河南省许昌新乡平顶山2012届高三第三次调研考试(数学理)WORD版

河南省许昌新乡平顶山2012届高三第三次调研考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：

样本数据12,,,n x x x 的标准差 锥体体积公式

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++- 13

V Sh =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 圆锥的侧面积公式 球的表面积，体积公式

S Rl =π 24S R =π，343

V R =

π 其中R 为底半径，l 为母线长 其中R 为球的半径

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 (1)已知集合{

}

?

?????≤∈=≤∈=21

,42

x Z

x B x R x A ，则集合B A 的子集个数是 （A ）4 (B)8 (C)16 (D)32

(2)若复数bi

i

z ++-=

11是纯虚数，则实数b 的值为 （A ）-1 (B)1 （C ）-2 （D ）2 (3)若的是则、2222,b a R b a b a <<∈.

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)焦点在x 轴，中心在原点的双曲线的渐近线方程为02=±y x ，则双曲线的离心率为

（A ）

45 （B ）5 （C ）2

5 （D ）5 (5)在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的五名同学的投篮命中率分别为

3

1

,43,32,21,53，每人均有10次投篮机会，至少投中六次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的人数大约为 （A ）2人 (B) 3人 (C)4人 (D) 5人

(6)已知四棱锥ABCD P -的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为 （A)

31 (B)3

2 (C)3

3 (D)32 (7)已知数列{}n a 的首项为1，且满足1122=-=-+a a a a n n ，则数列{}n a 的前100项和为 （A ）2600 (B)2550 (C)2651 (D)2652

(8)在可行域内任取一点),(y x ，如果执行如 图的程序框图，那么输出数对),(y x 的概率是 （A ）

31 (B)a 31 (C)21 (D)a

21

(9)在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩

),95(~2σξN ，,)120(a P =>ξ

b P =<<)9570(ξ，则直线02

1

=++by ax 与圆222=+y x 的位置关系是

（A ）相离 （B ）相交

（C ）相离或相切 （D ）相交或相切

(10)已知函数x x x g x x x f cos sin )(,cos sin )(-=+=，下列四个命题： ①将)(x f 的图像向右平移

2

π

个单位可得到)(x g 的图像； ②)()(x g x f y =是偶函数； ③]4

,4[)()(π

π-均在区间与x g x f 上单调递增； ④)

()

(x g x f y =

的最小正周期为π2. 其中真命题的个数是

（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4

(11)设)2,(≥∈*

n N n a n 是n x )24(-的展开式中2x 项的系数，则16

15

322444a a a +++ 的值为 （A ）

815 (B)87 (C) 1615 (D)16

1

(12)设函数???

??+∞∈--∞∈-=)

,0(),3(]0,(,11

)(x x f x x x f ，若方程0)(4=-+m x x f 有且仅有两个实数根，

则实数m 的取值范围是

（A)1≥m （B ）1>m （C) 41≥m (D)4

1>m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题、23题、24题题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

(13) 设向量a 、b 的夹角为θ，且a =(3,3)，2b-a =(-1,1)则=θcos .10

10

3 (14) 设等差数列

{}

n a 的前项和为n S ，若

,15,1054≤≥S S ，则4a 的最大值为 4

(15) 已知1,0≠>a a 且，函数)

1(log 1

+==-x y a y a x 与

的图像分别恒过定点A ，B ，过点A 的直线与1l 过点B 的直线2l 垂直相交于点Q ,则点Q 的轨迹方程是

(16)一个几何体的三视图如图所示，

则该几何体的内切球半径为 .22-

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分）

如图，在ABC Rt ?中，D 是斜边AB 上一点，且AD AC =，记,β=∠BCD α=∠ABC .

(Ⅰ)求βα2sin 2sin +的值； （Ⅱ）若CD BC 3=,求CAB ∠的大小.

(18)本小题满分12分）

如图，在四面体ABCD 中，二面角B CD A --的平面角为?60，,CD AC ⊥,CD BD ⊥且

,2BD CD AC ==点E 、F 分别是AD 、BC 的中点.

(Ⅰ)求证：;BCD EF 平面⊥ （Ⅱ）求二面角C BD A --的余弦值.

(19)(本小题满分12分）

在某医学实验中，某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只实验动物进行血检，得到如下资料： 动物编号 1 2 3 4 5 6 用药量x （单位） 1 3 4 5 6 8 抗体指标y (单位）

3.4

3.7

3.8

4.0

4.2

4.3

记s 为抗体指标标准差，若抗体指标落在),(s y s y +-内则称该动物为有效动物，否则称为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验.

