抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例
抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。
1．定义R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有
)()()(b f a f b a f =+，
（1）求证：1)0(=f ；
（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ； （3）证明：)(x f 是R 上的增函数；
（4）若1)2()(2>-?x x f x f ，求x 的取值范围。
2．已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠ （1）求证：()f x 为奇函数
（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值
解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)
（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0
∴g(-1)+g(1)=1
3．已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，.2)1(.0)(-= （2）求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； （3）解关于x 的不等式.4)()(2)(2 +<-ax f x f ax f 4．已知)(x f 在(－1，1)上有定义，f (2 1 )＝－1，且满足x ，y ∈)1,1(-有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1) （1）证明：)(x f 在(－1，1)上为奇函数； （2）对数列x 1＝ 21 ，x n ＋1＝212n n x x +，求f (x n ); （3）求证 25 2)(1)(1)(121++- >+++n n x f x f x f n (Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0 令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f ( 21 )＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (n n n n x x x x ?++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴ ) () (1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列 ∴f (x n )＝－2n － 1 (Ⅲ)解： )21 21211()(1)(1)(11 221-++++=+++n n x f x f x f 221 2)212(2112111 1->+-=--=---=--n n n 而2 2 12)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴ 25 2)(1)(1)(121++- >+++n n x f x f x f n 5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有 )()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+； （1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ?∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+； （3）若(0)1f =，对任意 ,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑ =<-n i i f 1 41 )13(12 . 证明：（1）由①知，对任意* ,,a b a b ∈ ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ??? ∴ f(2)-f(1)1≥ ∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证 （3）（3）由任意 ,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 21 )311(21311) 31 1(313 13131)13(121 <-=--=+???++=-∑ =n n n n i i f 6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足： （1）对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； （2）(1)3f = （3）若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. ①求(0)f 的值； ②求()f x 的最大值； ③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足* 12(3),n n S a n N =--∈. 求证：1231 12332()()()()2n n f a f a f a f a n -?+++ +≤+-. 解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤ 由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥ 22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴== (III) * 12(3)() n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1111133(2), 10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 11 1112113333333 ()()()()()23()4n n n n n n n n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333 ()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。 2211221 14144 144441 12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++ ++=+ 故1 1 3()2n n f a -≤+ 1213 1 3 1()1()()()2n n f a f a f a n --∴+++≤ +即原式成立。 7．对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． （1）若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； （2）判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； （3）若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =． 解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ． 又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ． （2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；- 也满足条件②1)1(=g ． 