新北师大版九上第二章一元二次方程导学案

认识一元二次方程（1）

学习目标： 班级 姓名

1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2、会识别一元二次方程及各部分名称。 一，自主探究

活动内容：完成课本问题一二三并化简。

二，总结归纳

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有 未知数并且未知数的最高次数是 的 方程。 整理后，一个一元二次方程可化简为ax 2

+bx+c=0(a ≠0)，即它的一般形式：ax 2

+bx+c=0(a ≠0)。 应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax 2

+bx+c=0是一元二次方程，则有a ≠0； (2) 若a ≠0(b 、c 可以为零)，则ax 2

+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a ≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。 三，学以致用

1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．

易错易混点1.下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532

=+a

a ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

1. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。

(1)一变：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x 的一元二次方程，则m 应满足_________。

2. m 为何值时，关于x 的方程()023112

=-+-+mx x m m 是一元二次方程？

四，课堂小练

【基础训练】（100分）

1、一元二次方程的一般形式是_________________（a ，b ，c 为常数，a ≠０）二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______.

2、填表

3、请在一元二次方程的后面打“√”

(1)7x 2－6x ＝0 （ ） (2)2x 2－5xy ＋6y ＝0 （ ） (3)2x 2－

x

31

－1 ＝0 （ ） (4)x 2＋2x －3＝1＋x 2 （ ） 五，反思总结：学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？

课后练习：1.方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. ax 2+bx+c=0 B. k 2x+5k+6=0 C.

02

142333=--x x D. (m 2+3)x 2+2x-2=0 2下列方程是关于x 的一元二次方程，求出m 的取值范围。 (1) ()()51122

=---x m x m ； (2) ()032712

4=++--mx x

m m

4图 Y2—01①所示，用一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm 2的没盖的长方体盒子。想一想：应怎样求出截去的小正方形的边长？

若设小正方形的边长为x cm ，那么这个盒子的底部的长及宽分别为_______________cm 和________cm ，根据题意，可得方程__________________整理成一般形式得________________。

Y2—01

认识一元二次方程（2）

班级 姓名 【学习目标】1、知识与技能：经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。

2、能力培养：能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。

3、情感与态度：渗透“夹逼”思想，发展估算意识和能力，培养克服困难的勇气。 【学习重点】用估算方法求一元二次方程的近似解。

【学习过程】

一、前置准备：1、什么是方程的解？ 活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；

()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？

二、自学探究：通过估算未铺地毯区域的宽，理解探索方程解的过程。

根据上节课的学习，如果设未铺地毯区域的宽为x m ，则可得方程 (8―2x)(5―2x)=18，化为一般形式为： __________________________ ___。 你能求出x 吗？根据本题实际情况，思考下列问题：

（1） x 可能小于0吗？说说你的理由；______________________________。

（2） x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ 。 由以上两题可知x 的取值范围是___________________。 （3）完成下表

思考下面的方法可以吗？

因为8―2x 比5―2x 多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1。

说说你的观点，与同伴交流一下。

三、合作交流：

阅读课本33页“做一做”，设梯子底端滑动的距离x （m ）满足方程(x+6)2+72=102 化为一般形式为： ______________________________。 （1）小明认为底端也滑动了1米，他的说法正确吗？为什么？

______________________________________________ （2）底端滑动的距离可能是2米，3米吗？为什么？

_________________________________________________ （3） 你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

（4） x 的整数部分是几？十分位是几？

进一步计算

因此x 的整数部分是______,十分位是______

注意：（1）估算的精度不要求过高；（2）计算时提倡使用计算器。

四、归纳总结：

你学到了哪些知识？与同学交流一下。怎样用估算方法求一元二次方程的近似解?

互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。 五、当堂训练：

1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数吗？

2、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长。

【基础训练】（100分）

1、把下列一元二次方程化为一般形式

1)4(2=+x x _____________________,(x －2)2=5 ______________________, 2、方程012322

=--

x

x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) A 、2、 23、1- ； B 、2、 3-、1- ； C 、2、 21-、1- ； D 、2、 2

3

-、-1

3、082,0105,1,5)2)(1(42

222=+=-=+=+-x x x y x x x 中, 一元二次方程的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

4.若关于x 的一元二次方程()0112

2

=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）

A. 1

B. -1

C. 1或-1

D. 2

1

5.若关于x 的方程()0322=-+-x x

m m

是一元二次方程，则m=_______________。

6.已知：方程()

()0432642

2

=-+---m x m x m ，当m_________时，它是一元二次方程，当m________

用配方法求解一元二次方程(1)

【学习目标】 班级 姓名

１、会用开方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，

一次项系数为偶数的一元二次方程；

２、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力； 【学习过程】 一、前置准备：

1、如果一个数的平方等于9，则这个数是 ，若一个数的平方等于7，则这个数是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？