(Ⅰ)设选取的两只动物中有效动物的只数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望；

（Ⅱ）若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出y 关于x 的线性回归方程为,17.0a x y +=

试求出a 的值;

(Ⅲ)若根据回归方程估计出的1号和6号动物的抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差则认为得到的线性回归方程是可靠的，试判断（Ⅱ）中所得线性回归方程是否可靠.

(20)(本小题满分12分）

已知点)0,2(),0,2(B A -,直线PA 与直线PB 斜率之积为4

3

-，记点P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设N M ,是曲线C 上任意两点，且AN AM AN AM +=-,问直线MN 是否恒过某定点？若是，请求出定点坐标；否则，请说明理由.

(21)(本小题满分12分）

已知函数x e x f =)(，曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为)(x g y =. (Ⅰ)证明：对)()(,x g x f R x ≥∈?； （Ⅱ）当0≥x 时，x

ax

x f ++

≥11)(恒成立，求实数a 的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，圆O 的直径d AB =，P 是A B 延长线上一点，a BP =,割线PCD 交圆O 于点C 、

D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点

E ，交直线AD 于点

F .

(Ⅰ)求证：PDF PEC ∠=∠; （Ⅱ）求PF PE ?的值.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为).(21,

4为参数t t y t a x ??

?--=+=在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，

).4cos(22π

θρ+=的方程为圆C

(Ⅰ)求圆心C 到直线l 的距离； （Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长为

a 求,5

5

6的值.

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-+-=,3)(

(Ⅰ)当0=a 时，解关于x 的不等式4)(>x f ；

（Ⅱ）若,R x ∈?使得不等式43<-+-a x x 成立，求实数a 的取值范围.

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理科数学参考答案

1) 选择题 (每小题5分)

（1)C （2)B （3)D （4)C （5)B （6)C （7)A （8)A (9)D (10)C (11) A (12)B

2) 填空题(每小题5分) （13）

10

10

3 （14）

4 （15）2

1

)2

1()2

1(2

2=

-+-y x 或022=-+-y y x x （16）22- 三、简答题(17)解：（Ⅰ）由题意知：απ

-=∠2

A ，,2

βπ

-=

∠ACD .又AC AD =，

可得2

2π

βα=

+. ----2分

1

2cos 12cos 2cos 1)22

sin(

sin 2sin 2

=-+=-+-=+ββββπ

βα.

----6分

（Ⅱ）由正弦定理知：,3sin sin =∠=α

BDC

CD BC αβαsin 3)sin(=+∴

----8分 由

(

Ⅰ

)

知

2

2π

βα=

+，

,sin 21sin 2βα-=

)sin 21(3cos 2ββ-=∴

得舍去）

或(3

3

cos 23cos -==ββ ----10分 6

)2

,

0(π

βπ

β=

∴∈

得3

CAB π

∠=

---- 12分 (18）解：(Ⅰ)取DC 的中点G ，连结,EG FG .

易知,EG FG 分别为,ACD BCD ??的中位线.故,EG CD FG CD ⊥⊥.

.

,

EF CD EFG CD ⊥∴⊥∴面 ---- ----2分

可知EGF ∠为二面角B CD A --的平面角，60o EGF ∠=.

在EGF ?中2EG FG =，60o EGF ∠=，由余弦定理得3EF FG =，又由正弦定理得

90o EFG ∠=.FG EF ⊥∴ ---- ----4分 BCD GF G CD GF 面?=?,

EF BCD ∴⊥面 ----6分 （Ⅱ）以C 为原点，平面BCD 为xOy 平面，CD 为y 轴建立空间直角坐标系.设1BD =. 易知(0,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,3)C B D A . )3,2,0(-=AB ， )3,2,1(--=AD . ----8分

易知平面BCD 的法向量 m=)1,0,0( 设平面ABD 的法向量n=（x,y,z) 则AD ?n =0,AB ?n =0,解的x =0,z y 2

3

=

, 令z =1, n=)1,2

3

,

0( - ---10分 7

7

2,cos >=

7

7

2. ----12分 （19）解：(Ⅰ)31.0,9.3≈=s y .故1、6号为无效动物，2、3、4、5号为有效动物 ----2分 所以随机变量ξ的取值为0，1，2

记从六只动物中选取两只所有可能结果共有=2

6C 15种.

15

1)0(=

=ξP 15

8

15)1(1412=?==C C P ξ

15

6

15)2(24===C P ξ ----5分

分别列为

期望3

4

52215811510)(=?+?+?=ξE ---6分 （Ⅱ）对于2、3、4、5号动物， 4.5, 3.925x y ==，代入a x y +=17.0

得 3.16a =.

