点的动量定理 二、动量定理的应用 三、质点系的动量定理 四、质心运动定理 五、质点系的动量守恒定律 六、变质量物体的运动方程
§2.5 动能定理和功能原理
一、动能及功的定义 三、功率 五、保守力和非保守力 六、质点的功能原理 七、质点系的动能定理和功能原理 二、动能定理
四、功的计算举例
§2.6 能量守恒定律
一、机械能守恒定律 二、守恒定律(机械能与动量) 的综合应用 三、能量转化及守恒定律 四、碰撞
§2.7角动量守恒定律
一、力矩 二、角动量 三、角动量守恒定律
四、动能定理
K rb G K 2 2 1 Wab = ∫K f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa
ra
本章小结 G G dp d (mv ) G 一、牛顿第二定律 = =F dt dt
二、质点系的动量定理
五、质点系的功能原理和机械能守恒定律
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
则： E kb + E pb = E ka + E pa 六、角动量定理和角动量守恒定律 K K dL 角动量定理 M= G dt 若 M =0 （条件）
功能原理
若外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（条件） 机械能守恒定律
G I =
∫
t2
t1
G G G F合外 dt = ∑ mi vi (t 2 ) ? ∑ mi vi (t1 )
i i
三、质点系的动量守恒定律 若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零（条件） n K K K K 则： ∑ miVi＝m1V1 + m2V2 + " mnVn = 恒量
i =1
G
则
dL =0 dt
G L = 常矢量
角动量守恒定律
第2章 质点动力学
第2章 质点动力学 一、选择题 1. 如图1所示，物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 [ ] 2. 一物体作匀速率曲线运动, 则 (A) 其所受合外力一定总为零 (B) 其加速度一定总为零 (C) 其法向加速度一定总为零 (D) 其切向加速度一定总为零 [ ] 3. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 [ ] 4. 用细绳系一小球使之在竖直平面内作圆周运动, 小球在任意位置 (A) 都有切向加速度 (B) 都有法向加速度 (C) 绳子的拉力和重力是惯性离心力的反作用力 (D) 绳子的拉力和重力的合力是惯性离心力的反作用力 [ ] 5. 如图2所示，三艘质量均为0m 的小船以相同的速度v 鱼贯而行．今从中间船上同时以速率u (与速度v 在同一直线上)把两个质量均为m 的物体分别抛到前后两船上. 水和空气的阻力均不计, 则抛掷后三船速度分别为 (A) v ，v ，v (B) u +v ，v ，u -v (C) u m m m 0++ v ，v ，u m m m +-v (D) u m m m 0++ v ，v ，u m m m 0 +-v [ ] 6. 质量为m 的铁锤竖直落下, 打在木桩上并停下. 设打击时间为?t , 打击前铁锤速率为 v ，则在打击木桩的时间内, 铁锤所受平均合外力的大小为 (A) t m ?v (B) mg t m -?v (C) mg t m +?v (D) t m ?v 2 [ ] 7. 用锤压钉不易将钉压入木块, 用锤击钉则很容易将钉击入木块, 这是因为 (A) 前者遇到的阻力大, 后者遇到的阻力小 (B) 前者动量守恒, 后者动量不守恒 (C) 后者锤的动量变化大, 给钉的作用力就大 (D) 后者锤的动量变化率大, 给钉的作用力就大 [ ] 8. 质点系的内力可以改变 (A) 系统的总质量 (B) 系统的总动量 图1 图2 v
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案
习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正 方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d ==--
即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2?? =- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-=
大学物理第二章(质点动力学)习题答案
习题二 2-1 质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。 [解] 设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= - kv (1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-2 质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为 [证明] 任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-3 跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。 [解] 设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。 此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。 [解] 卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 ()() s m 1096.61327 1085.11063781082.736 33e ?=?+???