经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子
物理与电子信息工程学院物理学
[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。
[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布
1 前言
所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。
一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。
本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
2 经典力学中的一维谐振子
在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。
一个劲度系数为k 的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m 的物体，就构成一个弹簧振子[1]，如图2.1。当弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以O 表示。沿弹簧长度方向（取作x 轴方向）拉动物体然后释放，则物体将在O 点两侧作往复运动。
图2.1 弹簧振子
2.1 一维谐振子的运动方程
图2.1中的物体可视为一个质点。设x 代表质点相对于平衡位置的位移，则质点所受的力kx F -=，其中k 为劲度系数。负号表示F 与位移方向相反，因而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为：
kx x
m -= 即 02=+x x
ω （2.1.1） 这是一个二阶的常系数线性微分方程。令
m
k =ω （2.1.2） ω即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。将（2.1.2）式代入（2.1.1）式，则可求出（2.1.1）式的通解：
iwt iwt Ne Me t x -+=)( （2.1.3）
)sin(?ω+=t A
这就是谐振子的运动方程[2]。其中M 和N 是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。A 是振幅，?是初相位。（2.1.3）式表明质点应作简谐振动[2]。
2.2 一维谐振子的能量
在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。
由（2.1.3）式可知，振子的速度为：
)cos(?ωω+==t A dt
dx v 振子的动能为：
)(cos 2
1)(212122222?ωω+===t C m dt dx m mv E k 由（2.1.2）式，有： )(cos 2122?ω+=
t kA E k （2.2.1） 由（2.2.1）式可知，振子的动能变化频率为ω2。
振子的势能（以平衡位置的势能为零）为：
202
1kx Fdx E x
p =
-=? 即为：
)(sin 2
121222?ω+==t kA kx E p （2.2.2） 由（2.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为ω2。
因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的总能量为：
22
1kA E E E p k =+= （2.2.3） 由（2.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒[3]。（2.2.3）式还说明：对于一定的振子（m 和k 给定，因而ω给定），总能量与振幅的平方成正比[3]。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。
3 量子力学中的一维谐振子
在量子力学中，粒子状态用波函数表示，为了描述微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程，即薛定谔方程。因此下面将从谐振子的哈密顿算符出发，求解振子的定态薛定谔方程，进而分析量子力学中一维
谐振子的运动特征。
3.1 用运动方程求解的一维谐振子
