一元二次方程根与系数关系
1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2
111x x + ；x 2
1+x 2
2= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根
是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为9
13，那么常数项应改为 。 12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α
、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程
为 。(其中二次项系数为1)
14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x
2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。 18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程
为 。
21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
23、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
24、证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)，
那么另一个根必是A －B 。
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大? 0362)2(,053)1(22=+-=--x x x 26、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： x 31x 2+x 1x 32
27、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2
2
21x 1x 1+ 28、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (x 21－x 22)2
29、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 1－x 2
30、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 1
2
2x x 31、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： x 5
1·x 2
2+x 2
1·x 5
2
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+
6和2－6。 33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 34、造一个方程，使它的根是方程3x 2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。
35、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；
(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x 的方程2x 2－(m －1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1－x 2=1，求m 的值及两个根。
37、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足10091)1)(1(=---βα，求m 的值。
38、已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：
(1)两根互为倒数；
(2)两根互为相反数；
(3)有一根为零；
(4)有一根为1；
(5)两根的平方和为
641。 39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－(m －2)x －16=0有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。
40、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a 的值。
41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求
b 、
c 的值。
42、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4的值。
43、试确定使x 2+(a －b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。
44、已知一元二次方程(2k －3)x 2+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，
求
当k 取何整数时，方程有两个整数根。
45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。
46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，
求常数p 、q 的值。，
47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的
两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。
48、关于x 的方程m
2x 2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x 2+2(a+m)x+2a －m 2+6m －4=0有大
于0且小于2的根。求a 的整数值。
49、关于x 的一元二次方程3x 2－(4m 2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，
求m 的值。
50、已知：α、β是关于x 的二次方程：(m －2)x 2+2(m －4)x+m －4=0的两个不等实根。
(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m 的值。
51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等，方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x 2－(k+n)x+(k －m)=0一定有实数根。 52、关于x 的方程22n 4
1mx 2x +-=0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 (1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2(x 1≠x 2)，在数轴上，
表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。
54、已知关于x 的一元二次方程ax 2
+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+
β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－
1)2+(β－1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x 2－2nx+8m=0的两根相等(mn ≠0)。求
证：对任意实数k ，方程mx 2+(n+k －1)x+k+1=0恒有实数根。 57、(1)方程x 2
－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足 。 58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x 2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x 2－2x －1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x 2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x 2+5x=0。
62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。
63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx 的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。
64、设x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x 1－4)(x 2－4)；
(2)x 13x 24+x 14x 23； (3)???
? ?????? ??
+12213131x x x x ； (4)x 13+x 23。
65、设x 1，x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根，求｜x 1－x 2｜的值。
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7， 求m
和n 的值。
67、以2，－3为根的一元二次方程是
( ) A.x 2+x+6=0 B.x 2+x －6=0
C.x 2－x+6=0
D.x 2－x －6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x 2－2x+3=0
B.3x 2+2x －3=0
C.3x 2－6x －9=0
D.3x 2+6x －9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是
( )
A.x 2+2x －3=0
B.x 2－2x+3=0
C.x 2+2x+3=0
D.x 2－2x －3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ， 以213-，2
13+为根的一元二次方程为 ， 以5，－5为根的一元二次方程为 ， 以4，4
1为根的一元二次方程为 。 71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。 72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方
程 ，使它的两个根分别是：
(1)a+1.b+1 (2)
b
a a
b 2,2
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为27
cm 2，求这个直角三角形斜边的
长 。
74、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?
75、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
76、若分式1
322+--x x x 的值为0，则x 的值为 ( ) A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或1
77、若关于y 的一元二次方程y
2
+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( ) A.m=0且n ≥0 B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0 D.n=0且m ≤0
78、已知x 1，x 2是方程2x 2+3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(2x 1－3)(2x 2－3)；
(2)x 13x 2+x 1x 23。
79、已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。
80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
81、已知m 2+m －4=0，04112=-+n n ，m ，n 为实数，且n m 1≠，则n
m 1+= 。
82、两根为3和－5的一元二次方程是
( )
A.x 2－2x －15=0
B.x 2－2x+15=0
C.x 2+2x －15=0
D.x 2+2x+15=0
83、.设x 1，x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x 12+2)(x 22+2)；
(2)(2x 1+1)(2x 2+1)；
(3)(x 1－x 2)2。
84、.已知m ，n 是一元二次方程x
2－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n 2+2m 的值。
85、已知方程x 2+5x －7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b 2=9ac 。
87、.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。
88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0。(1)证明：不论a 取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a 为何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0。(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?