=+= m h R f v (3) 卫星得运转周期 ()() 2h3min50s s 1043.710 96.61085.1106378223 3 63e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ,距地心为R +h ,则 所以 代入第一式中 解得 2-6 两个质量都就是m 得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。 [解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同 (1)每个星球所受得合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以,每个星球得运行周期 2-7 2-8 2-9 一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s 时对桌面得瞬时作用力。 [解] 链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s 段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然 时刻,下落桌面部分长s 。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时
力学习题第二章质点动力学(含答案)
第二章质点动力学单元测验题 一、选择题 1.如图，物体A和B的质量分别为2kg和1kg，用跨过定滑轮的细线相连，静 止叠放在倾角为θ=30°的斜面上，各接触面的静摩擦系数均为μ=0.2，现有一沿斜面向下的力F作用在物体A上，则F至少为多大才能使两物体运动. A.3.4N; B.5.9N; C.13.4N; D.14.7N 答案：A 解：设沿斜面方向向下为正方向。A、B静止时，受力平衡。 A在平行于斜面方向：F m g sin T f f 0 A12 B在平行于斜面方向：1sin0 f m g T B 静摩擦力的极值条件：f1m g cos， B f m m g 2(B A)cos 联立可得使两物体运动的最小力F min满足： F min (m B m A)g sin (3m B m A )g cos=3.6N 2.一质量为m的汽艇在湖水中以速率v0直线运动，当关闭发动机后，受水的阻力为f=-kv，则速度随时间的变化关系为 A.v k t =v e m; B. v= -t k t v e m 0; C. v=v + k m t ; D. v=v - k m t 答案：B 解：以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点，以v0方向为正方向建立坐标系. 牛顿第二定律： dv ma m kv dt 整理： d v v k m dt
积分得：v= - v e k t m 3.质量分别为m和m（ 12m m）的两个人，分别拉住跨在定滑轮（忽略质量）21 上的轻绳两边往上爬。开始时两人至定滑轮的距离都是h.质量为m的人经过t 1 秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为 2 m m1m-m1 1; C.1(h gt2)2h gt 1 2 A.0; B.h+; D.(+) m m2m2 222 答案：D 解：如图建立坐标系，选竖直向下为正方向。设人与绳之间的静摩擦力为f，当 质量为m的人经过t秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为h'，对二者12 分别列动力学方程。 对m： 1 f m g m a m 11m1 1 dv m 1 dt 对m： 2 f m g m a m 22m2 2 dv m 2 dt 将上两式对t求积分，可得： fdt m gt m v m 11m1 1dy m 1 dt fdt m gt m v m 22m2 2dy m 2 dt 再将上两式对t求积分，可得： 1 fdt m gt 0m h 22 11 2 1 fdt m gt m h m h 22 222 2
第二章 质点动力学习题答案
第二章 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2 sin 2 1t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 2 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1- =+ ? ? - = +t v v dt m KV mg dV 10
dt m KV mg KV mg K 1ln 10 - =++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1)(10- += ?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 00 0mg KV K m mg KV mg K m t + = += ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ? ?? ?? ????-+= = -0 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02 -??????-+- =- 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02 max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K +?- ??? ?????-+= +?- )1ln(11)(0 2 2 002 mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln() (02 20 002 mg KV g K m KV mg KV KV mg K m + - ++= )1ln(02 20mg KV g K m K mV + - = 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.