我们可以从谐振子的势能函数出发，写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程，并求谐振子的能量和定态波函数的解，进而讨论能量分布特点。
取谐振子的平衡位置0r 为坐标原点，并选原点为势能的零点，则有
0)(0=r E p 。仅考虑一维情况。由于k
z j y i x r ???+-= 在x 轴方向分振动的谐振子在x 处的势能可以表示为：
22
1)(kx x E p = （3.1.1） 势能曲线是一条定点在原点的抛物线，如图3.1所示：
图3.1 一维谐振子的势能
一维谐振子的经典哈密顿函数为：
222
12kx m p H += 设振子的原子质量为μ，则振子的频率为：
m
k =
ω 振子的哈密顿算符可以写为： 22222?2
12x m dx d m H ω+-= 相应的定态薛定谔方程)(ψψE H = 为：
)()()2
12(22222x E x x m dx d m ψψω=+- （3.1.1） 这是一个二阶线性微分方程。
如果振子的运动不受限制，x 的变化范围为+∞<<∞-x 。当∞→x 时，（3.1.1）式的解一般为无穷大，表示振子在无穷远处的几率为无穷大。这不符合物理要求。但若振子的能量E 取下列特殊值[4]：
ω )2
1(+=n E )2,1,0( =n （3.1.2） 其中 为普朗克常数，ω为经典力学中谐振子的频率。则对每一个n 值，方程（3.1.1）都有一个在全区间+∞<<∞-x 中有界的解。而且当∞→x 时，这个解趋于零。这显然符合对谐振子问题的物理要求。
与（3.1.2）式的能量值相应的关于定态波函数的解为： )()
(2x H Ae x n x αψα-= （3.1.3） 其中0>=
h
km α，)(ξn H 是E 的一个n 次多项式，称为厄米多项式[4]。其前四项为：
1)(0=ξH ξξ2)(1=H
24)(22-=ξξH
ξξξ128)(33-=H 由于)(x H n α是x 的n 次多项式，且0>α。因此，当∞→x 时，（3.1.3）式趋于零。由（3.1.2）式知，在量子力学中谐振子的能量是分立的，与振幅无关，只依赖于振子的固有特性---振子的本征频率ω。（3.1.2）式还表明[5]，频率为ω的振子其能量的改变只能是能量单元ω 的整数倍。这一点同普朗克的能量子假设是一致的。但量子力学中振子的最低能级（基态能量）不再是零而是ω 2
1，称为零点能[5]。它充分体现了粒子具有波粒二象性。 3.2 坐标表象中的一维谐振子
粒子系统的状态用以空间坐标为自变量，以时间为参量的波函数),(t r 来描述，这种表示形式称为坐标表象[6]。下面从谐振子的哈密顿算符出发，求解谐振子的能量本征值和定态波函数，并对谐振子在量子力学与经典力学中的几率密度进行比较，给出量子谐振子向经典谐振子过渡的条件。
一维谐振子的哈密顿算符为：
222222
12x m dx d m H ω+-= 坐标表象中，振子的定态薛定谔方程为：
)()()2
12(22222x E x x m dx d m ψψω=+- 引入没有量纲的变量ξ代替x ，它们的关系是
x x m αωξ≡≡ ω
αm =
ωλ E 2=
（3.2.1） 以ω
2乘以式（3.1.1），利用式（3.1.2）和式（3.1.3），薛定谔方程可改写为 0)(222
=-+ψξλψξ
d d （3.2.2） 这是一个变系数的二阶常微分方程。当ξ很大时，λ与2ξ相比可以略去，因而在±∞→ξ时，（3.2.2）式可以写为：
ψξξ
ψ222=d d 它的解是ψ～22
ξ±e 。因为波函数的标准条件要求当±∞→ξ时，ψ应为有限，所
以对波函数只取指数上的负号：ψ～22
ξ-e 。
根据上面的讨论，我们把ψ写成如下形式来求（3.2.2）式的解：
)()(22
ξξψξH e -= （3.2.3）
（3.2.3）式代入（3.2.2）式可得)(ψH 满足方程：
0)1(222=-+-H d dH d H d λξξξ
（3.2.3） 用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数，来求着方程的解。这个级数必须只含有限项，才能在±∞→ξ时使)(ξψ为有限；而级数只含有限项的条件是λ为奇数：
12+=n λ， 2,1,0=n
代入（3.2.1）式即可得谐振子的能级为：
)2
1(+=n E n ω ， 2,1,0=n （3.2.4） 可见,谐振子的能量只能取分立值，两相邻能级间隔均为ω ，即：
