2017届二轮复习 “12+4”限时提速练(四)专题卷 (全国通用)

“12＋4”限时提速练(四)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i

1－i 是实数，则a 的值为( )

A ．－4

B ．2

C ．－2

D ．4

2．已知函数f (x )＝?

????log 2x ，x ＞0，

x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )

A ．－1或2

B ．2

C ．－1

D ．－2

3．已知集合A ＝????

??

x ??3x ＜1，集合B ＝{y |y ＝t －2t －3}，则A ∩B ＝( )

A ．(－∞，2]

B ．(3，＋∞)

C ．[2，3)

D ．(0，3)

4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 016的值为( ) A ．3 B ．1 C.1

3

D ．32 015 5．已知x ，y 满足不等式组?????x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0.则目标函数z ＝????12x

×4y 的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝2cos 2x 的图象，那么φ可以取的值为( )

A.π2

B.π

3 C.π

4 D.π6

7．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( )

A ．f (x )＝sin x

B ．f (x )＝e x

C ．f (x )＝ln x ＋x ＋2

D ．f (x )＝x 2

8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A.π3

B.2

3 C ．π D.4π3

9．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1，0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )

A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2

10．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为1

2

，那么这4位同学得分之和为0的概率为( )

A.1164

B.34

C.38

D.1116

11．已知A 1，A 2分别为双曲线x 24－y 2

9＝1的左、右顶点，P 为双曲线上第一象限内的点，

直线l ：x ＝1与x 轴交于点C ，若直线P A 1，P A 2分别交直线l 于B 1，B 2两点，且△A 1B 1C 与△A 2B 2C 的面积相等，则直线P A 1的斜率为( )

A.

33 B.12 C.32 D.13

12．已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －

x ，若f (0)＝1，则函数f ′（x ）f （x ）的取

值范围为( )

A ．[－1，0]

B ．[－2，0]

C ．[0，1]

D ．[0，2]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝

3

3

，则cos 2α＝________. 14．已知????x ＋1

2x n

的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x 4的系数为________．

15．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1

的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．

16．设f 1(x )＝2

1＋x ，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2

，则a 2 017＝________.

答 案

一、选择题

1．解析：选D 依题意，复数2i －a i

1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，

因此4－a ＝0，a ＝4.故选D.

2．解析：选A f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，

当a ＞0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.

3．解析：选B 由3

x ＜1，得x －3x ＞0，因而x ＞3或x ＜0，即A ＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，

设m ＝t －3≥0，则t ＝m 2＋3，因而y ＝m 2＋3－2m ＝(m －1)2＋2，所以B ＝[2，＋∞)，从而A ∩B ＝(3，＋∞)，故选B.

4．解析：选C 由已知，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 1a 3＝a 2，从而a 3

＝3，又a 2a 4＝a 3，∴a 4＝1，同理a 5＝13，a 6＝1

3，a 7＝1，a 8＝3，那么数列{a n }为周期数列，

且周期为6，∴a 2 016＝a 6＝1

3

，故选C.

5．解析：选A 通过不等式组????

?x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0

作出可行域如图中阴影部分所示，

其中A (1，2)，B ????0，53，求z ＝????1

2x

×4y ＝22y －x 的最小值，可转化为求2y －x 的最小值，当x ＝y ＝0时，2y －x 取得最小值0，则z ＝???

?12x

×4y

的最小值为1，故选A. 6．解析：选C 将y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1的图象，此时y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1＝2cos 2x ，即sin[2(x ＋φ)]＝cos 2x ，因而2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，那么，由选项可知φ可以取的值为π

4

，故选C.

7．解析：选C 当输入f (x )＝sin x 时，由于是奇函数，因而执行输出“是奇函数”，然后结束；当输入f (x )＝e x 时，f (x )＝e x 不是奇函数，但恒为正，因而输出“非负”，然后结束；当输入f (x )＝ln x ＋x ＋2时，f (x )＝ln x ＋x ＋2既不是奇函数，又不恒为非负，因而输出该函数；而当输入f (x )＝x 2时，由于f (x )＝x 2是偶函数，且非负，因而输出“非负”．故选C.

