2011-2012学年海淀区初三(上)期中数学试卷答案(word版)

海淀区九年级第一学期期中练习

数学试卷答案及评分参考 2011.11

说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1. B

2. A

3. C

4. C

5. D

6. A

7. B

8. B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9. a ≤3 10. (2, -5) 11. 2 12. 17x 2

+16x -1=0; (1分) (2n +1)x 2

+ 2nx -1=0; (1分) x 1=-1,1

212+=

n x (2分)

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式=32132-+- …………………………………………4分 =13+. …………………………………………5分 14．解法一：a =1, b =2, c =-15,

64)15(1422=-??-=?>0. …………………………………………2分

264

2?±-=

x …………………………………………3分

∴x 1 = 3, x 2 = -5. …………………………………………5分解法二：( x -3 )( x +5 )＝0， …………………………………………3分 ∴x 1 = 3, x 2 = -5. …………………………………………5分解法三：x 2＋2x ＝15，

x 2＋2x +1＝15+1. …………………………………………2分 (x ＋1)2＝42. …………………………………………3分 x ＋1＝±4.

∴x 1 = 3, x 2 = -5. …………………………………………5分 15．解：原式=223226--+ …………………………………………4分

=24-. …………………………………………5分

16．证明：∵ AE =FC ,

∴ AE +EF =FC +EF .

即AF =CE . ……………………………1分在△ABF 和△CDE 中,

??=∠=∠=,,,CE AF C A CD AB

∴ △ABF ≌△CDE . ………………………………………………………4分 ∴ BF ＝DE . ………………………………………………………………5分 17．解：∵ 关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k －3＝0有两个不等的实数根,

∴ )3(14)2(2-??--=?k >0. …………………………………………3分即 16-4k >0. …………………………………………4分解得 k <4 . …………………………………………5分 ∴ k 的取值范围为k <4.

18．解：过点O 作OC ⊥AB 于C , 连接OA . ………………1分 ∴ AC =

AB , OC =3. ……………………………………3分

∵ AB= 8, ∴ AC =4.

在Rt △AOC 中, 由勾股定理得AO =5342

2=+=

+OC

AC (cm).

∴ ⊙O 的半径为 5cm. …………………………………………5分四、解答题（本题共20分, 每小题5分） 19. （1）此问共2分, 未保留作图痕迹扣1分.

（2）此问共3分，只对一种分割扣1分.

参考答案如右图所示.

说明: 其中有一个图保留作图痕迹即可.

20. 解：设共有x 名同学参加了聚会. …………………………………………1分

依题意，得 x (x -1)=90. …………………………………………2分 2

900.x x --=

解得x 1=-9, x 2=10. …………………………………………3分 x =-9不符合实际意义，舍去. …………………………………………4分 ∴ x =10.

答: 共有10人参加了聚会. …………………………………………5分 21. 解：（1）证明：连接OD.

∵ AD ∥OC ,

∴ ∠BOC =∠OAD , ∠COD =∠ODA . ………………1分 ∵ OA =OD , ∴ ∠OAD =∠ODA .

∴ ∠BOC =∠COD . …………………2分

∴ . ……………………………3分（2）由（1）∠BOC =∠OAD , ∠OAD =∠ODA . ∴ ∠BOC =∠ODA .

∵ ∠BOC +∠ADF =90?．

∴ ∠ODA +∠ADF =90?. …………………………………………4分

C O

F C

A O E

B D

即 ∠ODF =90?.

∵ OD 是⊙O 的半径,

∴ CD 是⊙O 的切线. …………………………………………5分 22．（1）参考下图:

………………2分

（2）a ;

2a a -+或

…………………………………………5分

来源中§教§网§§§ep 五、解答题（本题共22分，第23题6分、第24题8分，第25题8分）

23．解:（1）结论: CF =CG , OF =OG . ……………1分（2）法一：过点C 作CM ⊥ OA 于M , CN ⊥ OB 于N .

