多项式的带余除法

七年级数学学科初高中教学衔接（思维拓展）第 1 课时教学

内容

多项式的带余除法，求商式和余式

知识点梳理多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除例1:计算)

(

)

解：

所以：5

(

)

(，其中，商式是5

x，余式是0

习题精炼解法步骤说明：

（1）先把被除式20

x与除式4

x分别按字母的降幂排列好．

（2）将被除式20

x的第一项2x除以除式4

x的第一项x，得x

2，这就是商的第一项．

（3）以商的第一项x与除式4

x相乘，得x

2+，写在20

x的下面．（4）从20

x减去x

2+，得差20

x，写在下面，就是被除式去掉x

2+后的一部分．

（5）再用20

x的第一项x

5除以除式的第一项x，得5

÷x

x，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式．

（6）以商式的第二项5与除式4

x相乘，得20

x，写在上述的差20

x的下面．

（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

（8）写出运算结果，)

(

)

例2:求多项式)

(

)

x的商式和余式

解：

所以：)

(

)

x的商式是1

x，余式是5

例3:求多项式)

(

)

x的商式和余式

解：

所以：)

(

)

x的商式是8

x，余式是14

39+

练习：

1、计算：

（1）()()48122+÷++x x x （2）()()4681223+÷+++x x x x

（3）()()128532+-÷++x x x （4）()()12252-÷++-x x x

2、求下列多项式的商式和余式

（1）()()112223-÷+-+x x x x （2）()

()127223+÷-+x x x

（3）)()(523207962245--÷+-+-x x x x x x

（4）()()

131232234-÷+++-x x x x x

3、多项式9101522

35-+-x x x 能否被3+x 整除？请说明理由。

4、试确定a 和b ，使224+-+bx ax x 能被232++x x 整除。反思易错

点

小学奥数数论之带余除法(二)(教师版)

1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．知识点拨教学目标 5-5-2.带余除法（二）

3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲模块一、带余除法的估算问题【例 1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743 【例 2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】1997年，小学数学夏令营【解析】由48412 ÷=，4859.6 ÷=知，一组是10或11人．同理可知48316 ÷=知，二组是13、 ÷=，48412 14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10 【例 3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678 ?=，并且小于13(61)91 ?+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583 +=．【答案】83 【例 4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

五年级：带余除法

带余除法 1.两数相除，商为15，余数为11，且被除数、除数、商、余数的和为309，求被除数？ 2.一个两位数去除251，得到的余数为41，求这个两位数？练习：已知被除数比除数多78，被除数除以除数，所得的商为6，余数为3，求被除数？ 3.有一个数列，第一个数是7，第二个数是11，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，求第2009个数除以3的余数是多少？ 4.有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个，则这盒乒乓球至少有多少个？

5.被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数是多少? 练习：（1）一筐苹果，每次4个4个取，6个6个取，9个9个取，最后都是少2个，这筐苹果最少有多少个？（2）一个自然数能被3、5、7整除，若用11去除这个数，则余1，这个数最小是多少？ 6.有一批书大约300到400本，包装成每包12本，剩下11本；包装成每包18本缺1本；包装成每包15本就有7包每包各多2本。这批书有多少本？ 1.一个整数除以3余2，除以7余2，除以9余5，这个数最小是多少？

3.一个自然数除以5整除，除以6余4，除以8余6，这个数最小是多少？练习：某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？（小升初试题一中） 3.某次会议有不到200人参加，分房间住宿时，每5人一间又多3人，吃饭时每9人一桌又少1人，分组讨论时，每7人一组又多6人。求参加会议的人数。 4. 用自然数n去除63、91、129、得到的三个余数之和为25，则n等于几？ 5. 一个整数除以7余1，除以6余2，除以9余5，求适合条件的最小数是多少？