ω =-+n n E E 1
在坐标表象中可以明显看出：是描述粒子波动性的波函数)(x ψ受到势能场的约束使能谱分立。
与（3.2.4）式定态能量对应的定态波函数：
)()(222x H e
N x n x n n αψα-= 式中2
1
21
)!2(n N n n πα=是归一化常数，它由归一化条件1)()(*=?∞
∞-dx x x n n ψψ确定。 图3.2中画出了3,2,1,0=n 的几率密度2
n ψ（图中实线），图中虚线是经典谐振子的平均位置密度。从图3.2可见，经典谐振子不能进入A x >的区域。而量子谐振子能进入这种区域，但进入以后指数衰减。可见，量子振子和经典振子完全不同，但当n 增大时，n E E ?减小，量子振子向经典振子过渡。
图3.2 一维谐振子的位置几率密度分布 3.3 粒子数表象中的谐振子
以粒子数算符的本征矢|n 〉为基矢的表象称为占有数表象[7]，又叫粒子数表象。我们可以通过引入升降算符求解谐振子，求出谐振子的能量本征值以及坐标
算符x
?和动量算符p ?的矩阵元。 一维谐振子的经典哈密顿函数为：
222
12kx p H +=μ （3.3.1） 在量子力学里，谐振子的哈密顿算符具有同一形式：
222?2
1?21x p H μωμ+-= （3.3.2） 将经典泊松括号换成量子泊松括号：
[]1?,?-=PB p x → []1?,?-=p x i
由x
?与p ?的对易关系： [] i x p p x p x =-=?????,? （3.3.3）
定义两个非厄米算符a
?和+a ?： )?1
?(2?x p
i x a μωμω
+=
)?1
?(2?x p i x a μωμω
-=+ （3.3.4）
这两个非厄米算符满足如下基本对易关系：
][1?,?=+
a a （3.3.5） 则（3.3.4）式的逆变换关系为： )??(2?a a x +=+μω
（3.3.6） )??(2?a a
p -=+μω
利用（3.3.6）式，代入（3.3.2）式，并考虑对易关系（3.3.5），哈密顿算符又可表示为：
)2
1??(?+=+a a H ω （3.3.7） 由于H
?与算符a a ??+仅仅相差一个常数矩阵，所以只需求解a a ??+得本征值问题。设它的属于本征值为λ的本征刃为λ，即： λλλ=+a a ?? （3.3.8） 由于2?()?()?(??λλλλλa a a a a ==++是一个右矢的模的平方，是非负数，
因此可得到如下结论：
0≥λ （3.3.9）
即a a
??+得本征值为非负数。利用对易关系（3.3.6）可得: λλλλ++++++=+=a a a a a a a
?)1()1??(??)??( (3.3.10) （3.3.10）式表明：若λ是的一个本征刃，相应的本征值λ，则也使它的
一个本征刃，相应的本征值为1+λ。类似的将算符a a ??+作用于本征刃λa ，有：
λλλa a a a
?)1()??(+=+ 如果λ是a a
??+的一个本征刃，则+a ?和a ?对这个本征刃作用后得到的新的右矢??(λλa a
+仍然是a a ??+的本征刃，但其本征值增加或减小1。重复的使用这种
作用，可以从某一给定的本征刃出发，得到具有不同本征值的所有本征刃。这种方法即为“阶梯法” [8] 。所得到的本征值谱显然是等间距的，间隔为1。
设本征值谱下限为0λ，相应的本征刃为0λ，即：
000??λλλ=+a a λ>0λ>0 （3.3.11）
由于0λ是a a
??+的属于最小本征值的本征刃，所以满足如下条件： 0?0=λa （3.3.12）
根据这个条件，由(3.3.11)式可得00=λ，这是唯一可能小于1的本征值。零本征值的态可记为0，称为基态。
条件（3.3.12）可记为：
00?=a
由于a a
??+得本征值和可记为： n =λ ),2,1,0( =n
0)?(n n a A n += （3.3.13）
其中n A 是归一化系数。
由（3.3.7）式、（3.3.8）式和（3.3.13）式可知：
n n n H )2
1(?+=ω 即谐振子能量本征值为：
ω )2
1(+=n E )2,1,0( =n （3.3.14） 这就是谐振子的能谱。它表明[4]：
（1） 谐振子的能级是等间距的，相邻能级之间相差ω ；
（2） 谐振子的基态能量，即零点振动能量是ω 2