8．解析：选C 由已知三视图，可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体，即如图所示的下半部分，则其体积为圆柱的一半，因而V ＝1

2

×π×12×2＝π.故选C.

9．解析：选A 因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.

圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|

2

＝2，

弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为1

2

， 所以S △OAB ＝12×22×1

2

＝1.

10．解析：选A 每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 24种可能；4人中1人选甲类对或

错，另3人选乙类全错或全对，有2C 1

4种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 24×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 24种可能．共有C 24＋2C 14＋

C 2

4×2×2＋C 24

＝44种情况，因而所求概率为P ＝44256＝1164

，故选A. 11．解析：选B 法一：由已知，显然直线P A 1的斜率存在，故可设直线P A 1的方程为

y ＝k (x ＋2)，由已知k ＞0，则由?

????y ＝k （x ＋2），x 24－y 2

9＝1得(9－4k 2)y 2－36ky ＝0，易知9－4k 2≠0，

因而P ? ??

??18＋8k 2

9－4k 2，36k 9－4k 2，所以kP A 2＝94k ，则直线P A 2的方程为y ＝94k (x －2)，直线P A 1，P A

2

与直线l 分别交于B 1(1，3k )，B 2????1，－94k ，因而12×3×3k ＝12×1×94k ，得k ＝12

. 法二：由已知，P 为双曲线x 24－y 29＝1上的点，则kP A 1·kP A 2＝9

4，又直线P A 1的方程为

y ＝kP A 1(x ＋2)，交直线l 于B 1(1，3kP A 1)，

直线P A 2的方程为y ＝kP A 2(x －2)，交直线l 于B 2(1，－kP A 2)，由于P 为第一象限内的点，因而kP A 1＞0，则12×3×3kP A 1＝12×1×kP A 2，即9k

2P A 1＝kP A 1kP A 2，从而kP A 1＝12，

故选B.

12．解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －

x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，

∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1， ∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2

e x

，

∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x

x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）

＝－1， 当x ≠0时，2x x 2＋1

＝2x ＋1x ∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，

从而f ′（x ）f （x ）

的取值范围为[－2，0]，故选B.

二、填空题

13．解析：将sin α＋cos α＝

33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－2

3

，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝5

3，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，

所以－sin α＋cos α＝－

153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cos α＋sin α)＝－53

. 答案：－

53

14．解析：????x ＋1

2x n

的展开式中前三项的系数分别为C 0n ， C 1

n ×12

，C 2n ×

????122

，由已知得C 0n ＋C 2n ×????122

＝2C 1n

×12

，解得n ＝8，????x ＋12x 8

的展开式的通项

T r ＋1＝C r 8x

8－r

×???12x r

＝C r 8x 8－2r ×???

?12r

，令8－2r ＝4，得r ＝2，因而展开式中x 4的系数为C 2

8

×????122

＝7.

答案：7

15．解析：由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2

＋y 21

2

＝1，设A (x 0，y 0)

是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，

解得x 2

0＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43

. 答案：43

16．解析：由题意得f 1(0)＝

21＋0＝2，a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14＝12

2；f 2(0)＝f 1(f 1(0))＝f 1(2)＝2

3，

a 2＝f 2（0）－1f 2（0）＋2＝－18＝－1

23；f 3(0)＝f 1(f 2(0))＝f 1????23＝65，a 3

＝f 3（0）－1f 3（0）＋2＝116＝124；同理可推出a 4＝－125，a 5＝126，a 6＝－127，…，由此可得a n ＝(－1)n ＋

112

n ＋1(n ∈N *)，所以a 2 017＝122 018.

答案：1

2

2 018