第十一讲带余除法和余数性质

| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 知识站牌第十一讲带余除法和余数性质

有余数的除法(一) 除法竖式

有余数的除法（一）除法竖式教学内容：西师版二下第70页例1、例2。教学目标： 1、利用学生已有知识，教学竖式计算表内除法，了解除法竖式中各部分的含义及算理。 2、使学生初步学会除法竖式的写法，会列竖式计算表内除法。 3、培养学生学习数学的兴趣，以及认真书写的习惯。教学重点：用竖式计算表内除法。教学难点：除法竖式的书写及商的书写位置。教学过程：一、复习引入口算 5×（）=15 6×（）=42 9×（）=72 4×（）=24 14÷2= 32÷4= 27÷9= 56÷7= 师：说说你是怎么算的？生：用乘法口诀口算的。师:如果数字较大不能口算的时候就需要一种新的计算方法，想知道吗？（板书课题：除法竖式）师：关于除法竖式你想知道些什么呢? 二、探究新知 1、教学例1、例2整合后的例题：分桃子（1）出示例题情境图，学生找出数学信息和问题：12个桃，每只猴子分3个，一共可以分给几只猴？（2）请一名学生用圆片代替桃子在黑板上分一分。师：原来的桃怎么一个都没了？生：都分走了。师：分走了多少个桃？生：3×4=12个。师：说明12个桃刚好分完. （3）学生列式：12÷3=4（只）师：在这个除法算式中12叫做什么？（被除数）3叫做什么？（除数）这个4叫什么？（商）（4）师：下面我们就学习用除法竖式来计算这个题。（灯片演示竖式的书写过程）

师：有什么疑问吗？（让学生对除法竖式的含义和书写提出各种疑问）（5）师生探讨，解开学生的疑惑。教师边讲述边板书：横式下面空一行写出被除数12，给12戴上一顶帽子“厂”表示除号，除数3写在“厂”左边当小耳朵。师：算12÷3想那句口诀？（三四十二）商几？（4），4该写在什么位？（个位）为什么？（4表示4个一）教师标出除法竖式里各部分的名称，引导学生看着竖式齐读：12除以3等于4。师：这里的12、3、4分别表示什么意思呢？（有12个桃，每只猴子分3个，可以分给4只猴。）师：那被除数下面的12和0是什么意思，又是怎么来的呢？同桌讨论后汇报。生：12表示分走的桃，是用3×4得到的；0表示桃子没有剩余，是用原来的桃减去分走的桃得到的。（强调0放在个位）（6）学生规范书写一遍竖式计算过程。 2、试一试：竖式计算45÷5= （1）学生独立做。（2）订正。（3）小结，除法竖式计算三步曲：商、乘、减。三、巩固应用 1、引导练习：教材第70页“试一试”把竖式补充完整。学生独立完成。请一名学生按照三步曲的顺序说一说竖式计算的过程。 2、纠错练习 3、自主练习：看横式写竖式。（1）学生在作业本上写出48÷6的竖式，请一名上台展示，全班点评。（2）同桌合作，说出横式让对方写竖式。 4、综合练习：你有几种填法？四、课堂总结师：学会了什么本领？写除法竖式要注意些什么? 48 48 6 0 8 63 7 0 9 （） 2 （）（） 8 0 （） 2 7 2 7 3 0 8 27÷3=

五年级奥数题：带余数除法

带余数除法作业一、填空题 1．除107后，余数为2的两位数有_____. 2. 27 ( )=( )…… 3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____. 4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次. 7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____. 二、解答题 11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放

奥数余数问题带余除法教学文案

3、两个整数相除的商是27。余数是19，已知被除数比除数多565，求被除数。 4、一个数除以25的商是余数的3倍，这个数是余数的多少倍？ 5、1492除以一个数，商是46，且除数比余数大12，则除数是多少？余数是多少？ 6、从574中减去一个数，再除以这个数，商7余6，这个数是多少？ 7、两个数相除，商是7，余数是5，除数比被除数小131，被除数是多少？例4、某数除以5余2，除以3余1，求满足着个条件的最小两位数是多少？1、一个数除以3余1，除以8余3，除以11余2，那么满足这个条件的最小的自然数是几？ 2、一个数被8除余5，被5除余2，这个数最小是多少？ 3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？ 4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？ 5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？ 6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。

