待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2014秋?招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）

A ．y=﹣6x 2

+3x+4 B ． y=﹣2x 2

+3x ﹣4 C ． y=x 2

+2x ﹣4

D ． y=2x 2

+3x ﹣4

2．二次函数225y x x =+-有( )

A ．最小值-5

B ．最大值-5

C ．最小值-6

D ．最大值-6

3．把抛物线y=3x 2

先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）

A . y=3(x －3)2+2

B .y=3(x+3)2+2

C .y=3(x －3)2－2

D . y=3(x+3)2

－2

4．如图所示，已知抛物线y ＝2

x bx c ++的对称轴为x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )

A.(2，3)

B.(3，2)

C.(3，3)

D.(4，3)

5．将函数2y x x =+的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：

则当x ＝1时，y 的值为 ( )

A ．5

B ．-3

C ．-13

D ．-27

二、填空题

7．抛物线2

y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．

第7题 第10题

8．（2014秋?江宁区校级月考）已知二次函数图象经过点（2，﹣3）．对称轴为x=1，抛物线与x 轴两交点

距离为4．则这个二次函数的解析式为 ．

9．已知抛物线222y x x =-++．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；

10．如图所示已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，

x 的取值范围是____ ____．

11．已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：

_____ ___12．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(3，-2)，且与x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____．

三、解答题

13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；

(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．

14．如图，已知直线y ＝-2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直

角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．

15．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2

+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；

【解析】设抛物线的解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，

将A 、B 、C 三点代入解得a=2,b=3,c=-4.

故所求的函数的解析式为y=2x 2

+3x ﹣4．故选D ．

2.【答案】C ；

【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即2225216y x x x x =+-=++-2(1)6x =+-， ∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1时，6y =-最小． 3.【答案】A ； 4.【答案】D ；

【解析】∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行， ∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称， 又∵ A(0，3)，

∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3， ∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；

【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，2y x x =+的顶点坐标是11,24??

-

- ???

，232y x x =-+的顶点坐标是31,24??

-

???

，∴ 移动的距离31222a ??=--= ???．

6.【答案】D ；

【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x ＝1代入求函数值，显然太繁，

而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．

观察表格中的函数值，可发现，当x ＝-4和x ＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴

为x ＝-3，再由对称性可知x ＝1的函数值必和x ＝-7的函数值相等，而x ＝-7时y ＝-27．

∴ x ＝1时，y ＝-27． 二、填空题

7．【答案】223y x x =-++；

【解析】由图象知抛物线与x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则(1)(3)y x x =-+-． 8．【答案】y=x 2

﹣2x ﹣3；

【解析】∵抛物线与x 轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴

∴抛物线与x 轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0） 设抛物线的解析式y=a （x+1）（x ﹣3） 又∵抛物线过（2，﹣3）点 ∴﹣3=a （2+1）（2﹣3） 解得a=1

∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x ﹣3）,即二次函数的解析式为y=x 2

﹣2x ﹣3．

9．【答案】(1)x ＝1；(1，3)；

【解析】代入对称轴公式2b

x a =-和顶点公式24,24b ac b a

a ??-- ???即可.

10．【答案】1

2

x ≥

； 【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入2y x bx c =++中得b ＝-1， ∴ 对称轴为12x =，在对称轴的右侧，即1

2

x ≥时，y 随x 的增大而增大. 11．【答案】22y x x =+-；

【解析】此题以表格的形式给出x 、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x 、y 值，

从中选出较简单的三对x 、y 的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式2y ax bx c =++， 用待定系数法求解．

设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，

由表知2,2,0.a b c c a b c -+=-??=-??++=? 解得1,

1,2.a b c =??

=??=-?

∴ 二次函数解析式为22y x x =+-． 12．【答案】21

(3)22

y x =

--； 【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)． 三、解答题

13.【答案与解析】

(1)∵ 顶点是(1，2)，

∴ 设2(1)2y a x =-+(a ≠0)．

又∵ 过点(2，3)，∴ 2(21)23a -+=，∴ a ＝1． ∴ 2(1)2y x =-+，即223y x x =-+． (2)设二次函数解析式为2

y ax bx c =++(a ≠0)．

由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得1,1,13,a b c c a b c ++=-??=??-+=? 解得5,7,1.a b c =??

=-??=?

故所求的函数解析式为2

571y x x =-+．

(3)由抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，

∴ 设y ＝a(x-1)(x-3)(a ≠0)，又∵ 过点(0，-3)，

∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a ＝-1，

∴ y ＝-(x-1)(x-3)，即243y x x =-+-．

14.【答案与解析】

过C 点作CD ⊥x 轴于D ．

在y ＝-2x+2中，分别令y ＝0，x ＝0，得点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，2)． 由AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，得△BAO ≌△ACD ， ∴ AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝1， ∴ C 点的坐标为(3，1)．

设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，

则有0,9312,a b c a b c c ++=??

++=??=?，解得5,61762.

a b c ?=??

?=-??

=???

，

∴ 所求抛物线的解析式为2517

266

y x x =

-+．

15.【答案与解析】 解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4）， 把B 与C 坐标代入y=

﹣x 2

+bx+c 得：，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=﹣x 2

+2x+4；

（2）∵y=﹣x 2

+2x+4=﹣（x ﹣2）2

+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），

则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．