初二 1.1全等图形 1.2全等三角形 1.3全等三角形的判定 学生版

全等形与全等三角形

1.1全等形 1.2全等三角形 1.3全等三角形的判定

一、学习目标

1.掌握全等三角形的有关概念、性质和判定.

2.能利用全等三角形的的概念、性质及判定进行计算和证明.

二、考纲要求 A B C D 全等三角形及其判定和性质.√三、知识点

知识点1 全等形与全等三角形

1.全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

2.全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.

知识点2 全等三角形的表示

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。在书写三角形全等时，应注意对应顶点的字母要写在对应位置上.

如图，两个全等三角形的对应顶点分别是A和A1,B和B1,C和C1，则应写完△ABC≌△A1B1C1或△BCA≌△B1C1A1等.

知识点3 全等变换

全等变换是指只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.

如图①，把△ABC沿直线BC移动线段BC的距离，可以变到△ECD的位置；

如图②，以直线BC为轴可以把△ABC翻折，可以变到△DBC的位置；

如图③，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置.像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换.

在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素.

以上三种全等变换分别叫做平移变换、翻折变换和旋转变换.

知识点4 全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等.

（2）全等三角形的对应角相等.

知识点5 全等三角形的判定（重点）

1.边边边定理

三角形对应的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。

书写格式为：

如图，在△ABC和△A'B'C'中，

AB=A'B' ,

BC=B'C'

AC=A'C'

∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）。

利用“边边边”来证明三角形全等时，一定要找准对应边，并且要找出隐含条件，如公共线段（包括公共边），中线等。

2.边角边定理

两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。

书写格式为：

如图，在△ABC和△A'B'C'中，

AB=A'B'

∠BAC=∠B'A'C'

AC=A'C'

∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）

运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角，要注意隐含的等角，如等角、公共角、对顶角、角平分线等；在书写“SAS”的格式时，要按照“SAS”的顺序书写，以表明三个元素的位置关系；“SSA”不能证明两个三角形全等。

3.角边角定理

两角及夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。

书写格式为：

如图，在△ABC和△DEF中，

∠B=∠E，

BC=EF，

∠C=∠F,

∴△ABC≌△DEF(ASA)

4.角角边定理

两角及其中一个角的对应边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。

书写格式为：

如图，在△ABC和△A'B'C'中，

∠B=∠B',

∠A=∠A',

AC=A'C'，

△ABC≌△A'B'C'（AAS）

“AAS”是由“ASA”推导出来的，将两者结合起来可知：两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等。