二年级有余数的表内除法经典口算题

班级姓名学号分数 22÷5＝14÷3＝7÷3＝9÷5＝19÷8＝20÷3＝20÷6＝29÷5＝37÷5＝36÷5＝14÷4＝18÷4＝12÷5＝16÷5＝9÷5＝10÷3＝12÷5＝14÷3＝16÷3＝3÷2＝20÷6＝24÷7＝28÷6＝32÷6＝15÷6＝32÷9＝4÷3＝6÷5＝8÷3＝14÷3＝22÷3＝22÷3＝22÷5＝32÷5＝32÷5＝14÷3＝8÷3＝12÷5＝16÷3＝9÷2＝10÷6＝12÷7＝14÷8＝16÷8＝13÷2＝21÷4＝22÷4＝25÷4＝34÷4＝17÷5＝ 16÷4＝27÷2＝36÷5＝45÷7＝36÷7= 17÷5＝10÷7＝12÷7= 12÷7= 18÷7= 40÷6＝48÷9＝56÷6＝64÷9＝5÷2＝45÷8＝54÷8＝63÷8＝32÷9＝15÷4＝48÷3＝16÷3＝24÷5＝32÷5＝9÷5＝17÷2＝14÷5＝21÷6＝28÷5＝27÷5＝54÷7＝63÷8＝72÷7＝31÷7＝30÷8＝25÷6＝30÷7＝35÷7＝40÷7＝42÷8＝14÷3＝8÷3＝12÷4＝16÷3＝13÷2＝45÷7＝54÷8＝63÷8＝22÷5＝9÷2＝班级姓名学号分数

18÷5＝16÷5＝24÷5＝32÷5＝40÷7＝18÷7＝27÷5＝36÷8＝45÷6＝56÷7＝12÷5= 12÷7= 5÷2= 54÷8= 48÷9= 17÷5= 36÷5= 6÷5= 21÷5= 42÷8= 29÷6= 31÷4= 18÷6= 18÷6= 11÷5= 32÷6= 11÷7= 2÷2= 23÷6= 24÷5= 38÷6= 36÷6= 77÷8= 14÷6= 62÷7= 10÷2= 50÷7= 50÷8= 57÷9= 11÷3= 45÷8= 52÷6= 30÷6= 23÷2= 24÷6= 58÷8= 31÷9= 24÷4= 32÷7= 52÷9= 15÷4= 43÷5= 36÷6= 23÷3= 15÷2= 24÷4= 86÷4= 18÷9= 55÷2= 23÷5= 13÷3= 66÷5= 17÷2= 22÷7= 36÷5= 42÷2= 19÷4= 18÷5= 34÷3= 24÷3= 12÷2= 66÷7= 46÷5= 16÷3= 34÷4= 64÷8= 23÷3= 26÷4= 35÷5= 36÷6= 24÷3= 40÷7= 43÷6= 50÷9= 54÷8= 52÷7= 36÷7= 18÷4= 26÷5= 27÷5= 17÷2= 25÷6= 30÷4= 28÷6= 65÷7= 36÷5= 29÷9= 19÷2= 35÷8= 24÷9= 班级姓名学号分数

小学奥数- 带余除法(一)

5-5-1.带余除法（一）教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算知识点拨带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲除法公式的应用【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。【例2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。【例3】除法算式 □□=208中，被除数最小等于。【例4】71427和19的积被7除，余数是几? 【例5】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【巩固】在下面的空格中填上适当的数。