2、用字母表示完全平方公式。

3、用估算法求方程0242

=+-x x 的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？ 二、自学探究：

（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM 2

正方形，请你帮他想一想，这

个正方形的边长应为 ；若它的面积为75CM 2

，则其边长应为 。

（2）如果一个正方形的边长增加cm 3后，它的面积变为2

64cm ，则原来的正方形的边长为 。若变化后的面积为2

48cm 呢？（小组合作交流） （3）你会解下列一元二次方程吗？（独立练习）

52=x ； 5)2(2=+x ； 036122=++x x 。

（4）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离)(m x 满足方程015122

=-+x x ,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x 的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?（合作交流） 三、合作交流：

活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）

填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）

22)6(_____12+=++x x x 22)3(____6-=+-x x x 22___)(____8+=++x x x 22___)(____4-=+-x x x

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如ax x +2

的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）

活动内容2：解决例题

（1）解方程：x 2

+8x-9=0.（师生共同解决） （2）解方程015122

=-+x x （仿照例1，学生独立解决）

活动内容3：及时小结、整理思路

用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小组合作交流）

【跟踪训练】.用配方法解下列方程:

（1）－2x+x 2

－3=0； （2）x 2

+4=－8x

活动内容4、应用提高

例3：如图，在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽

度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽

度。

四、归纳总结：

师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应注意的问题。

五、当堂训练：

1．x 2－8x + =(x － ___ )2

2．一元二次方程 x 2

- 16 = 0的解为 （ ）

A. x=4

B. x 1=4, x 2=-4

C. x=-4

D. x 1=2, x 2=-2

3．如果二次三项式x 2-6x+m 2

是一个完全平方式，那么m 的值是（ ） A. 9 B. 3 C . -3 D. ±3

4. 解方程：（1）x 2－10x ＋25＝7 （2）x 2－14x ＝8 （3）x 2＋3x ＝1 （4) x 2

＋2x ＋2＝8x ＋4

用配方法求解一元二次方程(2)

学习目标：班级姓名

①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；

②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；

一，复习回顾：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。

例如，x2-6x-40=0 （2）x2―4x+2=0

二，情境引入

活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

1.x2+2x+________=(x+______)2

2.x2-4x+________=(x-______)2

3.x2+________+36=(x+______)2

4.x2+10x+________=(x+______)2

5. x2-x+________=(x-______)2

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x2+6x+8=0

2.3x2+18x+24=0

探讨方程2的应如何去解呢？

三，讲授新课1：讲解例题

例2 解方程3x2+8x-3=0

思路：

解：两边都除以3，得

移项，得：

配方，得：（方程两边都加上一次项系数一半的平方）

活动内容2：应用提高：

做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？

四随堂练习 1.解下列方程：

（1）3x 2-9x+2=0 （2）2x 2+6=7x （3）4x 2-8x-3=0

第五环节：课堂小结

活动内容：1.学生总结解一元二次方程的基本步骤；

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）二次项系数化为1 （2）移项。 （3）配方。 （4）求根。

2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。

课堂小测：

【基础训练】（100分）

1． +16x + = 2(x+4)2

2．如果x 2- 10x + y 2- 16y + 89 = 0, 则x ＝ ， y ＝ . 3、用配方法解下列方程，正确的是（ ）.

A.x 2-4x-12=0, 化为 (x-2)2 = 12

B.x 2-4x-12=0, 化为 (x ＋2)2 = 16

C.2x 2 -5x –4 = 0, 化为 (x-45)2 = 1657

D.2x 2 -5x –4 = 0, 化为 (x-4

5)2 = 1625

4．某企业计划用两年时间把上缴利税提高44％；若每年比上一年 提高的百分率相同，则可得方程

解得： x=

5．用配方法解方程： 0.4x 2-0.8x = 1 6. 解方程： 0231

322=-+y y

用公式法求解一元二次方程（1）

学习目标：班级姓名

①能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

一，回忆巩固

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0

②由学生总结用配方法解方程的一般方法:

二，公式推导-----提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)

2．例一．判断下列方程是否有实数根：

（1）4x2+3x+1=0 （2）2x2+3=7x

公式法：一元二次方程的求根公式：

a ac

b

b

x

2

4 2-

±

-

=(b2-4ac≥0)，步骤如下：

(1) 把方程化为一般形式，进而确定a、b、c的值（注意符号）

(2) 求出b2-4ac的值，（先判别方程是否有根）

(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入求根公式，求出

a ac

b b

2

4 2-

±

-

的值，最后写出方程的根。

3．例二．用公式法解下列方程：

(1)x2-7x=18 （2）9x2+6x+1=0 （3）3x2+2x+1=0

对于一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)