第2章-质点动力学答案
% 2015-2016（2）大学物理A （1）第二次作业 第二章 质点动力学答案 ［ A ］ 1、【基础训练1 】 一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M 的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量M m 2 1 = ．若人相对于绳以加速度a 0向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是 (A) 3/)2(0g a +． (B) )3(0a g --． (C) 3/)2(0g a +-． (D) 0a [解答]： ()()()()00000() ,/3, 2/3 Mg T Ma T mg m a a M m g M m a ma a g a a a g a -=-=+-=++=-∴+=+ 、 ［ D ］2、【基础训练3】 图示系统置于以g a 2 1 = 的加速度上升的升降机内，A 、B 两物体质量相同均为m ，A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为 (A) mg ． (B) mg 2 1． (C) 2mg ． (D) 3mg / 4． [解答]： 设绳的张力为T ，F 惯=ma mg ?T +ma =ma‘， T =ma’， mg +mg /2=2ma’. 》 所以 a’=3g/4, T=3mg/4 ［ B ］ 3、【基础训练5】 光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为m 1和m 2，且m 1
第2章 质点动力学
第2章质点动力学 一、质点： 是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。 二、力： 是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：（为形变量） 2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 固体间的静摩擦力：（最大值） 固体间的滑动摩擦力： 3、流体阻力：或。 4、万有引力： 特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。 式中R为地球半径，M为地球质量。 在地球上方（较大），。 在地球内部（），。 三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律 牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了
惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：； 经典形式：（为恒量） 牛顿第三定律：。 牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。 四、非惯性参考系中的力学规律 1、惯性力： 惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系 的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。 2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律： 五、求解动力学问题的主要步骤 恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出 分量式的运动方程。 变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。 第2章质点动力学 二、解题示例 【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?-o 2(2) s ∴= 把式（2）代入式（1）得， 220.198 u = 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G r 和轨道对它的支持力T r .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 22 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-=r r r 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v r v mg mg r mg α αα ωαα α=-===+==-=-? ?o r 得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为 T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者 习题2－2图
大学物理第二章 质点动力学习题解答
第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-=ρ（单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+==ρρ, j i a m F ?12?24+==ρρ 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+=ρ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a ρρρ2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F ρ ρρ2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' a T' a
大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学
质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ? 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 20 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F ? ??+= a m f P ???=+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 0 dt m KV mg KV mg K 1 ln 10-=++
)(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1 )(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-??? ?????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-????? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有
大学物理第二章质点动力学习题答案
习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0 = 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉 降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d y
得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2 =- 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21 d d 00 2??=- 得m t v k mg v k mg = +-ln 整理得T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2)由牛顿第二定律h R v m f +=e 2 (3)卫星的运转周期 2-5试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解]设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则
大物B课后题02-第二章 质点动力学