若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则 )]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③， 故)(x g 理想函数． （3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]， )()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴ 若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x = 8． 已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有 0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。 （1）求0x 的值； （2）若0()1f x =,且对任意正整数n ,有1 ( )12 n n a f =+, ,求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{b n }满足1log 22 1+=n n a b ，将数列{b n }的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下： 112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证： 123 111129 24 n c c c c ++++ < 。 解：(Ⅰ)令120x x ==，得0()(0)f x f =-，① 令121,0x x ==，得00()()(1)(0)f x f x f f =++，(1)(0)f f ∴=-，② 由①、②得0()(1)f x f =，又因为()f x 为单调函数，01x ∴= (Ⅱ)由（1）得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++， 1111(1)()()()(1),2222f f f f f =+=++111 ()0,()1122f a f ==+= 11111111111 ()()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+， 1111 ()1[()1],222 n n f f ++=+ 112n n a a +=，1 12n n a -??= ? ?? ， 1 112212121212n n n b og a og n -??=+=+=+ ? ?? (Ⅲ)由{C n }的构成法则可知，C n 应等于{b n }中的n 项之和，其第一项的项数为 [1+2+…+(n －1)]+1= 2)1(n n -+1，即这一项为2×[2 )1(n n -+1]－1=n(n －1)+1 C n =n(n －1)+1+n(n －1)+3+…+n(n －1)+2n －1=n 2(n －1)+2 )121(-+n n =n 3 31929 12824 +=< 当3n ≥时，322 111111 [](1)2(1)(1) n n n n n n n n n =<=---+ 3 3331111111111 11[] 234 822334 (1)(1) n n n n n ∴+ ++++ <++-++ -??-??+111111291[]18223(1)81224 n n <++-<++=??+ 解法2： 323 4(1)(2)0,4(1)n n n n n n n n --=-≥∴≥- 3333311111()4(1)411111111111 11()234842311111119291181648161624 n n n n n n n n n <=---∴+++++<++-+ + --<++-<++=< 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f xy f +=，已知 1)2(=. （1）求)2 1 (f 的值； （2）一个各项均为正数的数列{}n a 满足：)(1)1()()(+∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，是否存在正数M ，使 )12()12)(12(1222121-???--+≥?????n n n a a a n M a a a 对一切+∈N n 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）∵()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，∴(1)0f =. 再令12,2x y == ，有1(1)(2)()2f f f =+，∴1()(1)(2)011 2f f f =-=-=-，∴1()12f =- （2）∵()()(1)1n n n f S f a f a =++-11 [(1)]()[(1)] 22n n n n f a a f f a a =++=+, 又∵()f x 是定义域(0,)+∞上单调函数，∵0n S >，1(1)02n n a a +>，∴1(1)2n n n S a a =+ ……① 当1n =时，由1111(1)2S a a =+，得11a =，当2n ≥时，1111(1)2n n n S a a ---=+ ……② 由①－②，得11111 (1)(1)22n n n n n n n S S a a a a a ----=+-+=， 化简，得 22 11()0n n n n a a a a ----+=，∴11()(1)0n n n n a a a a --+--=， ∵0 n a >，∴ 110n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列. 11a =，公差1d =. ∴ 1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-?=，故n a n =. （3）∵12 2212 2!n n n n a a a n n ???=???=?，12(21)(21)(21)13(21)n a a a n ---=??- 令 1212221(21)(21) (21)n n n n a a a b n a a a ???= +---=2! 2113(21)n n n n ?+???-, 而 112(1)! 2313(21)(21)n n n b n n n ++?+= +???-+. ∴12(1)21(21)23n n b n n b n n +++=++2(1)(21)(23)n n n +=++=224841483n n n n ++>++， ∴ 1n n b b +>，数列{}n b 为单调递增函数，由题意n M b ≤恒成立，则只需min ()n M b ≤=12 3b = ， ∴ 23(0, ]3M ∈，存在正数M ，使所给定的不等式恒成立，M 的取值范围为23 (0,]3. 10．定义在R 上的函数)(x f 满足fxy fx fy f ()()()()++=+=11 20 ，，且x >1 2 时，)(x f <0。 （1）设a fnn N n =∈()()* ，求数列的前n 项和S n ； （2）判断)(x f 的单调性，并证明。 解：（1）f f f ()11212 11 =?? ???+?? ???-=- 令x =n ，y =1，则f n f n f f n ()()()()+=+-=-1112 所以，a a a n n 1112=--=-+， 故数列{}a n 是首项为－1，公差为－2的等差数列。 因此，()()S n n n n n =-+-?-=-·()112 22 （2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以 x x 21 121 2 -+> 于是f x x ()211 2 0-+< 又f x f x f x x ()()()2121 1-=-- =-+-=-+ 21211211 2 0 所以f x f x ()()21 <，而函数f （x ）在R 上是减函数。 11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数n m 、，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当x >0时，0<)(x f <1。 （1）求证：)0(f =1，且当x <0时，)(x f >1； （2）求证：)(x f 在R 上单调递减； （3）设集合{ } A x y f xf y f =>(,)|()()() 22 1·， {} B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=?