当b2－4ac 时，一元二次方程有两个不相等的实数根

当b2－4ac 时，一元二次方程有两个相等的实数根

当b2－4ac 时，一元二次方程无实数根

主要问题通常出现在这样的几个地方：（1）运算的符号出现错误和通分出现错误（2）不能主动意识

到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方（3）两边开平方，忽略取“±”。

三，练一练，巩固新知

１、判断下列方程是否有解：（口答）２、上述方程如果有解，求出方程的解

(1) 2x2+5=7x （2）x（x-3）+5=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）16x2+8x=3

2.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。

四收获与感悟

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程应注意的问题是什么？

3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

五作业

用公式法解下列方程

2x2-4x-1=0 5x+2=3x2 (x-2)(3x-5)=0 x2-2

2x+2=0

列方程解应用题：一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度

相同,求台布的长和宽

学习目标：班级姓名

1、经历用方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；

2、进一步掌握用配方法解题的技能。

一、复习回顾

1、一元二次方程的求根公式是什么？

2、用适当的方法解下列一元二次方程？

（1）3x2―1＝2x(2)x2―5x＋4＝0

二、讲授新课：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？

在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？

1、（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？

（2）一元二次方程的解是什么？（3）这两个解都合要求吗？为什么？

1、1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？

2）一元二次方程的解是什么？3）符合条件的解是多少？

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

（1）花园为菱形？（2）花园为圆形（3）花园为三角形？（4）花园为梯形

三形成提升

风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？

图（2）和图（3）做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？

四 小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 知识点： 方法：

本节易(混)错点：

【课外作业】A 层：1．用公式法解方程 2x 2－9x +8=0

B 层：

2．有一面积为150m 2

的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m ，求鸡场的长与宽各为多少？

3． 如图，由点P （14，1），A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0）确定的△PAB 的面积为18，求a 的值。

6、试用配方法证明：2x 2-x+3的值不小于

8

23

.

用分解因式法求解一元二次方程

1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；

2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；一，复习回顾

内容：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为。

3、选择合适的方法解下列方程：

①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0

二，情境引入

问题: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？

说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。

★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。三，例题解析解下列方程

(1)、 5X2=4X (2)、 X-2=X(X-2) (3)、 (X+1)2-25=0

问题：1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流) 2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解? (课下交流完成)

一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；

(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

四，巩固练习1、解下列方程：

（1） (X+2)(X-4)=0 (2 ) X 2-4=0 (3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？

3、一个小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t 2 小球何时能落回地面？

4、一元二次方程（m-1）x 2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值

五，感悟与收获

内容：师生互相交流总结

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、在应用分解因式法时应注意的问题。

3、分解因式法体现了怎样的数学思想?

【基础训练】（100分）

1．一元二次方程x 2–2x = 0的解是（ ）

A 、0

B 、0或2

C 、2

D 、此方程无实数解 2．方程x(x+3)=(x+3)的根为 （ ）

A 、x 1=0，x 2=3

B 、x 1=1，x 2=－3

C 、x=0

D 、x=－3 3．解方程：(x-2)(x+3)=0 x 0962=+-x (x )2-)32(2+=x 2

根的判别式（补充）

学习目标： 班级 姓名 (一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；

一合作探究:

1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?

例用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)

2x2+10x-7=0.

2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步?

二、讲授新课:

1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重

要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号Δ表示，即

2-)

Δ=b2-4ac(注意不是Δ=ac

b4

2、根的判别式是判别根的什么?

下面我们用三个定理来表示(我们通常把记号A?B表

示为A是命题的条件，B是命题的结论)于是有：

定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ0?方程有两个不等实数根.

定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0?方程有两个相等实数根.

定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0?方程没有实数根.

注意：这三个定理反过来也成立，我们还得到三个定理，那就是

ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根?Δ＞0.

ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根?Δ＝0.

ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根?Δ＜0.

显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，互逆定理.

定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.

定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.

运用根的判别式解题举例

例1 不解方程，判别下列方程根的情况.

(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.

例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的解. 例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.