2-1 质量为0.25kg 的质点，受力为()F ti SI =的作用，式中t 为时间。0t =时，该质点以 102v jm s -=?的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____. 解 因为 40.25 dv F ti ti dt m ===,所以() 4dv ti dt =，于是有()0 4v t v dv ti dt =? ?， 222v t i j =+；又因为 dr v dt =，所以()222dr t i j dt =+，于是有()222dr t i j dt =+??，32 23 r t i tj C =++，而t=0时质点通过了原点，所以0C =，故该质点在任意时刻的位置 矢量为3 223 r t i tj =+。 2-2 一质量为10kg 的物体在力(12040)()f t i SI =+作用下，沿x 轴运动。0t =时，其速度 106v im s -=?，则3t s =时，其速度为（ ） A. 1 10im s -? B. 1 66im s -? C. 1 72im s -? D. 1 4im s -? 解 本题正确答案为C 在x 方向，动量定理可写为()3 12040t dt mv mv +=-?，即0660mv mv -= 所以 ()10660660 67210 v v m s m -=+ =+=?。
一物体质量为10kg 。受到方向不变的力3040()F t SI =+的作用，在开始的2s 内，此力的 冲量大小等于______;若物体的初速度大小为1 10m s -? ，方向与F 同向，则在2s 末物体的 速度大小等于_______. 解 在开始的2s 内，此力的冲量大小为 ()2 3040140()I t dt N s = +=?? 由质点的动量定理得 0I mv mv =- 当物体的初速度大小为1 10m s -?，方向与F 同向时，在2s 末物体速度的大小为 10140 1024()10 I v v m s m -=+=+=? 2-4 一长为l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。若使其长度的1/2悬于桌边下，由静止释放，任其自由滑动，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（） 解 本题正确答案为B 。 根据题意作图.设链条的质量为m ，则单位长度的质量为m l ，若选取桌面为零势能点，则由机械能守恒定律得 21 2422m l l m l g l g mv l l ????????????-???=-???+ ? ? ? ????????????????? 其中v 为链条全部离开桌面时的速度。解之得 v =
第2章-质点动力学答案
:B : 3、【基础训练5】 光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为 2015-2016 (2)大学物理 A (1)第二次作业 第二章 质点动力学答案 :A : 1、【基础训练1】一根细绳跨过一光滑的定滑轮, g 2a o /3 一 1 2、【基础训练3】 图示系统置于以a —g 的加速度上升的升降机内， A 、B — 2 两物体质量相同均为 m A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴 上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为 T = ma , mg+ me/ 2=2ma . 所以 a ’ =3g/4, T=3mg/4 一端挂一质量为 M 的物体， 1 另一端被人用双手拉着，人的质量 m —M .若人相对于绳 2 以加速度 a o 向上爬，则人相对于地面的加速度(以竖直向上 为正)是 (A) (2 a o g)/3. (B) (3g a o ) ? (C) (2a o g)/3. (D) a o ［解答］: Mg T T mg M m Ma m(a a o ) M m a ma o , a o /3, (A) mg (B) Img . (C) 2 mg (D) 3 mg / 4. ［解答］: 设绳的张力为T , F 惯二 ma mg- T + ma= ma ',
N sin mg N mg /sin 增加，N 减小。 m i 和m ,且m i
大学物理第2章质点动力学习题(含解答)
第2章质点动力学习题解答 2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。 解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F += 2-2 如图所示，质量为10kg 物体，?所受拉力为变力2132 +=t F （SI ），0=t 时物体静止。该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μ max f F >，0=t 时物体开始运动。 ma mg F =-μ，1.13.02+=-= t m mg F a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a = dt dv a = Θ，adt dv =，??+=t v dt t dv 02 01.13.0 t t v 1.11.03+= 1=t s 时，)/(2.1s m v =
2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动，?其所受合力j t i t F ρ ρρ232 +=（SI ），0 =t 时，速度j v ρρ20=（SI ），位矢i r ρρ20=。求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2） 1=t s 时质点的速度和位矢。 解： j t i t m F a ρρρ ρ+==22 3 2 2 3t a x = ，00=x v ，20=x ?? =t v x dt t dv x 02 23，2 3t v x = ?? ?==t x t x dt t dt v dx 03 2 02，28 4+=t x t a y =，20=y v ，00=y ? ? =t v y tdt dv y 02 ，22 2 +=t v y ?? ?+==t y t y dt t dt v dy 02 0)22(，t t y 26 3+= （1）1=t s 时，)/(2 32s m j i a ρ ρρ += （2）j t i t v ρρρ)22(223++=，1=t s 时，j i v ρ ρρ2521+= j t t i t r ρρρ)26()28(34+++=，1=t s 时，j i r ρ ρρ6 13817+= 2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。
大学物理第二章质点动力学习题解答
第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' a T' a
第1～2章 质点的运动、第二章 质点动力学
第一章 质点的运动 1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。 解： cos ,sin x y dx dy v Rw wt v Rw wt dt dt v Rw = =-==-∴== 222 sin ,cos y x x y dv dv a Rw wt a Rw wt dt dt a Rw = ===∴== sin ,(1cos )x R wt y R wt ==- 222()x y R R ∴+-=轨迹方程为 质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率圆 周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω2 1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2 解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则 012132012221201112()0,2()/2()11 222 12 v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=- =-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝-kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e -kx . 解：取汽艇行驶的方向为正方向，则 020 0,,ln v x v kx dv dx a kv v dt dt dv dv kvdt kdx v v dv kdx v v kx v v v e -==-= ∴ =-=-∴=-=-∴=?? 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。 解：人前进的速度V 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，