，求a 的取值范围。 解：（1）令m=1，n=0，得f （1）= f （1）·f （0） 又当x >0时，0< f （x ）<1，所以f （0）=1 设x <0，则－x >0 令m=x ，n=－x ，则f （0）= f （x ）·f （－x ） 所以f （x ）·f （－x ）=1 又0< f （－x ）<1，所以f x f x ()() = ->1 1 （2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以0121 <- =-+=-· 又由已知条件及（1）的结论知f （x ）>0恒成立 所以 f x f x f x x ()()()2121=-所以0121 < （3）由)1()()(22f y f x f >·得：f x y f ( )()221+> 因为f （x ）在R 上单调递减所以x y 2 2 1+<，即A 表示圆x y 2 2 1+=的内部 由f （ax －y +2）=1= f （0）得：ax －y +2=0 所以B 表示直线ax －y +2=0 所以A B ∩=? ，所以直线与圆相切或相离，即2112 +≥a 解得：-≤≤3 3a 12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a 、b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ?=-++成立，且f ()00≠。 （1）求)0(f 的值； （2）试判断)(x f 的奇偶性； （3）若存在常数c >0使f c ()2 0=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。 解：（1）令a =b =0 则f （0）+ f （0）=2 f （0）·f （0） 所以2 f （0）·[f （0）－1]=0 又因为f ()00≠，所以f （0）=1 （2）令a =0，b =x ，则f （x ）+ f （－x ）=2 f （0）·f （x ） 由f （0）=1可得f （－x ）= f （x ） 所以f （x ）是R 上的偶函数。 （3）令a x c b c =+=22 ，，则 f x c c f x c c fx c f c +?? ???+??????++?? ???-????? ?=+?? ????? ? ??2222222· 因为f c 20?? ? ? ?=所以f （x +c ）+ f （x ）=0 所以f （x +c ）=－ f （x ） 所以f （x +2c ）=－ f （x +c ）= －[－f （x ）]= f （x ） 所以f （x ）是以2c 为周期的周期函数。 13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： （1）f x x f x f x f x f x ()()()()()12 12 21 1-=+-· （2）存在正常数a ，使)(a f =1求证：（1）)(x f 是奇函数； （2）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a 证明：（1）设t x x =-12 ，则 f t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t ()()()()()() ()()()()()()-=-= +-=- +-=--=-21211212211211 ·· 所以函数f （x ）是奇函数。 （2）令x a x a 122== ，，则f a f a f a f a f a ()()()()() =+-21 2· 即121 12= +-f a f a ()() 解得：f （2a ）=0 所以f x a f x f a f a f x f x fa fa f x f x ()()()()()()[()]()()()+= -+--=-+--=-22122121 ·· 所以() f x a f x a f x f x +=-+=--=4121 1() ()() 因此，函数f （x ）是周期函数，并且有一个周期为4a 。 14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=?，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01< >f x f x ()() 1 1 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<- 即f x ()为减函数。 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-2 2 恒成立，求k 的值。 16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时， ()0f x <。 （1）判断)(x f 的奇偶性，并加以证明； （2）试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； （3）解关于x 的不等式 2211 ()()()()22 f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥. 分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0 令y=-x ，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x 1＜x 2≤3，y=－x 1，x=x 2 则f(x 2－x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2)－f(x 1)，因为x ＞0时，f(x)＜0， 故f(x 2－x 1)＜0，即f(x 2)－f(x 1)＜0。 ∴f(x 2)＜f(x 1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减 ∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。 x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= －4006。 ⑶由原不等式，得 2 1 [f(bx 2) －f(b 2x)]＞f(x) －f(b)。 即f(bx 2)+f(－b 2x)＞2[f(x)+f(－b)] ∴f(bx 2－b 2x)＞2 f(x －b)，即f[bx(x －b)]＞f(x －b)+f(x －b) ∴f[bx(x －b)]＞f[2 f(x －b)] 由f(x)在x ∈R 上单调递减，所以bx(x －b)＜2(x －b)，∴(x －b)(bx －2) ＜0 ∵b 2≥2, ∴b≥2或b≤－2 当b ＞2时，b ＞ b 2，不等式的解集为? ???????b x b x 2| 当b ＜－2时，b ＜ b 2，不等式的解集为???? ?? ??b x b x x 2|或 当b=－2时，不等式的解集为{} R x x x ∈-≠且,2| 当b=2时，不等式解集为φ 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足： （1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； （2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()() ()() 1f m f n f m n f m f n ++=+ 试回答下列问题： ①试求()0f 的值； ②判断并证明函数()f x 的单调性； ③若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ?? ?? ????+++> ? ? ? ?++???????? ． 分析与解：（Ⅰ）在()()()()( )1f m f n f m n f m f n ++= +中，令0,0m n >=，则有()()()()() 010f m f f m f m f +=+．即：()()()()()100f m f m f f m f +=+????．也即：()()()2010f f m ??