1。 零点能的存在是波粒二象性的体现。也可以说是测不准关系的后果。由（3.3.14）式可知，如果以基态能量作为计算能量的起点，则谐振子的定态能量是ω 的整数倍。如果谐振子和外界交换能量，它只能由一个定态跃迁到另一个定态。因而所交换的能量只能是ω 的整数倍。由前可知，交换能量时有最小单
元ω 存在。可以理解为是存在一种基元粒子，它的能量是：
ω =E
于是当谐振子处于第n 个激发态时，能量为ω n E E n =-0，可认为存在n 个这样的元粒子，占据在ω =E 的能级上。因此，n 被称为占有数或粒子数[7]。
由（3.3.10）式的结果可知，+a
?与n 描写了同一个态，因此有： 1?+=+n c n a n （3.3.15）
其中n c 是常数，为了确定n c ，对（3.3.15）式取模的平方，有：
n a a
n n a c n ++==??22 1)1?(+=+=+n n a a
n 于是可得：n i n e n c δ1+=。若取0=n δ，则（3.3.15）式化为：
11?++=+n n n a （3.3.16）
1?-=n n n a （3.3.17）
因此一维谐振子哈密顿量的归一化的本征刃可表示为：
0)?(!1
n a
n n += 由（3.3.16）式和（3.3.17）式，可以立即得到算符a
?和+a ?在能量表象中的矩阵元：
1,1??+'++'+='=n n n n n n a
n a δ （3.3.18） 1,1??-'+'+='=n n n n n n a n a δ （3.3.19）
利用算符a ?，+a ?和x ?，p ?之间的变换关系（3.3.6），以及上述（3.3.18）式和
（3.3.19）式，可以得到坐标算符x
?和动量算符p ?在表象中的矩阵元： )1(2?1,1,-'+''++='=n n n n n n n n n x n x δδμω
)1(2?1,1,-'+''++='=n n n n n n n n i n p n p δδμω
即：
????????????????= 0300
3020020100
0102μωx ??
???
??????????
?---= 030030200201000102μ?i p 可见，算符x
?、p ?在粒子数表象中是对角矩阵，且算符p ?中的对角元素即为能量本征值。
4 经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系
经典谐振子与量子谐振子有着本质上的差别,但它们之间的差别并不是不可逾越的,接下来我们从能级、波函数等方面逐一讨论与比较。
4.1经典谐振子和量子谐振子的区别
4.1.1能量取值特点
由经典谐振子的动能和势能: )(sin 2
1)(212122222?ωω+===t C m dt dx m mv E k （4.1.1） )(cos 2
121222?ω+==t kA kx E p （4.1.2） 可知，经典谐振子的能量取值是连续的。
由量子谐振子的能量：
)2
1(+=n E n ω （4.1.3） 可知:量子谐振子的能量取值是分立的，即量子化的，且能级是等间距的，间距为ω 。能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。
由于能级间隔是等间距的，能级间的跃迁只发生在相临能级之间，即跃迁只
能逐级进行，因此各跃迁都发生频率相同的辐射。实验测得的能谱只有一条谱线。
4.1.2 零点能讨论
由（4.1.1)式，当0)cos(0=+?ω时，经典谐振子的最低动能为零。而由（4.1.3)
式知，量子谐振子在基态能量不为零。即当0=n 时，ω 2
10=E 称为零点能。这与经典谐振子完全不同，这再次说明微观粒子具有波粒二象性，绝对“静止”的波是没有的。
量子谐振子的零点能我们还可以直接利用量子力学中的不确定关系估算出来。利用坐标和动量的不确定关系：
4)()(2
2
2 ≥???p x 谐振子的能量不确定度为：
2222222)(21)
(8)(212)(x x x p E ?+?≥?+?=?μωμμωμ 使E ?取最小的2)(x ?的值可由极值条件：
0)
(821)()(42
22=?-=??x x d E d μμω 计算。我们求得，μω2)(2
=?x ，因此谐振子的零点能：
244ωωω =+=
?E 可见，谐振子基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性所决定的。
4.1.3谐振子的波函数