∵ OC 平分∠AOB,

∴ CM =CN , ① ∠CMF =∠CNG =90?, ② …………2分

∠AOC =∠BOC . ∵ ∠AOB =120?，

∴ ∠AOC =∠BOC =60?, ∠MCN =360?-∠AOB -∠CMF -∠CNO =60?. ∴ ∠DCE =∠AOC =60?. ∴ ∠MCN =∠FCG . …………………………………………3分 ∴ ∠MCN -∠FCN =∠FCG -∠FCN .

即 ∠1 =∠2. ③ …………………………………………4分由 ①②③ 得△CMF ≌△CNG .

∴ CF =CG . …………………………………………5分

法二：在OB 上截取一点H , 使得OH =OC . ∵ OP 平分∠AOB , ∠AOB =120?， ∴ ∠1=∠2=60?, ∠DCE=∠1=60?. ∵ OH =OC ,

∴ △OCH 是等边三角形.

∴ CO =CH , ∠2=∠3 . ① ∴ ∠1=∠3 . ② ……………………3分 ∴ ∠4+∠5=180?.

又 ∠5+∠6=180?,

∴ ∠4=∠6. ③ …………………………………………4分由 ①②③ 得△CFO ≌△CGH .

∴ CF =CG . …………………………………………5分（3） ∠DCE =180?- α 或OP 平分∠FCG . …………………………………………6分 24．（1）∵方程①有两个相等实数根,

∴???

????

=+++=?≠+.0)21(4)2(,02

121k k k

由③得k + 2 ≠0, 由④得 (k + 2) (k +4) =0. ∵ k + 2≠0,

③

④

G F C B E D A G

F C

E D

F C B

E D

B C F

F C B E D A

F C

E D

P 2

N M E

F A

O D

6543D O A F C B

G E

H 1

∴ k =-4. …………………………1分当k =-4时, 方程②为: 0572=+-x x .

解得 ?-

229

7,229

721x x …………………………2分

（2）由方程②得 ?2= )32(4)12(2+++k k .

法一: ?2－?1＝)32(4)12(2+++k k -(k + 2) (k +4) =3k 2＋6k +5 =3(k +1)2＋2>0.

∴ ?2>?1. …………………………………………………3分 ∵ 方程①、②只有一个有实数根， ∴ ? 2>0> ? 1.

∴ 此时方程①没有实数根. ………………………………4分

由 ???>++=++=?<++=?,04)32(13124,0)4)(2(2

1k k k k k 得 (k + 2) (k +4)<0. ………………………………5分

42)

4()2()

4()

124()4()

4(1241??

??++=

++=

++-+=

++-

k k k k k k k k k . ∵ (k + 2) (k +4)<0, ∴

4(12412

++-

=++-

k k k k . ………………………………6分

法二: ∵ ? 2=4)32(13124)32(4)12(222++=++=+++k k k k k >0.

因此无论k 为何值时, 方程②总有实数根. …………………………………3分 ∵ 方程①、②只有一个方程有实数根，

∴ 此时方程①没有实数根. …………………………………4分下同解法一.

( 3) 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根, ∴ 01)2()2

1(2

=-+++

a k a k ; 032)12(2

=--++k a k a .

∴ 2)2(2)2(2=+++a k a k , 32)12(2=-++k a k a .

(42)35(3)(45)2(2)2(2)(21)2.

a a k a a k a k a k k a k a a k a k +-++=+++-=++++++-

=2+3=5. ……………………………………………8分

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根, ∴ 01)2()2

1(2

=-+++

a k a k ; ③ 032)12(2

=--++k a k a . ④

∴（③－④）?2得22(1)4 4.ka k a k =--- ⑤

由④得2(21)2 3.a k a k =-+++ ⑥ …………………………7分将⑤、⑥代入原式，得

原式=224235ka ak k a a +-++

=2(1)44423(21)695k a k ak k k a k a ---+--++++

=5. ……………………………………………8分 25. 解:（1）由OA ⊥ OB , ∠OAB =30°, OA =123，可得AB =2OB .