-=?? ． 由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()()2 10f m ??-≠?? ，所以()00f =． （Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知 ()()()()()1f m f n f m n f m f n ++= +，我们可以联想到：是否有()()() ()() 1f m f n f m n f m f n --=-？（＊） 这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立？ 为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于()00f =，所以，在 ()()()()() 1f m f n f m n f m f n ++= +中，令n m =-，得()() 0f m f m +-=．所以，函数()f x 为奇函数．故（＊）式 成立．所以，()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--????．任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故 ()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<．所以，()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=-- 函数()f x 在R 上单调递减． （Ⅲ）由于函数()f x 在R 上单调递减， 所以，函数()f x 必存在反函数()g x ， 由原函数与反函数的关系可知：()g x 也为奇函数；()g x 在()1,1-上单调递减；且当10x -<<时，()0g x >． 为了证明本题，需要考虑()g x 的关系式． 在（＊）式的两端，同时用g 作用，得：()()()()1f m f n m n g f m f n ?? --=? ?-?? ， 令()(),f m x f n y ==，则()(),m g x n g y ==，则上式可改写为：()()1x y g x g y g xy ??--= ?-?? ． 不难验证：对于任意的(),1,1x y ∈-，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了()g x 的关系式． 这个式子给我们以提示：即可以将 2131n n ++写成1x y xy --的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 事实上，由于 ()()()() ()() 2 1 1 1 1211 121 1131 121 111212n n n n n n n n n n n n - ++++= = = ++++-- -?++++???? ? ????? ， 所以，2 1113112g g g n n n n ?????? =- ? ? ?++++?????? ． 所以，211151131g g g n n ?? ?? ?? +++ ? ? ?++?? ?? ?? 1111112334121111122222g g g g g g n n g g g g g n n ?????? ????????????=-+-+- ? ? ? ? ? ??????? ++???????????????????????????? =-=+-> ? ? ? ? ?++?????????? 点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定()0f 的值． 18．已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f xy f =，且9)27(,1)1(==-f f ，当10<≤x 时， [)1,0)(∈x f 。 （1）判断)(x f 的奇偶性； （2）判断)(x f 在[)+∞,0上的单调性，并给出证明； （3）若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围。 分析：由题设可知f （x ）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f （x ）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。 解：（1）令y ＝－1，则f （－x ）＝f （x ）·f （－1），∵f （－1）＝1，∴ f （－x ）＝f （x ），f （x ）为偶函数。 （2）设，∴，， ∵时，，∴ ，∴f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在0，＋∞）上是增函数。 （3）∵f （27）＝9，又， ∴，∴ ，∵，∴， ∵ ，∴ ，又 ，故 。 19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0 )()()(y f x f y x f =+成立，数列{}n a 满足)0(1f a =，且)1 2(1 )(1+-= +n n n a a f a f （+∈N n ） （1）求证：)(x f y =是R 上的减函数； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）若不等式 01 21 )1()1)(1(21≤+-+???++n a a a k n 对一切+∈N n 均成立，求k 的 最大值． 解析：（Ⅰ）令 ，得 ， 由题意知，所以，故． 当时，，，进而得． 设且，则， ． 即，所以是R 上的减函数． （Ⅱ）由 得 ， 所以 ． 因为是R 上的减函数，所以， 即 ， 进而 ， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以 ， 所以 ． （Ⅲ）由 对一切n ∈N *均成立． 知 对一切n ∈N *均成立． 设， 知 且 又 ． 故为关于n 的单调增函数，． 所以，k 的最大值为 20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有 ()()()f mn f m f n =+，且f (2)=1. （1）求)4(f 的值； （2）如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围. 21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ； ②对任意x 、R y ∈，有y x f xy f )]([)(=；③.1)3 1 (>f 则 （1）求)0(f 的值； （2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数； （3）若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+ 9.解：解法一：（1）令2,0==y x ，得：2)]0([)0(f f = 1)0(0)0(=∴>∴f f （2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,3 1,3 12211p x p x ==则21p p < 21)]3 1 ([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=- )() ()(,1)3 1 (212 1x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函 （3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b a b f b c b f a f )]([)()(=?= b c b f b c b f c f )]([)()(=?= b c a b c b a b f b f b f c f a f +>+=+∴)] ([2)]([)]([)()( 而)(2)] ([2)] ([2222 22 b f b f b f b b a c c a b b b c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴ 解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有y x f xy f )]([)(= x f x f x f )]1([)1()(=?