在量子力学中波函数)(n ψ本身无意义，但波函数绝对值的平方：2
)(x ψ与粒子在空间某点出现的几率成正比。首先我们以基态为例讨论位置几率、势垒贯穿。对于量子谐振子的基态： 222210)(x e x απαψ-=，ω 2
10=E 相应的几率密度为：
2220)()(x e x x W απαψ-=
= （4.2.1） 可知，在0=x 处，0W 有最大值： π
α （4.2.2） 在α
1±=x 处，e W πα=0.。 （4.2.1）式一个Gauss 型分布，在原点)0(=x 处找到粒子的概率最大，由于粒子能量20ω =E ，不难证明，在ω
αm x ==1处，01)(E x x V ==-α，1-α是谐振子的特征长度。下面与经典谐振子比较：
（1）由于经典振子在0=x 处势能最小，并为零。由(4.1.1)式和(4.1.2)式可知，此时的动能必定最大（因为机械能守恒）。
由经典振子的运动方程)sin(?ω+=t A x 可知，经典振子的速度为：
)cos(?ωω+==
t A dt
dx v 利用αα2sin 1cos -=，且A x t =+)sin(?ω，可得： )(sin 12?ωω+-=t A v
A
x A -=1ω （4.2.3） 当0=x 时，由(4.2.3)式知，此时经典振子的速度有最大值ωA v = ，即经典振子在0=x 处逗留时间最短，出现的几率最小，如图4.1中虚线所示。而按量子力学的计算，见（4.2.2）式，在0=x 处的几率却是最大的，如图4.1中实线所示。可见，经典谐振子与量子谐振子刚好相反。
图4.1 0=n 时一维谐振子的位置几率密度分布
（2）当经典谐振子的能量等于ω 2
1时，转折点为A ±，经典谐振子只能处于A x ≤区域中。因为在1=x α处，势能ωα 2
1212122===k kx E p ，即等于总的机械能。此时，粒子的速度减慢为零，不能再继续运动。而按照量子力学计算，粒子在A x >区域，仍有速度不为零的几率，如图4.1所示。
这种明显的量子效应，在基态表现特别突出。即由于量子隧道效应，量子谐振子在基态大约有16%的粒子跑到了A x >区域以外，而经典谐振子不能进入A x >的区域[9]。
4.2经典谐振子与量子谐振子的联系
图4.1 11=n 时一维谐振子的位置几率密度分布
图4.1是n 较大时的情况。图中虚线代表经典观点，由图可以看到，当量子数n 越大，量子结果和经典结果越接近。
通过以上讨论，我们发现经典振子与量子振子既有区别又有某些必然的联系。
5 结束语
通过对经典力学中的一维谐振子以及量子力学中的一维谐振子的分析比较，我们系统的了解一维谐振子运动方程、运动微分方程、能量方程等运动特点。明确了谐振子在经典力学以及量子力学中的区别与联系。一方面使得我们对一维谐振子有了较为全面的认识，对该模型的物理实质的理解更深入，充分体会到了微观粒子的波粒二象性；另一方面拓宽了我们的视野，培养了我们的物理学思想、物理学方法以及提高了我们归纳总结问题、分析解决问题的能力。
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One-dimensional Harmonic Oscillator in Classical Mechanics
and in Quantum Mechanics
Xue Feifei
Department of Physics and Electronic Information Engineering
Education Physics Major 06200138
[Abstract] This artical compares the results of the Quantum mechanics and Classical mechanics of the Oscillator revealing the profound differences of the movement laws between the microscopic particles and macroscopic particles. It also explores the Zero-point energy problem with the Uncertainty relation and breifly discusses the transition of the Quantum mechanics and Classical mechanics.