三、课堂小结:本节课你学到了什么？

1．已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）。 A 、a<1 B 、a>1 C 、a<1且a ≠0 D 、a<0

2．关于x 的一元二次方程kx 2-3x+2=0有两个相等的实根，则k 应满足是（ ）。

A 、k=0

B 、k ≥0

C 、k=-89

D 、k=8

9

3．关于x 的方程m(x 2+x+1)=x 2

+x+2有两个相等的实数根，则m 的值为（ ） 。

A 、37

B 、1

C 、- 37

D 、3

7

或1

4．若方程k(x 2-2x+1)-2x 2+x=0有实数根，则（ ）。

A 、k>-41

B 、k>-41且k ≠2

C 、k ≥- 41

D 、k ≥-41

且k ≠2

5．方程x 2-4x+15=0有根的情况是（ ）

A 、有两个不相等的实数根

B 、有两个相等的实数根

C 、没有实数根

D 、有一

个实数根

6．下列方程中，有两个相等实数根的一元二次方程是（ ）。 A 、3x 2-4x-1=0 B 、x 2+3+22=22 x+2x C 、x 2-25x+5=0 D 、

x 2+ x=1

7．若方程x 2+m x+n=0有两个相等的实数根，那么n

m

的值为（ ）。 A 、-41 B 、4

1

C 、-4

D 、4 8．已知关于x 的方程x 2+3(m-1)x+2m 2-4m+4

7

=0(m 为实数)，则该方程（ ）。

A 、无实数根

B 、有两个相等实数根

C 、有不等的两实数根

D 、不能确定有无实数根 9.已知关于x 的方程x 2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m 取什么值时，

(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根?

10.k 取什么值时，方程4x 2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.

11.求证：关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.

2.5根与系数的关系(补充)

学习目标： 班级 姓名 1、掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。

系数。

3、会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值。一复习回顾：

1、一元二次方程的一般形式是什么？

2、一元二次方程的求根公式是什么？

3、如何判断一元二次方程根的情况？

二、讲授新课:

探索规律

2、猜一猜：请根据以上的观察猜想

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x

1，x

2

与a、b、c之间的关系：____________.

3、验证结论：设X1 ，X2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，证明上述结论

（1）当满足条件时，方程的两根是X

1= X

2

=

（2）两根之和X

1 + X

2

=

两根之积X

1 X

2 =

4、归纳结论：

一元二次方程根与系数的关系：

如果x

1，x

2

是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么X

1

+ X

2

= ，X

1

X

2

=

如果x

1，x

2

是一元二次方程x2+px+q =0（a≠0）的两个根，那么X

1

+ X

2

= ，X

1

X

2

=

为了纪念在研究和推广这个定理中做出贡献的法国数学家韦达，又把这个定理叫做韦达定理。应用新知

1、基础练习：不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少？

（1）x2- 3x+4=0 ( 2)3x2 +2x-5=0 （3）x2- 3x-1=0

2、例1：已知方程3x2-4x+2m-1=0的一个根是2，求方程的另一个根及m的值.

方法一方法二

归纳：利用根与系数的关系可以解决什么问题？

例3：已知X 1 ,X 2是方程2x 2+3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系求x 12 + x 22 的值

归纳：解决此类型题目的关键是什么？

1、已知方程5x 2-7x+k=0的一个根是2，求它的另一个根及K 的值；

三、应用深化

2、设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求 的值

3、若方程x 2－2x －1=0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______．

4、设一元二次方程x 2－6x+4=0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2=_____，x 1·x 2=______．

5、等腰三角形ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．

6、如果 2是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c 的值；

7、设x 1，x 2是方程2x 2- 6x+3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）x 12 x 2+ x 1x 22

四、课堂小结: 本节课你学到了什么？

十字相乘法(补充)

学习目标： 班级 姓名

掌握十字相乘法解方程的方法

21

12x x x x

我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式2

56x x ++的因式分解形式，即

()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项

的系数5，即6=2×3，且2+3=5。一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，

这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即

()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三

项式分解因式。

归纳：，把2x px q ++分解因式时：

如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。 如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。

我们知道，()()223531110x x x x ++=++。反过来就得到2

31110x x ++的因式分解的形式，即

()()231110235x x x x ++=++。

我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成

后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2

ax bx c ++进行因式分解。我们知道，

()()

()1122212122112212122112

a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++ 反过来，就得到()()()

2121221121122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：

1a 1c 2a 2c

用十字相乘法解以下的一元二次方程. (1) 018112=+-x x (2) 024102=++x x

1、用十字相乘法解以下的一元二次方程. （1）01582

=+-x x （2）0672=++x x

（3）0202

=--x x （4）01452

=-+x x

2、用十字相乘法解以下的一元二次方程.

1）03522=--x x 2）0262

=-+x x 3）05522=+-x x

4）02)12(3)12(2

=+-+-x x 5）0222=-+a ax x

3、用适当的方法解方程: (1) 052=+x x (2) 0)2(5)2(=-+-x x x (3) 025)3(2=--x

(4)

0)3(2)3(2=---x x （5）0622=-+x x （6）042=--x x

4、解方程（能力提高题） （1）03232=--x x （2）03)31(2=+++x x

2.6应用一元二次方程（1）

学习目标： 班级 姓名 1、掌握黄金分割中黄金比的来历；

2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要