=∴………1分 ∴当0=x 时0)]1([)0(f f = ∵任意x ∈R ， 0)(>x f …………3分 1)0(=∴f （2）1)]3 1([)313()1(,1)31(3>=?=∴>f f f f x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数； (3) c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()( 而)(2)]1([2)]1([222222b f f f b b a c c a b c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴ 22．定义在区间),0(+∞上的函)(x f 满足：（1）)(x f 不恒为零；（2）对任何实数q x 、,都有)()(x qf x f q =. （1）求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根； （2）若1>>>c b a ,且c b a 、、成等差数列，求证：)()()(2 b f c f a f <； （3）（本小题只理科做）若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2 (2)()(n m f n f m f +==，求证： 322m <<+ 解：(1)取x=1,q=2,有 的一个根，是即0)(10)1()2()1(2=∴==x f f f f 若存在另一个实根 10≠x ，使得 ,0)()(),0(),0((0)(0101111==≠=+∞∈≠x qf x f q x x x x x f q 有成立，且对任意的10)(,0)0)(10==∴≡∴=x x f x f x f 有且只有一个实根与条件矛盾，（恒成立， （2）21,,1q q b c b a c b a ==>>>不妨设 ， ，则q 1>0，20q >∴)()()()()(22121b f q q b f b f c f a f q q ?=?=?，又a+c=2b, ∴ac-b 2 =2 ()04 a c --< 即ac< b 2 12 2 2121221,02,12q q q q b b q q q q ++?? ∴<∴<+<∴≤< ??? )()()(2b f c f a f <∴ (3).0)(),1(;0)()1,0(),0()(,0)1(>+∞∈<∈+∞=x f x x f x x f f 时，当时单调递增，当在 又).()(,0),()(),()(,)()(n f m f n m n f m f n f m f n f m f -=∴>>-==∴= 令m=b 1q ,n=2 q b ,b ,1≠且q 021≠q 则f(m)+f(n)=(q )21q +f(b)=f(mn)=0,22)(,10.12 ??? ??+=<<<=∴n m f m f m n mn 且 ??? ???????? ??+= ∴+==>+>22)(),2 (2)(,12,1n m f m f n m f m f mn n m m 2 2??? ??+=∴n m m 即4m=, 22 2n mn m ++2 2 24n m m =--∴,由0 <-- 223+<<∴m 23． 设)(x f 是定义域在[]1,1-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （1）求证)(x f 在[]1,1-上是减函数； （2）如果)(c x f -，)(2 c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围； （3）证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2 c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域. 解：（1）∵奇函数)(x f 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意]11[21，、-∈x x 且21x x ≠有 0x x ) x (f )x (f 2 121<-- 从而21x x -与)()(21x f x f -异号 ∴)(x f 在]11 [，-上是减函数 （2） )(c x f -的定义域为]11 [+-c c ， )(2c x f -的定义域为]11[22+-c c ， ∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有： 112 +>-c c 或112 -<+c c 解得：2>c 或1- ->+c c 恒成立 由(2)知：当2c 1≤≤-时 112+≤-c c 当2c 1≤≤或0c 1≤≤-时 112 +≥+c c 且 112 -≥-c c 此时的交集为]1,1[(2 +-c c 当10< 112+<+c c 且 112 -<-c c 此时的交集为]1, 1[2+-c c 故2c 1≤≤-时，存在公共定义域，且 当0c 1≤≤-或2c 1≤≤时，公共定义域为]1, 1[(2 +-c c ； 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 抽象函数补充练习题 1.已知函数)12(+x f 的定义域为()+∞,1，求)(x e f 的定 义域_________. 2.设函数)(x f 满足()01(2)(≠=-x x x f x f ，求)(x f 的值域____________. 3.已知定义在R 上的函数)(x f 在区间()2,∞-上单调递减，在区间()+∞,2上单调递增，求)lg (x f -的单调增区间____________和单调减区间_____________. 4.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减，0)2(=f ，则 0)1(>-x f 的解集为_____________. 5.若偶函数)(x f 在()+∞,0上是减函数，且0)2(=f ，则不等式 0) ()(>-+x f x f 的解集为____________. 6.已知)(x f 是定义在()1,1-的奇函数，且)(x f 在[)1,0上是减函数，如果0)32()2(>-+-m f m f ，那么实数m 的取值范围为____________. 7.已知函数)(x f 定义域为R 且在R 上是增函数， ()()2,3,2,0B A -是其图像上的两点，那么2 )1(<+x f 的解集为______________. 8.已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 的奇函数，且在()∞+，0上为增函数，0)2(=-f ，则不等式0)( 含导函数的抽象函数的构造 1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =- 例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则 ()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞， 【答案】B 【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意 R x ∈，()2f x '>， 所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数， 又由于()()()112140G f -=----?=，所以()()240G x f x x -->=， 即()24f x x >+的解集为()1-+∞，．故选B ． 2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造 ()()f x h x x = 例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞， ()()0f x xf x '+<成立，()0.20.2 22a f =，()log 3log 3b f π π=，()33log 9log 9c f =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数． 