在Rt △AOB 中, 由勾股定理得OB =12，AB =24.

∴ B (0, 12). …………………………………………1分

∵ OA=123,

…………………7分

∴ A (123,0).

可得直线AB 的解析式为3123

y x =-

+. ……………………2分

（2）法一：连接CD , 过F 作FM ⊥x 轴于点M ,则CB =CD.

∵ ∠OBA =90°-∠A =60°, ∴ △CBD 是等边三角形.

∴ BD=CB=

OB =6, ……………………3分

∠BCD =60°, ∠OCD =120°. ∵ OB 是直径，OA ⊥ OB , ∴ OA 切⊙C 于O . ∵ DE 切⊙C 于D ,

∴ ∠COE=∠CDE=90°, ∠OEC=∠DEC .

∴ ∠OED=360° -∠COE -∠CDE -∠OCD = 60°. ∴ ∠OEC=∠DEC=30°. ∴ CE =2 CO=12.

∴ 在Rt △COE 中, 由勾股定理OE=2263CE CO -=. ……………………4分 ∵ BG ⊥EC 于F , ∴ ∠GFE=90°.

∵ ∠GBO +∠BGO =∠OEC +∠BGO , ∴ ∠GBO =∠OEC =30°. 故可得FC=12BC =3, EF=FC+CE =15, FM=

EF =

2, ME=3FM =

153.

………………………………………5分

∴ MO =153

3363.22

∴ F (332

). ………………………………………6分

法二：连接OD , 过D 作DH ⊥ OB 于H.

∵ OB 是直径， ∴ ∠BDO =90°.

∵∠BOD +∠DOA =∠A +∠DOA , ∴ ∠BOD =∠A =30°. 由（1）OB =12, ∴ 1 6.

2BD O B =

(3)

分在Rt △DOB 中, 由勾股定理得 OD=63. 在Rt △DOH 中, 由勾股定理得 HD =33, OH =9. ∴ D (33, 9).

可得直线 OD 的解析式为 .3x y =

由BG //DO , B (0, 12)，可得直线BG 的解析式为 312.

y x =+

……………………………………4分

∵ OB 是直径，OA ⊥ OB , ∴ OA 切⊙C 于O . ∵ DE 切⊙C 于D , ∴ EO =ED .

H G F

y O x A B E C

M G

y O

B E

∵ ∠DOE =∠BOA -∠BOD =60°, ∴ △ODE 是等边三角形.

∴ 63,(63,0)O E O D E ==. ∴ EA=OA - OE =63.

∵ OC =CB =6, OE =EA =63, ∴ C (0, 6), CE //BA . ∴ 直线CE 的解析式为 3 6.3

y x =-

+ ………………………………………5分

由

333

,6,2315.

312

x y x y y x ??=-?=-+???

?==+???解得

∴ F (332

152

). ……………………………………………………6分

（3）设点Q 移动的速度为v cm/s .

(ⅰ)当点P 运动到AB 中点，点Q 运动到AO 中点时，

PQ ∥BC ，且PQ =BC ，此时四边形CBPQ 为平行四边形, 点Q 与点E 重合.

12, 3.4AP AP t ==

=可得

∴63233

A E v t

=（cm/s ）. ………………………………………7分

(ⅱ) 当点P 运动到BG 中点，点Q 运动到OG 中点时， PQ ∥BC ，PQ =BC , 此时四边形CBPQ 为平行四边形. 可得=43,OG BG =8 3. 从而PB =43,OQ =2 3. ∴ 2443

6 3.4

A B B P

t ++==

∴ 1232328314

1163

AQ v t

+-=

（cm/s ）. (分母未有理化不扣分) ………8分

∴ 点Q 的速度为23cm/s 或28314

- cm/s.

Q P

F y O

(E )