[key words] one-dimensional harmonic oscillator Classical mechanics Quantum mechanics kinematic equation energy distribution
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
物理学史10.7 关于量子力学完备性的争论史
10.7关于量子力学完备性的争论 玻恩、海森伯、玻尔等人提出了量子力学的诠释以后，不久就遭到爱因斯坦和薛定谔等人的批评，他们不同意对方提出的波函数的几率解释、测不准原理和互补原理。双方展开了一场长达半个世纪的大论战，许多理论物理学家、实验物理学家和哲学家卷入了这场论战，这一论战至今还未结束。现在正在进行的关于隐参量的辩论就是他们论战的继续。 早在1927年10月召开的第五届索尔威会议上就爆发了公开论战。那次会议先由德布罗意介绍自己对波动力学的看法，提出了所谓的导波理论。在讨论中泡利对他的理论进行了激烈的批评，于是德布罗意声明放弃自己的观点。接着，玻恩和海森伯介绍矩阵力学波函数的诠释和测不准原理。最后他们说：“我们主张，量子力学是一种完备的理论，它的基本物理假说和数学假设是不能进一步被修改的。”玻尔也在会上发表了上节提到的演讲内容。这些话显然是说给爱因斯坦听的，但爱因斯坦一直保持沉默。只是在玻恩提到爱因斯坦的工作时，才起来作了即席发言，他用一个简单的理想实验来说明他的观点。 “设S是一个遮光屏，在它上面开一个不大的孔O（见图10－1），P是一个大半径的半球面形的照相胶片。假定电子沿着箭头所指示的方向落到遮光屏S 上。 这些电子的一部分穿过孔O，由于孔小，而电子具有速度，因此它们均匀地分布在（按：即衍射到）所有的方向从而作用在胶片上。” 这一事件的发生几率可由衍射的球面波在所考虑的点上的强度来量度。爱因斯坦说，可以有两种不同的观点来解释实验结果。按照第一种观点，德布罗意-薛定谔的ψ波不是代表一个电子，而是一团分布在空间中的电子云；量子论对于任何单个过程是什么也没有说的。它只给出关于一个相对说来无限多个基元过程的集合的知识。按照第二种观点，量子论可以完备地描述单个过程。落到遮光屏上的每个粒子，不是由位置和速度来表征而是用德布罗意-薛定谔波束来描述，这些描述概括了全部的事实和规律性。
量子力学初步-作业(含答案)
量子力学初步 1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ 须满足的条件是_______________________________； 其 归 一 化 条 件 是 _______________________________. 2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变) 3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为 ()()30x x x a a πψ= << 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________. 4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ?= _________N·s. (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 5. 波长λ= 5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ?= 10-3 ?，则利用不确定关系式x p x h ??≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________. 6. 粒子做一维运动，其波函数为 ()00 x Axe x x x λψ-≥= ≤ 式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________. 7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现. 8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________. 9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而
从经典力学到量子力学的思想体系探讨
从经典力学到量子力学的思想体系探讨 一、量子力学的产生与发展 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象 一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。 著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中 电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史 上是空前的。 由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。 1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即 康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。 光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利 发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中
量子力学总结
量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?
○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）
“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ
量子力学与能带理论
量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E
量子力学和经典力学联系的实例分析
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡.
关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给
《量子力学》考试知识点(精心整理)
《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题
一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
(完整word版)量子力学所有简答题答案(2)
简答题 1 ?什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变 化。这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。 光电效应规律如下： 1.每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。 2.光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。 3.光电效应的瞬时性。实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。 4?入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电 子数目。 爱因斯坦认为：（1）电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。（3）光子能量与其频率成正 比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成： 1 2 h A -mv2这就是爱因斯坦光电效应方程。其中，h是普朗克常数；f是入射光子的 2 频率。 2. 写出德布罗意假设和德布罗意公式。 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。 h 德布罗意公式：E h P k 3. 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。几率波满足的条件。 波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。因为它能根 据现在的状态预知未来的状态。波函数满足归一化条件。 4. 以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 答：设1和2是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说
量子力学的发展史及其哲学思想