奥数余数问题带余除法

奥数余数问题带余除法集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

带余除法被除数=除数×商+余数被除数—余数=除数×商余数=被除数—除数×商商=（被除数—余数）÷除数要注意以下几点： 1.余数总是小于除数的整数。 2.只要除数不为0，带余除法总能进行，且商和余数是唯一存在的。 3.整除是带余除法的特殊情况。例1、用一个两位数除766，余数为66，求这个两位数。例2、甲数除以7，商3余5；乙数除以7，商5余3，甲乙两数之和除以7，商是多少，余数是多少？ 1、被除数是96，除以一个两位数，商是7，余数是5，求这个两位数。 2、一个整数除以127的商是78，余数是9，这个数是多少？ 3、两个整数a、b，a除以b的商是14，余数是5，如果b=9，那么a是多少？ 4、1705除以一个两位数得到的余数是40，求这个两位数。 5、如果一个数除439，2188，3142都余15，那么这个数是多少？例3、573除以一个数得的商是11，并且除数与余数的差是3，求除数和余数。 1、被除数与除数的和是136，商是7，余数是8，求被除数与除数。 2、被除数、除数、商与余数的和是903，已知商是35，余数是2，求被除数和除数。 3、两个整数相除的商是27。余数是19，已知被除数比除数多565，求被除数。 4、一个数除以25的商是余数的3倍，这个数是余数的多少倍？ 5、1492除以一个数，商是46，且除数比余数大12，则除数是多少？余数是多少？ 6、从574中减去一个数，再除以这个数，商7余6，这个数是多少？ 7、两个数相除，商是7，余数是5，除数比被除数小131，被除数是多少？例4、某数除以5余2，除以3余1，求满足着个条件的最小两位数是多少？1、一个数除以3余1，除以8余3，除以11余2，那么满足这个条件的最小的自然数是几？ 2、一个数被8除余5，被5除余2，这个数最小是多少？ 3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？ 4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？ 5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？ 6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。

整除和带余除法

第四编整除和带余除法
§1 自然数
1．1 自然数
① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中一个小于另一个，或者大于另一个。而且，它们必有其中一个关系。这条性质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：
1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在这个集合中，一定有一个自然数最小；
2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符合数学严格的关于自然数的公理化定义。做题时需要注意题目中的自然数是何种规定，例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不包括 0。（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使
2k m 2k1 。
（1.1）
解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，
n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,
可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记
作 k ，则（1.1）成立。否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律
① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然
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小学数学带余除法(二).教师版

5-5-2.带余除法（二）教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算知识点拨带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲模块一、带余除法的估算问题【例1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于【解析】是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．

五年级奥数带余数除法

带余数的除法月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系：被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。例题集合例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？

练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？

例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多少个？课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

有余数的除法的初步认识教案

有余数的除法的初步认识、余数的意义兰考县谷营乡东张小学潘素霞教学内容：教科书第60页例1 教学目标： 1、知识与技能：通过分草莓的操作活动，使学生理解余数及有余数的除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。 2、过程与方法：借助用花瓣摆图形的操作，使学生巩固有余数的除法的含义，并通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。 3、情感态度与价值观：渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。教学重点：理解余数及有余数除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。教学难点：找到如何求余数的方法。教学准备：多媒体课件，花瓣。教学过程：一、情景导入 1、观看美丽的花朵，多媒体出示（有3瓣、4瓣、5瓣、6瓣的） 2、请学生用12片花瓣试试拼出自己最喜欢的那种花。看看最多能拼几朵？花瓣是否有剩余？ 3、展示并将拼出的结果分为两类，突出显示有剩余的。总结在

日常生活中平均分物品时也会遇到像这种不够再分，分后有剩余的现象。二、摆一摆，比较感知（一）摆一摆，回顾除法意义把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 1、读一读，你知道了什么？ 2、摆一摆，说一说你是怎样做了。 3、能把摆的过程用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘）问题： 1、这个算式什么意思？ 2、这个意思你还在哪看到了？（沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。）（二）摆一摆，解决新问题把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。

1、观察，你发现了什么？ 2、现在你还会摆吗？互相说一说你打算怎样做。 3、这1个草莓怎么不摆了？ 4、能把你的想法用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘）……1（个）问题： 1、这个算式什么意思？ 2、这个意思你还在哪看到了？（沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。） 3、这个算式如何写读作？如果不带单位读作怎么写？ 4、这个算式中的六个小圆点是什么意思？这六个圆点书写的注意事项是什么？ 5、这个算式是哪一种除法呢？为什么？（三）比一比，初步感知有余数除法的意义把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 6÷2＝3（盘）7÷2＝3（盘）……1（个）问题：比较，有什么相同？有什么不同？

