2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）
1（甲）．如果实数a ，b ，c
||||a b b c ++可以化简为（ ）．
（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）
．如果2a =-111
23a
+
+
+的值为（ ）．
（A
） （B
（C ）2 （D
）2（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =
x
b
（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）
2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5
3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）
214a - （C ）12 （D ）1
4
3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．
（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5
4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．
（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8
5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）
． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p
5（乙）．黑板上写有1
11
123100
， ， ，
， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上
剩下的数是（ ）．
（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99
二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）
6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行
从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .
6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，
11110
9
a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b
+++++的值为 ．
7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .
7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交
圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x 的方程x 2+kx +
4
3k 2－3k +9
2= 0的两个实数根分别为1x ，2x 那么2012
2
20111x x 的值为
．
x
8（乙）．设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .
9（甲）. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .
9（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）
是三角形数．若a b c （，，）和111
a b c （，，）
均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a
c
的取值范围是 . 10（甲）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ， 交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的 长为 .
10（乙）．已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样
的n 的个数为 ．
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11（甲）．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程
2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于9
10
-
．求m 的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴负半轴上，点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上，
48,,sin 5
AO AB AC C ==∠AB =
。点D 在线段AB 上，连结CD 交y 轴于点E ，且COE ADE S S ??=。试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式。
12（甲）. 如图，⊙O 的直径为AB ，
1O 过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与1O 交
于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线
与1O 交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．
12（乙）．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： （1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB +AD = 2BD .
13（甲）. 已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值. 13（乙）．给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．
14（甲）. 求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足122012x x x <<< ，且
122012
122012
n x x x +++= . 14（乙）．将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， （可
以相同），使得b a c =，求n 的最小值．
参考解答
一、选择题
1(甲) .C
解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知
0b a c <<<，且b c >，
所以
||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．
解：
11
111
1
22
3a
+=+=
+
+
111
=+==
2（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤22
(1)(1)
x y
-+-≤2.
因为x y
，均为整数，所以有
2
2
(1)0
(1)0
x
y
?-=
?
?
-=
??
，
；
2
2
(1)0
(1)1
x
y
?-=
?
?
-=
??
，
；
2
2
(1)1
(1)0
x
y
?-=
?
?
-=
??
，
；
2
2
(1)1
(1) 1.
x
y
?-=
?
?
-=
??
，
解得
1
1
x
y
=
?
?
=
?
，
；
1
2
x
y
=
?
?
=
?
，
；
1
x
y
=
?
?
=
?
，
；
1
x
y
=
?
?
=
?
，
；
x
y
=
?
?
=
?
，
；
2
x
y
=
?
?
=
?
，
；
2
1
x
y
=
?
?
=
?
，
；
2
x
y
=
?
?
=
?
，
；
2
2.
x
y
=
?
?
=
?
，以上共计9对x y
（，）.
3（甲）．D
解：由题设知，1112
a a
b a b
<+<++<+，所以这四个数据的平均数为
1(1)(1)(2)342
44
a a
b a b a b
+++++++++
=，
中位数为
(1)(1)442
24
a a
b a b
++++++
=，
于是
4423421
444
a b a b
++++
-=.
3（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，
所以△BCD≌△ACE，BD = AE.
又因为30
ADC
∠=?，所以90
ADE
∠=?.
在Rt△ADE中，53
AE AD
==
，，
于是DE
4，所以CD = DE = 4.
解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得
2(2)2()x n y y n x n +=-??
+=-?，
，
消去x 得 (2y －7)n = y +4， 2n =
7
215
17215)72(-+
=-+-y y y . 因为
15
27
y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从
而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2330p q -->，即 39p q +<. 由于p q ，都是正整数，所以1p =，1≤q ≤5；或 2p =，1≤q ≤2，此时都有240p q ?=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意．
5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
012398910
36363636
p p p p =
===，，，，因此3p 最大． 5（乙）．C
解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则
111
1(11)(1)(1)(1)23100
x +=++++ ，
解得 1101x +=，100x =．
二、填空题
6（甲）．7＜x ≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.
由已知得
x －26≤487， x －80＞487.
解得 7＜x ≤19.
容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．
6（乙）.7
解：在910
111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++a
c b c b a b a c
7（甲）．8
解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以
2
1
AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以2
3
AN AF =.