因为()()()xf x f x xf x ''=+????，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+ 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 抽象函数经典综合题３3例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答） 1.定义在R 上的函数ｙ=ｆ(x)，f(0)≠0，当x ＞０时,f(x)>1，且对任意的a 、ｂ∈Ｒ，有f(a+b ）=f(a)f(b), （1）求证：ｆ(0)=1; （2）求证:对任意的x ∈Ｒ,恒有f(x)>0; (3)证明：ｆ(x)是R 上的增函数; （4)若f(x)·f(２x-ｘ２ )>1，求x 的取值范围。 解 (１)令a=ｂ=0，则ｆ（０）=[f(０)]2 ∵f(0)≠0 ∴ｆ（０)＝1 (２)令ａ=x ，b=-x 则 ｆ(0)=f(x)ｆ（－x ） ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>０时，f(x ）>1>0,当x ＜0时,－ｘ>0,f （－x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0）=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 （3)任取x 2>x 1，则ｆ(x ２)>０,f(ｘ1)＞0，x ２-ｘ1＞0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f （x 1) ∴f(x ）在R 上是增函数 (4)ｆ(x)·f(2ｘ-ｘ2 )=f[x+(2ｘ-x ２ )]=f(－ｘ2 ＋3ｘ）又1=f （0)， ｆ(ｘ)在Ｒ上递增 ∴由ｆ(3ｘ-x 2 )＞f(0）得:3x-x 2 >0 ∴ 0＜ｘ<3 ２．已知函数()f x ,()g x 在 R 上有定义，对任意的,x y R ∈有 ()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠ (1）求证:()f x 为奇函数 （2)若(1)(2)f f =, 求(1)(1)g g +-的值 解（1）对x R ∈,令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=ｆ（v)g(u ）-ｇ(v)f(u ）=ｆ(u-v)=-[f(u ）g （v ）- g(ｕ)f(v ）］=－f(x) ? ? ?? ? (2）ｆ（2）=f{1－(-1)}=f （1)g （-1）-g(1)ｆ（-１)=ｆ(1)ｇ(-1)+ｇ(1)f(１)=f （１)｛g （-１）+g(1)} 数学练习题抽象函数(含答案) 高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m ) 6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ， 当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成 立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴ lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=? -- 二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 , 填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不 二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； 经典习题1 1. 若函数 (21)f x +的定义域为31,2? ?- ?? ?,则函数2(log )f x 的定义域为 ( ) A. 1 ,22?? ??? B. 1,22?????? C. 12? ? D.12 ??? 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A ．102 B ．99 C ．101 D ．100 3. 定义R 上的函数 ()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f = +== 且则（ ） A B ．2 C ．4 D ．6 4. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。若 2(1)(1)0 f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 ___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都 有: ()()() f xy f x f y =+成立.则不等式 2(log )0 f x <的解集是 _____________________. 6. 已知函数 () f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 ,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1),(1)f f f -的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; 二次函数综合题训练题 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交 于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上. (1 )求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次 函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由? 2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过 点B作BC// x轴交该抛物线于点 C. (1) 求这条抛物线的函数关系式? (2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S. ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； ③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由 图3 4 3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 3 点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； 3 （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 2 按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式? （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式■ ②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ ③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周 长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由. A O E B x 图5 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - / 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数练习题
含导函数的抽象函数的构造
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