十九世纪末期,物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段.那时,一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明:物体的机械运动比光速小的多时,准确地遵循牛顿力学的规律;电磁现象的规律被总结为麦克斯韦方程;光的现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程;热的现象理论有完整的热力学以及玻耳兹曼,吉不斯等人建立的统计物理学.在这种情况下,当时有许多人认为物理现象的基本规律已完全被揭露,剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具体问题上,进行一些计算而已。 这种把当时物理学的理论认作”最终理论”的看法显然是错误的,因为:在绝对的总的宇宙发展过程中,各个具体过程的发展都是相对的,因而在”绝对真理的长河中,人们对于在各个一定发展阶段上的具体过程的认识具有相对的真理性.”生产力的巨大发展,对科学试验不断提出新的要求，促使科学试验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象，例如黑体辐射，光电效应，原子的光谱线系以及固体在低温下的比热等，都是经典物理理论所无法解释的。这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。黑体辐射和光电效应等现象使人们发现了光的波粒二象性；玻尔为解释原子的光谱线系而提出了原子结构的量子论，由于这个理论只是在经典理论的基础上加进一些新的假设，因而未能反映微观世界的本质。因此更突出了认识微观粒子运动规律的迫切性。直到本世纪二十年代，人们在光的波粒二象性的启示下，开始认识到微观粒子的波粒二象性，才开辟了建立量子力学的途径。 量子力学诞生和发展的过程，是充满着矛盾和斗争的过程。一方面，新现象的发现暴露了微观过程内部的矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想，新的理论；另一方面，不少的人（其中也包括一些对突破经典物理学的限制有过贡献的人），他们的思想不能（或不完全能）随变化了的客观情况而前进，不愿承认经典物理理论的局限性，总是千方百计地企图把新发现的现象以及为说明这些现象而提出的新思想，新理论纳入经典物理理论的框架之内。虽然本书中不能详细叙述这个过程。尽管这些新现象在十九世纪末就陆续被发现，而量
量子力学和经典力学的区别与联系(完整版)
量子力学和经典力学的区别与联系 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 三、目录 摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4)
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院
势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U
() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱
建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=
利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，
量子力学基础概念试题库完整
一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0，其中（1） ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很 小，称为加在∧) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。
量子力学习题
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分）
量子力学和经典力学的区别与联系
量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系
目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)
第二章 一维定态问题
第二章 一维定态问题 一 内容提要 1 几个重要的一维定态问题 [1] 一维无限深势阱 {0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ,3,2,122 2 22=μπ= n a n E n ∞≥≤<<π? ??=ψx x a x a x n a x n ,000 s i n 2)( [2] 一维线性谐振子 2221)(x x V μω= ,3,2,1)2 1 (=ω +=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] [3] 定轴转动子 I L H 2??2?= I m E n 22 2 = ),3,2,1,0(21 =π = ψ? m e im n 2 一维定态问题的性质 设)()(* x V x V = [1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x * ψ也是定态S.eq 的解。 [2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。 [3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)(' x ψ也是连续的； 如果)(x V 为阶梯形方势???><=a x V a x V x V 2 1)(且12V V -有限， 那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)(' x ψ不连续；
二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)6 1(12)(2/2222 π -=-=n a x x a x 讨论 ∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。 证明：2sin 2)(020 2 a dx a x n x a dx x x x a a n =π=ψ=?? )6 1(124)()(2220 22 2 2 2 2 π-=- ψ=-=-?n a a dx x x x x x x a n 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为 a dx 则 20a a dx x x a ==? 320 22a a dx x x a ==? 1243)(2222 22a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。 [1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态a x n a x n π=ψsin 2)(的几率n P 。 解：[1] 由归一化条件 ?? +∞ ∞ -=-=ψa dx x a Ax dx x 0 2 2 1)]([)( 得530 a A = 所以)(30 )(5x a x a x -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x n n ψ =ψ∑ )c o s 1(15 4)()(3 3π-π =ψψ=? n n dx x x c n n 2662 ])1(1[240n n n n c P --π= = 999.0])1(1[2402 16 1≈--π =P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。 3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波 函数来不及改变，即a x a x x π= ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。 解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是：
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见，可以类似于矢量A ，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此，我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比： ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ……….
引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的。 1、线性：①c b a =+；②a b λ=。 2、完备性：∑=n n n a a 。 3、内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积：==* a b b a 复数，0≥a a 。 1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交； m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 1、态矢符合线性空间的要求：?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开： nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积： ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基， 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢：?=dx x x )(*ψψ，有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F ==。