90、已知关于x 的方程x
2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x
2+ax+b=0的两根为x 1，x 2，且4x 1+x 2=0，又知根的判别式?=25，求a ，b 的值。
92、已知一元二次方程8y 2－(m+1)y+m －5=0。(1)m 为何值时，方程的一个根为零?(2)m 为何
值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。
93、当m 为何值时，方程3x 2+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s 2+4s －7=0，7t 2－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值： (1)
t
st 1+；; (2)t s st 323+-。 95、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根，且x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3，52222
21=+x x ，求m 和n 的值。
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题（1） 一、 填空： 1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2 221x x += . 11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ， 若两根互为倒数，则k = . 13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则 （1）1x 2+2x 2= _； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x _ _； （4）)1)(1(21++x x = . 二、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++12 21221x x x x （ ）
届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题测试含答案
精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习 一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题 1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2B．1C．－2D．－1 2 3 4.p，q 5．) 6.2的值为( A．－1B．9C．23D．27 7.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( ) A．x2＋3x－2＝0B．x2＋3x＋2＝0 C．x2－3x－2＝0D．x2－3x＋2＝0 8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－
6，则a的值为( ) A．－10B．4C．－4D．10 9.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( ) A．－3B．5C．5或－3D．－5或3 10.2 x1x2 11. 12.＋n＝ 13. 14. 15. 16. 17. (1)求m的取值范围； (2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值． 18.关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若
不存在，说明理由． 19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x2＋2x＋1＝0; (2)3x2－2x－1＝0； (3)2x2＋3＝7x2＋x; 2 20. (1) (2) 21. (1) (2) 10. 11. 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x2－10x＋9＝0 17.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理得：4－4m＋4
根与系数的关系练习题(优推内容)
一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0
在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
初三数学根与系数关系练习题精选
初三数学根与系数关系式习题精选 一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3） 112112+++x x x x （4）||21x x -
（5）)31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + （7） 21x x 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足022 21=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0
在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x -
根与系数的关系习题
一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0一元二次方程根与系数的关系培优练习
一元二次方程根与系数的 关系培优练习 Last revision on 21 December 2020
一元二次方程培优综合练习 1、关于x 的代数式28x mx m +++是一个完全平方式．求m 的值． 2、Rt ABC △中，°=90C ∠，,a b 是方程2530x x -+=的两个根，求Rt ABC △的斜边上的中线的长． 3、已知ABC △中，AB=AC=m ,BC=n ． 求证：关于x 的方程22480x mx n -+=一定有两个不相等的实数根． 4、已知a b c 、、是ABC △的三边长，且关于x 的方程()2212(1)0b x ax c x --++=有两个相等的实数根． 求证：ABC △是直角三角形． 5、已知a b c 、、是ABC △的三边长，方程()()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等的实数根． 求证：ABC △是正三角形． 6、已知a b c 、、是ABC △的三边长， a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=的两根． ①判断ABC △的形状． ②若53a c =，求a b c 、、的长． 7、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，8=13ABC ABCD s s △梯形，梯形的高 = 2AE ，且1113+=40 AD BC ． ①求B ∠的度数． ②设M 为对角线AC 上的一点，DM 的延长线与BC 相交于一点F ，当 ABC s △时，求CF 和DF 的长． 8、已知关于x 的方程()()2 22120x a x b ---+=有两个相等的实数根．求20143 a b +的值．
一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)
一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
一元二次方程根与系数关系经典例题与练习
一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程 01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3） 1121 12+++x x x x （4）||21x x -
（5） )31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程 012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根 是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。 11、已知关于x 的方程 04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.
根与系数的关系练习题 (1)
一元二次方程根与系数的关系练习题 一．选择题（共14小题） 1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（） A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12 4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3 5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1 6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2 7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（） A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2 8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（） A．365 B．245 C．210 D．175 9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为（） A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8 10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
初三数学根与系数关系练习题
一元二次方程根的判别式与根与系数的关作业题 一、选择 1、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程 （ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、有实根 2、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( ) （A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn 3、若a x x ++3142为完全平方式，则a 的值为 （ ） A 61 B 121 C 361 D 144 1 4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1 5、两根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 6、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??? ??2 2，则方程的两根 之比为 （ ）
A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3 7、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为 （ ） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3 二、填空： 8、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中， 无实根的方程是 。 9、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。 10、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ； 11、以1313－和+的根为方程是______________。 12、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。 三、解答 13、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案） 一．选择题（共22小题） 1．（2014?宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．（2014?昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（） A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．（2014?南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A．10 B．9C．7D．5 5．（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．（2014?烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（） A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014?攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）