在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以
AF ，
于是 cos AB BAF AF ∠=
=. 由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，
0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠= . 于是 cos AM AE BAF =?∠=
， 23MN AN AM AF AM =-=-=，
4
15
MND AFD S MN S AF ??==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ?=
??=，所以248
1515
MND AFD S S a ??==. 因为a =8MND S ?=.
7（乙）.
285
解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．
因为16OB =，所以
161248
205
OB OC OM BC ??=
==，
3664
55
CM BM ===，．
CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655
BM CM =-=
-28
5=． 8（甲）．3
2
-
解：根据题意，关于x 的方程有
?=k 2－4239
(3)42
k k -+≥0，
由此得 (k －3)2≤0．
又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +
4
9=0，解得x 1=x 2=3
2-.
故2012
2
20111x x =
2
1
x =23-．
8（乙）.1610
解：()()()
953
332422
222++=-+=+++-n n n n n n n n
因此4
5|(9)n +，所以)5(mod 14
≡n ，因此25k ,15±±=或k n
240252012??=÷
所以共有2012-402=1610个数
9（甲）．8
解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43.
又 (1)(2)
2
m m a b +++=
，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是
0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，
87≤(1)(2)m m ++≤130，
由此得 8m =，或9m =.
当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，55
22
a b a +>=，不合题设. 故8m =．
9（乙）.
1253≤<-c
a
解：依题意得：(1)
111(2)a b c b c a +>??
?+>??，所以a c b ->，代入（2）得
c a c c b a 1
1111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<
1，即a c a
c a c -<-，
化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 2
3()10a a c c ??
-+< ???
所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以
1≤c a 综合得1253≤<-c
a
另解：可令
a
k c
=，由（1）得(1)b k c >-，代入（2）化简得2310k k -+<，解得
k <<，另一方面：a ≤b ≤c ，所以1k ≤，
1k <≤．
10（甲）．
2
2
3 解：如图，连接AC ，BD ，OD .
由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD ,
所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此
BC BA
CF AD
=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是
2DE OE
DC OB
==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.
由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ?=?．因为3
22
BA AE BE BA ==，， 所以 3
2322
BA AD AD BA ?=
?，BA =22AD ，故
AD CF BC BA =
?
==10（乙）.12
解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22
由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数，即4n k =，
当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，），则：
2k p k p ==或，其中p 是素数，因此，k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、
4、9、25，从而这样的n 有12个。
三、解答题
11（甲）．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以
2
3420m m ?=+-+>（）（），
即
2
10m +>（），所以1m ≠-． …………（3分）
当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即
2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，
且 2
33(3)2m m ++++≤0，
解得m ≤5-．
…………（8分）
设方程()()2
320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关
系得()121232x x m x x m +=-+=+，．
因为
1211910x x +<-，所以121239
210
x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．
因此12m <-．
…………（15分）
11（乙）.解：因为sin ∠ABC =
4
5
AO AB =，8AO =， 所以AB = 10
．由勾股定理，得6BO =
=．
易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，． 由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△．
所以
1122BC n AO BO ?=?，11
12()8622n ?-=??． 解得 4n =-．
因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．
因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，
所以点E 的坐标为8
(0)3
-，．（也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得.）
设经过B ，C ，E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+． 将点E 的坐标代入，解得a =
27
2
． 故经过B ，C ，E 三点的二次函数的解析式为228273
y x =-．
12（甲）． 证明：连接BD ，因为OB 为
1O 的直径，所以
90ODB ∠=?．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形．
…………（5分）
设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=?．又因为OC OB =，所以
22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．
…………（10分）
又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以
△BOC ∽△1DO F ．
…………（15分）
12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等
的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠，
CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．
同理，CI = CB ．
故点C 是△IBD 的外心．
连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ， 所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．
故OI 是△IBD 外接圆的切线．
（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．
由 BC
CD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．
也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ?+?=?，再将22AC BC CD ==代入即得结论
2AB AD BD +=。
13（甲）．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是自然数）.
因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2， 所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，
(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2.
…………（5分）
（1）当1n ≥时，因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以 2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1.
解得 a =2(1)4m +，n =214
m -.
于是 b = a －m =2
14
m -（）
.
…………（10分）
又a ≥2012，即2
(1)4
m +≥2012.
又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥4
1)(892
+=2025.
当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 此时，a 的最小值为2025.