小学奥数带余除法

2.6带余除法 2.6.1相关概念在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），若有a÷b＝q……r，（即a=bq+r），0≤r＜b。当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。 2.6.2余数的性质 ⑴被除数=除数×商＋余数，除数=（被除数－余数）÷商，商=（被除数－余数）÷除数。 ⑵余数小于除数。 2.6.3同余定理（1）如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a、b、c均为正整数）例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。（2）a与b的和除以c的余数，等于a，b 分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和

再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。性质（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。 2.6.4典型例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056， 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。

小升初数学试卷及答案：数论之带余除法

小升初数学试卷及答案：数论之带余除法一、求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少? 解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3(同余)，所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15， 15+3=18， 18÷7=2……4不余6，(不对) 15×2=30 (30+3)÷7=4……5不余6(不对) (15×3+3)÷7=6……6(对) 所以满足条件的最小数是48。例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少? 解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15， 15-1=14， 14÷7=2……0不余5(不对) (15×6-1)÷7=12 (5) 所以满足条件的最小数是89。

例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数? 解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。二、求除数类 1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数可能是几? 解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以这个数是194。 2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数? 解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知准确答案为41。三、求余数类例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数? 解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少? 解：因为 1314-1200=114=3×38，

人教版二年级下册数学第1课时表内除法、有余数的除法

令公桃李满天下，何用堂前更种花。出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》落红不是无情物，化作春泥更护花。出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。出自郑燮的《新竹》本单元是对本册所学的有关数与代数、图形与几何、统计与概率等知识进行全面，系统地复习。主要是通过练习来回顾所学知识，在练习中把学过的知识进行整理和复习，形成合理的知识体系，为进一步学习打下良好的基础。总复习时，要注意知识间的内在联系，要注意培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。 1.通过总复习，使学生经历梳理本学期各部分知识的过程，巩固所学知识。 2.通过总复习，帮助学生查漏补缺，使所学的数学知识系统化、条理化，从而更好地掌握各部分知识的重点和关键。 3.通过总复习，使学生发现生活中的数学现象或数学问题，培养学生综合运用所学知识解决简单的实际问题的能力，不断发展学生的思维能力。 4.通过总复习，为学生提供反思、归纳、整理、体验的机会，帮助学生养成回顾与反思的良好学习习惯，增强学习数学的兴趣和自信心。（1）表内除法、有余数的除法1课时（2）混合运算、万以内数的认识1课时（3）克和千克、图形的运动1课时（4）统计和数学广角——推理1课时本单元的教学中，围绕核心概念，帮助学生系统梳理知识。在复习中帮助学生养成良好的学习习惯。复习过程中，根据学生的年龄特点，创设生动有趣的数学活动，以综合而有层次的活动激发学生的学习兴趣。

第1课时表内除法、有余数的除法

二、分工合作，梳理知识。（4分钟） 1.引导学生回忆第二、四、六单元所学知识，在小组内作一个概括整理。 2.提示整理知识的方法。 3.展示知识结构，教师板书： 4.引导学生质疑，交流整理识的体会。 1.听要求，组内同学作准备。 2.根据老师提的整理知识的方法，小组同学合作整理。 3.全班交流知结构。 4.自由谈谈还有什么疑问及整理知识的体会。 25÷3=8 (1) 2.列竖式计算。 46÷6=7 (4) 27÷9=3 65÷=8 (1) 20÷4=5 31÷5=6 (1) 60÷=8 (4) 3. 图中袜子的质量是相同的，哪一种袜最划算？ 20÷5=4（元） 15÷3=5（元） 102=5（元）三、复习重点，强化提高。（30分钟） 1.复习平均分。（1）课件出示：老师准备把12朵红花奖励给班上做好事的3名学生，怎么才能平均分给这三位同学？（2）点名回答什么是平均分。（3）用学具操作后列式，并想能列出几道除法算式。 2.复习除法的含义。（1）引导学生说说上面两个除法算式的含义。（2）回忆除法算式各部分的名称，读法。 3.复习用乘法口诀求商。（1）组织学生在空白表格上根据 45句乘法口诀写出45个除法算式。（2）出示除法算式口算，并说明 1.（1）读题，理解题意。（2）回答：平均分就是分完后每份一样多。（3）学生汇报。12÷ 3=4或12÷4=3 2.（1）学生汇报。 12÷3=4的含义是把 12朵红花平均分成3份，每份是4朵；12÷4=3的含义是把12朵红花每4朵分一份，分成3份。（2）指名汇报。 3.（1）小组汇报，集体订正。（2）交流答案及方法，