A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1 8．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．（2014?长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．0 10．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 11．（2014?江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（） A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．（2014?峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（） A．19 B．18 C．15 D．13 13．（2014?陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（） A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1 14．（2013?湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A．﹣1 B．9C．23 D．27
根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题 朱发栋 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0
变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x - 变式训练： 1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。
一元二次方程根与系数关系(附答案)解析
一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分
三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值． 14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
初中数学拔高九年级 专题04 根与系数关系(含答案)
专题04 根与系数关系 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路， 需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．314 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求 223βα+的值．
【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求 41st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式 1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=??++=?有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于35 而小于1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程22 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m
一元二次方程根的判别式根与系数之间的关系练习题
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题 1、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则 k 。 2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。 3、关于x 的方程()0191322 =-+--m x m mx 有 两个实数根，则m 的范围是 。 4、已知k>0且方程11232-=++k x kx 有两个相等的实数根，则k= 。 5、当 k 不小于4 1 - 时，方程 ()()01222 =+---k x k x k 根的情况是 。 6 、 如 果 关 于 x 的 方 程 ()()01222=+---m x m x m 只有一个实数根，那么 方程()()0422 =-++-m x m mx 的根的情况 是 。 7、如果关于x 的方程()0 5222 =+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程()()0 2252=++--m x m x m 的 实 根 个 数 是 。 8、如果方程0422=--mx x 的两根为21,x x ，且 2112 1=+x x ，求实数 m 的值。 9、已知方程()02122 2 =-+++k x k x 的两实根 的平方和等于11，求k 的值。 10、m 取什么值时，方程()01222 =-++x x m 有 两个不相等的实数根？ 11、m 取什 么值时，方程 ()()0132 2=++--m x m x 有两个不相等的实数根？ 12、已知014=-++b a ，当k 取何值时，方程02=++b ax kx 有两个不相等的实数根？ 13、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的 根都是整数？ 14、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且35=c ，若关于x 的方程 ()() 035235 2=-+++b ax x b 有两个相等的实数 根，且方程()0sin 5sin 1022 =+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积。（斜边 的对边 角A A = sin ） 15、已知实数a 、b 满足b b a a 22,222 2 -=-=，且a ≠b ，求a b b a +的值。 16、已知：0125,0522 2 =-+=--q q p p ，其中p 、q 这实数，求2 2 1 q p +的值。 17、设方程071012=-+-k x x 的一个根的3倍少7为另一个根，求k 的值。 18、已知方程0422 2=-+-m mx x ，不解方程，求 证：（1）它有两个不相等的实数根； （2）当m>2时，它的两个根都是正数。 19、已知：关于x 的方 程
一元一次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元一次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 一元一次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理：对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a +=- = 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 2. 韦达定理的重要推论： 推论1：如果方程2 0x px q ++=的两个实数根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-= 推论2：以两个实数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是方程： ()212120x x x x x x -++= 3. 利用根与系数关系，可知一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有如下重要结论 1．若两互为相反数，则1 20,0b x x b a +=-== 2.若两根互为倒数，则12120,0,1b c x x b x x a a +=-====，得到a c = 3 若有一根是0，则12 00c x x c a ===， 4.若有一根为1，则 0a b c ++= 5. 若有一根为-1，则0a b c -+= 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2 2 12x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． ：
【课堂练习】 1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22 的值为_________ 2．已知x 1，x 2是方程2x 2 －7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2 ＝ 3．已知方程2x 2 －3x+k=0的两根之差为212 ，则k= ; 4．若方程x 2 +(a 2 －2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ; 5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2 =0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; 6． 设x 1,x 2是方程2x 2 －6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2 7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221 x 1x 1 + （3）定性判断字母系数的取值范围 【典型例题】 例1 已知关于x 的方程2 2 1(1)104 x k x k -++ +=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 例2 已知12,x x 是一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使 12 21 2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
根与系数关系知识讲解及练习
0b0a，如果方程有两个实数韦达定理：对于一元二次方，10?? 1）定理成立的条件说明：（b??x?x的负号与b）注意公式重的符号的区别（221a根系关系的几大用处 ①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；? 例如：已知方程2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ x） -3 D. 3, 2， 3，-2 B. -2, 3 C. -2 A．②求代数式的值：在不解方 程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数式21的值，如；? ③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.? ④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主） （1）计算代数式的值 2x,x?2x?x2007?0的两个根，试求下列各式的值：是方程若例 211122?(x?5)(x?5)|x?x|xx?．(4) ； (2) ； (1) ； (3) 212112xx21x?x??2,xx??2007解：由题意，根据根与系数的关系得：21122222?2(?2007)?4018xx?(x??x)?(x?x2)?2 (1) 212112x?x11?2221????(2) xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25??2007?5(?2)?25??1972 (3) 212211 222?4(?2007)2)(??22008x)??(xx)x?4x????|xx|(x (4) 21122211说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x?x112222212???4xx?xx?)?(xx2)?x??xx(x?xx)(，，， 212121212211xxxx2121．222，4?|x?x|)x(x??xx?xxxx22121112221112333等等．韦达定理体现了整体思想．)x?x)?3xxx?x(?(x?x21121212（2）构造新方程 为根的一元二次方程是。理论：以两个数 x+y=5 解方程组例??????????? xy=6??? 是方程z-5z+6＝0 ，解：显然，xy=3 =2,z由方程①解得 z21=3 =2,y∴原方程组的2的两根① 解为 x11=2 =3,y???????????????? x22显然，此法比代入法要简单得多。）定性判断字母系数的取值范围（3一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。例 为的两根，则c=2 a、bb解：设此三角形的三边长分别为a、、c，且由题意知2-4 k≤0，k≥4或×△＝k-4×22≥为所求。∴