（2）当0n =时，因为a ≥2012，所以0b =，从而得a 的最小值为2017（素数）。 综上所述，所求的a 的最小值为2017。……（15分）
13（乙）.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°，则每个150°内角的外角
都等于30°，
而凸n 边形的n 个外角和为360°，所以360
1230
k ≤
=，只有当12n =时， k 才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论12n ≠时的情况：
（1）当12n >时，显然，k 的值是11；
（2）当3,4,5,6,7n =时，k 的值分别为1，2，3，4，5；
（3）当8,9,10,11n =时，k 的值分别为7，8，9，10. …………（10分）
综上所述，当37n ≤≤时，凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时，凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时，凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时，凸n 边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分）
14（甲）．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数，且122012x x x <<< ，所以
1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．
于是 122012122012
n x x x =
+++
≤122012201212
2012+++= ． …………（5分）
当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==?=? ，， ，，则
122012
122012
1x x x +++= . …………（10分）
当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k === ，， ，，
122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-?,，，则
1220121220121
(2012)2012k k x x x k
+++=+-?
- 1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为1
22012 ， ， ， ． …………（15分）
14（乙）.解：当16
21n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：
{}8
8
16
2322121+- ，
， ， ， ， 和{}8
4521- ， ， ， ．
在数组{}8
8
16
2322121+- ， ， ， ， ， 中，由于388216
3222
1<>-（，），
所以其中不存在数a b c ，
，，使得b a c =． 在数组{}
84521- ，
， ， 中，由于48
421>-，
所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．
不妨设2在第一组，若2
24=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设2
24=在第二组． 同理可设4
8
42=在第一组，8216(2)2=在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时b a c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =． 综上，162n =满足题设条件．
所以，n 的最小值为16
2．
（注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．）
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明：考试时间：60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=－2（x －1）2 －2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）。 A. （0，0） B. (1,－2) C. (0,－1) D.(－2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A ．(ab 4)4=ab 8； B.(－3pq)2 =－6p 2 q 2 C. x 2 － 21x ＋41=( x －2 1)2；D.3(a 2)3－6a 6=－3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3，直角三角形ABC 面积是S ，则它们之间的关系为（ ）. A. S= S 1＋S 2＋S 3 B. S 1= S 2＋S 3 C. S= S 1＋S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出，加出速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）. (A) 时间 速度 (B) 时间 速度 (C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分 的面积，验证了一个等式是（ ）. A. a 2 －b 2 =（a+b ）（a-b ） B. （a+b ）2 = a 2 +2ab+ b 2 C. （a-b ）2 = a 2 -2ab+ b 2 D.（a+2b ）（a-b ）= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k （k ﹤0）在同一坐标系中的图象是（ ）. 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 1 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=??++=?，，则222 ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）12- （B ）0 （C ）1 2 （D ）1 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ， 2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---= 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）． （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为： ()() 322333 3345 1160 x y x y xy x y x y +++*= +++-， 且()x y z x y z **=**，则2013201232**** 的值为（ ）． （A ） 607 967 （B ）1821 967 （C ） 5463 967 （D ） 16389 967 二、填空题 6 ．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． （第3题） （第4题） A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ） 答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是 2018年全国初中数学联合竞赛 笫一试 一、选择题(42分) 1.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a 、b 、c 的大小关系是( ) (A)a 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为（）． （A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B）2（C）2 （D） 22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y = x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x ＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b <<，那么 1121 a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次 2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ） 【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式； （2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式； （3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于 点D ，若CD =，则AB =（ ） （A ）2 （B （C ） （D ）3 【答案】（A ） 【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ） 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 20XX 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：20XX 年3月2日上午9:00--11:00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++= 20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?， 则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图） 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 ab be ca 二--(a 2 b 2 c 2)，所以 —bc —ca 2 a b c 【答案】B 1 a 2 ~~ , X 2 c 1 一 -2为两个实根的一兀 X 2 2 b — 2a c a 二次方程疋x 2 x 0 c c 2 2 Z1 2 2小 c x -(b -2ac)x a 0. 、选择题 1 ?设非零实数a , b , c 满足!a +2b +3c =°，则 a b +b c +c a 、 2a+3b+4c = 0, a 2 + b 2 + c 2 的值为（ ). (B ) 0 1 (C)- 2 (D) 1 【答 案】 【解答】 由已知得 a b c = (2a 3b 4c) - (a 2b 3c) = 0 , 2.