5.斜边、直角边定理

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

书写格式为：

如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，

AB=A'B',

BC=B'C',

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）

四、全等三角形的总结/解题口诀

一般三角形的判定方法

1.定义法：能够完全重合的两个三角形全等

2.SAS：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等

3.ASA：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等

4.AAS：两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

5.SSS:三条边对应相等的两个三角形全等

直角三角形的判定方法定义法；2.SAS；3.ASA；4.AAS；5.SSS；6.HL

不能判定三角形全等的两种

情况

1.SAS：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

2.AAA：有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

三角形全等添加辅助线口诀

几何难在辅助线，把握定理和概念；找出规律凭经验，添加辅线也不难；

图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对折一看关系现；

五、吃透考点（点滴积累，成竹在胸）

考点1：全等三角形对应边、对应角的确定方法

1．（2014秋?禹州市期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）

A．AB=AC B．∠BAD=∠CAE C．BD=CE D．AD=DE

【考点】全等三角形的性质．

考点2：利用全等三角形的性质证明线段、角相等的方法

1．（2012?武汉）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

【考点】全等三角形的判定与性质．

角平分线

+

平行线，等腰三角形必呈现；角平分线加垂线，三线合一试试看；

线段垂直平分线，常向两边把线连；要证线段倍与半，延长缩短可试验；

等腰直角三角形，三垂直图试试看；三角形中有中线，倍长中线全等现；

2．已知：如图，AB∥DC，AB=DC，O是DB上一点，过点O的直线分别交DA和BC的延长线于点E、F．求证：∠E=∠F．

【考点】全等三角形的判定与性质．

考点3：利用全等三角形的性质解决实际问题的方法

1．（2012?柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）

A．PO B．PQ C．MO D．MQ

【考点】全等三角形的应用．

考点4：全等三角形的判定方法的合理选择

1．（2015秋?泉港区期中）已知：Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB．

（1）请找出图中其他的全等三角形；

（2）求证：CD=EB；

（3）求证：CF=EF．

【考点】全等三角形的判定与性质．

考点5：利用“倍长中线”构造全等的方法

1．（2009?盐都区二模）（1）如图1，在△ABC中，绕点C旋转180°后，得到△CA′B′．请先画出变换后的图形，写出下列结论正确的序号是．

①△ABC≌△A′B′C；

②线段AB绕C点旋转180°后，得到线段A′B′；

③A′B′∥AB；

④C是线段BB′的中点．

在（1）的启发下解答下面问题：

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，D是BC的中点，射线DF交BA于E，交CA的延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF？（直接写出结果，不证明）

（3）如图3，在△ABC中，如果∠BAC≠120°，而（2）中的其他条件不变，若BE=CF的结论仍然成立，那么∠BAC与∠F满足什么数量关系（等式表示）并加以证明．

【考点】旋转的性质；中心对称．

考点6：“截长补短”的应用方法

1．（2008秋?台儿庄区期中）已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

考点7：解探索开放性问题的方法

1．（2013秋?怀柔区期末）已知：四边形ABED中，AD⊥DE、BE⊥DE．

（1）如图1，点C是边DE的中点，且AB=2AD=2BE．判断△ABC的形状：（不必说明理由）；

（2）保持图1中△ABC固定不变，将直线DE绕点C旋转到图2中所在的MN的位置（垂线段AD、BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．（2）中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．

五、过关训练（常考题+易错题）

1. （2015秋?永春县期中）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去，这样做根据的三角形全等判定方法为（）

A．S．A．S．B．A．S．A．C．A．A．S．D．S．S．S．

2. （2003?烟台）在如图所示的4×4正方形网格中．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=_______度．

3．（2008?台湾）如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70°，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50°，则下列叙述何者正确（）

A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等

C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等

4．（2014秋?海拉尔区校级期中）如图，△ABC中，∠1=∠2，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS=AR；

②QP∥AB；③△BRP≌△QSP，（）

A．全部正确 B．①和②正确C．仅①正确 D．①和③正确

5. （2013春?沧浪区校级期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论中正确的有（）

①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．

A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑥ D．①②③④⑤⑥

6. （2010秋?湛江校级期中）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF．

7. （2010?南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；

（2）AB∥CD．

8．（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．

9．

（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

10．（2013秋?丰城市校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．

11、（2015秋?湖北期中）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C两点重合），连接AD，作∠ADE=40°，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；

（2）当△ABD≌△DCE时，求CD的长；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA=110°时，请判断△ADE的形状，并证明之．

六、闭关修炼（综合题+中考题）

1 .（2015秋?无棣县校级期中）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：△BCE≌△CAM．

2．（2015秋?南宁校级月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求：∠BCE．

（2）如图2，当点D在线段BC上移动，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

3．（2014?讷河市校级模拟）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；求CF，BC，CD 三条线段之间的关系．

4．（2013?微山县模拟）如图1、图2、图3，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE、CD相交于点O．如图4，AB、AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外所作正n（n为正整数）边形的一组邻边．BE、CD的延长相交于点O．图1中∠BOC= °；图4中∠BOC= °（用含n的式子表示）．

5.（2012春?吉州区期末）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：DG=DC；

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

5．（2014春?西安校级期末）如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：

（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？

（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．

（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA 大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．

6．（2012?饶平县校级模拟）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．

（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．

（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）

7．（2013秋?门头沟区期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=24厘米，∠ABC=∠ACB，BC=16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．

8．（2015春?金堂县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．

9．（2013?南开区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CBO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构成一个三角形，在计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而等到的△BCE即时以AD、BC、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．

（I）请你回答：图2中△BCE的面积等于2．

（II）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3．