五年级奥数带余除法(一)教师版

1.五年级奥数带余除法（一）教师版 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了．除法公式的应用例题精讲知识点拨教学目标 5-5-1.带余除法（一）

【例1】某数被13除,商是9,余数是8,则某数等于。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第2题,5分【解析】125 【答案】125 【例2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是__________。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第3题【解析】因为最大的三位数为999,999362727 ÷=,所以满足题意的三位数最大为：?+= 36278980 【答案】980 【巩固】计算口÷△,结果是：商为10,余数为▲。如果▲的值是6,那么△的最小值是_____。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,复赛,第4题,6分【解析】根据带余除法的性质,余数必须小于除数,则有△的最小值为7。【答案】7 【例3】除法算式÷ □□=208中,被除数最小等于。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,4题【解析】本题的商和余数已经知道了,若想被除数最小,则需要除数最小即可,除数最小是+=,所以本题答案为：20×（8+1）+8=188. 819 【答案】188 【例4】71427和19的积被7除,余数是几? 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第14题【解析】71427被7除,余数是6,19被7除,余数是5,所以71427×19被7除,余数就是6×5被7除所得的余数2。【答案】2 【例5】1013除以一个两位数,余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答【解析】1013121001 =??,那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91,因-=,100171113 为“余数小于除数”,所以舍去11,答案只有13,77,91。【答案】13,77,91共三个【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91. 【答案】39或者97 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。

带余除法

带余除法上教院附小金慧教学内容：《浙教版》二上数学P92、93 教材分析：在学完乘法口诀基础上，我们目前尚未有学习6—9的口诀，本教材结合倍数应用学习6—9的乘法口诀。但由于在一年级下册我们基本上人人过关背诵乘法口诀。学生在机械背诵的基础上能熟练掌握口诀，尝试在此程度上学生是否能将乘法和带余除法的转换结合。本节课安排了两个阶段的学习。第一阶段结合装乒乓球的问题情境，直观展示，揭示余数的意义；第二个阶段通过圈点子的活动，结合动作直观和图像直观，揭示余数比除数小的规律。习题设计：1）通过点子图，沟通乘加算式与带余除数之间的联系。2）计算中探索余数的规律，理解余数与除数间深层次的联系。教学目标： 1.通过实践操作让学生初步理解带余除法的意义。 2.通过与乘加算式之间的沟通，理解带余除法的商和余数所表示的意义；通过观察初步探索出带余除法中余数比除数小的规律。 3.引导学生主动参与数学活动，提高学习数学的兴趣，培养探索精神。教学过程: 一、情境引入 1、有20个乒乓球，如果每5个装一盒，可以装□盒？（1）能列一个除法算式吗？ 20÷5=4 2、如果有20个乒乓球，如果每6个装一盒，最多可以装□盒，还剩□个。 20÷6= （设计意图：从平均分迁移到不能平均分，怎样计算？通过乒乓球操作直观演示.第一个环节速度加快5分钟左右。）（1）能列一个除法算式吗？能装几盒呢？（2）为什么是3呢？到底是几呢？哪位小朋友愿意来装乒乓球？（3）装了两次后，剩下的8个乒乓球还能再分吗？（4）为什么会剩下？（不够分）（5）猜猜还有几个乒乓球？为什么是2呢? （6）为什么不能将余下的点子圈作一份？（问题：加深理解2是如何来的，通过演示操作，直观理解。目的让学生们理解剩下8个够的时候是否还需要装？通过猜想唤起全班同学的思考，为什么是2？让学生说出3×6=18,20-18=2，其实就是乘加的一个逆向应用。）