----8分

（Ⅲ）由0.17 3.16y x =+ 得163.33, 4.52y y ==

. ----10分

误差160.07,0.22e e ==均比标准差31.0≈s 小，故（Ⅱ）中回归方程可靠. ----12分

（20）解：（Ⅰ）设(,)P x y

则由直线PA 与直线PB 斜率之积为43-

得

3

224

y y x x ?=-+-，(2)x ≠±. 整理得曲线

C

的方

程

为

22

143

x y +=，

(2)

x ≠±.

----4分

（Ⅱ）若AN AM AN AM +=-，则AM AN ⊥

.由题意知(2,0)A -. 设1122(,),(,)M x y N x y .

若直线MN 斜率不存在，则11(,)N x y -.由AM AN ⊥

得11

11122

y y x x -?=-++，又22

11143

x y +=. 解得直线MN 方程为2

7

x =-

. ----6分 若直线MN 斜率存在，设方程为y kx m =+.

ξ

0 1 2

P

151 158 5

2

由2

2

{143

y kx m

x y =++=得222(43)84120k x kmx m +++-=. 即122843km x x k -+=+，2122412

43

m x x k -?=

+.（*） ----8分 由

AM AN

⊥ 得

1212122

y y

x x ?=-++，整理得

221212(1)(2)()40k x x km x x m ++++++=.

代入（*）式解得2m k =或2

7

m k =

.----10分 此二种情况222(43)84120k x kmx m +++-=均有0?>. 若2m k =，此时直线过定点(2,0)-不合题意舍去. 故27m k =，即直线MN 过定点2

(,0)7

-.斜率不存在时依然满足. ----12分

（21）解：（Ⅰ）由题意知00)()(0x

x

e x x e x g +-= ----2分

令)1()()()(00+--=-=x x e e x g x f x h x x

则0)(x x e e x h -='， ----3分 当单调递减；时)(,0)(0x h x h x x <'<

当单调递增；时)(,0)(0x h x h x x >'> ----5分 故0)()(0=≥x h x h ，即)()(x g x f ≥. ----6分

（Ⅱ）（1）当1≤a 时，由（Ⅰ）知，当00=x 得1+≥x e x . ----7分 故x

ax

e x ax x

f x +--=+-

-1111)(

1)1(1≥+-+=+-

≥x

a x x x ax x . ----9分 （2）当1>a 时，令ax x e ax x x f x H x -+-=-+-=)1)(1()1)(1)(()(，

则a x e x H x --+='1)2()(，

令a x e x H x F x --+='=1)2()()(，则0)3()(>+='x e x F x ， 故)(x H '在),0[+∞上单调递增，而01)0(<-='a H ，

故存在区间),0(0x 使得0)(<'x H ，)(x H 单调递减，使得0)0()(=

ax

x f ++

≥11)(在),0[+∞上恒成立矛盾. ----11分 综上可得1≤a . ----12分

（22）解：（Ⅰ）连结BC ，易知90o ACB APE ∠=∠=.即P B C E 、、、四点共圆. =PEC CBA ∴∠∠.

又A B C D 、、、四点共圆，=CBA PDF ∴∠∠， =PEC PDF ∴∠∠. ----5分

（Ⅱ）=PEC PDF ∠∠ ，∴F E C D ∴、、、四点共圆. ()PE PF PC PD PB PA a a d ∴?=?=?=+. ----10分 （23）解：（Ⅰ）圆C 的方程整理可得：22(cos sin )ρ=ρθ-θ

化为标准方程得：22(1)(1)2x y -++=.圆心为(1,1)-，半径为2. 直线l 一般方程为：220x y a ++-=，故圆心C 到l 的距离|1|5

|1|55

a d a -==-. ----5分

（Ⅱ）由题意知圆心C 到直线l 的距离22355(2)(

)55

d =-=.

由（1）知

55

|1|55

a =-，得02a a ==或. ----10分 （24）解：（Ⅰ）由0a =知原不等式为|3|||4x x -+> 当3x ≥时，234x ->，解得7

2x >. 当03x ≤<时，34>，无解. 当0x <时，234x -+>，解得12

x <-. 故解集为17

{|}22

x x x <-

>或. ----5分 （Ⅱ）由,|3|||4x R x x a ?∈-+-<成立可得min (|3|||)4x x a -+-<.

又|3||||3()||3|x x a x x a a -+-≥---=-， 即min (|3|||)x x a -+-=|3|4a -<. 解得17a -<<. ----10分