已知 c 是实常数，关于x 的 元二次方程ax 2 bx c = 0有两个非零实根 X i , X 2，则下列关于 x 的一元二次方程中, 1 1 —2 , —为两个实根的是（ x 1 x 2 )? 2 2 2 (A ) c x (b 2 -2ac)x a -0 2 2 2 2 (B) c x 「(b 「2ac)x a -0 (C ) c 2x 2 (b 2 -2ac)x -a 2 =0 (D) c 2x 2 -(b 2 - 2ac)x-a 2 (a b c)2 =0 ?于是 【解答】由于ax 2 bx ? c = 0 是关于 元二次方程，则a = 0.因为x 1 x 2 X i X 2 c ,且 X 1X 2 = 0 ,所以 c = 0 a 1 丄 1 (% + x 22 — 2x 1 x 2 b 2 - r = -------- -------------------------------------------- ---- 2 2 X 1 x 2 于是根据方程根与系数的关系，以 3.如图，在Rt A ABC 中，已知O 是斜边 AB 的中点，CD 丄AB , (第 3 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交。 一．选择题（共5小题，每小题7分，共35分，每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组???????<-+->-+x t x x x 2 353 5 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.- <<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 11 6.-≤≤-t D 【分析】20232 353 5 2<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 211 6152314- ≤<-?<-≤t t ，本题选C 中国教育学会中学数学数学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级复赛试题及答案 3.已知关于x 的方程 x x x a x x x x 22222 --=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】 422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212 ===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212 =-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222 =-+-a x x ，2 70)4(84=→=--=?a a ，当21 ,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1 ,1,1-=x 共3个.本题选C ． 4.如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延 长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【分析】设ABC ?底边BC 上的高为h ，则 DE CF CF BC h 121244848= === ， ) (21 21212121h h DE h DE h DE S S BDE ADE +??=??+??=+?? 本题选D ．6122121=??=??=DE DE h DE 5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号 整除的概率是( )． 41.A 92.B 185.C 36 7 .D 【分析】9 2 368112 91 214==+++=C C C P 本题选B ． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6.设33=a ，b 是a 2 的小数部分，则 3)2+b （的值为 ． 【分析】考虑到33=a ，则3333333 2292,29,327982， 93=+-==<<===b b a 则 9)9()23 33==+b （ 7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的 数的和为3的倍数的概率是 ． 【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有612?，而总次数是666??次，则其概率为 3 1 666612=???= P . 全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ． １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 2019初中数学竞赛初赛试题 A级基础题 1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把 它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出1个小球，其标号大于2的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写 在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取1张，那么取 到字母e的概率为____________. 3.(2013年湖北宜昌)2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮 的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是( ) A.科比罚球投篮2次，一定全部命中 B.科比罚球投篮2次，不一定全 部命中 C.科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次，不命 中的可能性较小 4.(2013年福建福州)袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上 的区别.从袋中随机地取出1个球，如果取到白球的可能性较大，那么 袋中白球的个数可能是( ) A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上 5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片 正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________. 6.在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，它们除了 颜色之外没有其他区别. (1)随机地从盒中提出一子，则提出白子的概率是多少? (2)随机地从盒中提出一子，不放回再提第二子.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率. B级中等题 7.(2013年重庆)从3,0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 ________. 8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中为第一站的概率是________. 9.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1,2,3,4.小明先随机地摸出1个小球，小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x>y时，小明获胜，否则小强获胜. (1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率; (2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由. 10.(2012年江西)如图723，大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只，放置在地板上[可表示为(A1，A2)，(B1，B2)]. (1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只，再从两只右脚拖鞋中随机取出一只，求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率; (2)若从这四只拖鞋中随机地取出两 2013年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 2.满足等式() 22 21m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点 D ，若CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B （C ）（D ）3 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3 (2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为 初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足，则等于（）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）． 【答】A．解：因为△BOC ∽△ABC，所以，即，所以，． 由，解得． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）． （A）（B）（C）（D） 【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为 由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）． （A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组 【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时．2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)
2013年全国初中数学竞赛
全国初中数学竞赛试题及解答
2018年全国初中数学联合竞赛
全国初中数学竞赛试题及答案79416
2013年全国初中数学联赛试题及详解
2018年全国初中数学竞赛试题及解答
初中数学竞赛预赛试题及答案
2013年全国初中数学竞赛试题(含答案)
最新全国初中数学竞赛试题及答案
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛九年级复赛试题及答案
最新全国初中数学竞赛试题及答案
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
2019初中数学竞赛初赛试题
2013年全国初中数学联合竞赛试题及解析
2020年全国初中数学竞赛试题及答案