北京市海淀区高一数学必修五水平监测试题(第二学期期中考试)

海淀区高一数学水平监测试题

2008、04、23

卷一

一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 在等差数列3, 7, 11 …中,第5项为( C )

A. 15

B.18

C.19

D.23 2. 数列}{n a 中, 如果n a =3n （n =1, 2, 3, …） ，那么这个数列是（ C ） A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列 C. 首项为3的等比数列 D. 首项为1的等比数列

3.等差数列}{n a 中, 384362=+=+a a a a ,, 那么它的公差是（ B ） A. 4 B.5 C.6 D.7

4. △ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a , b , c .若3,4a b ==,∠C= 60, 则c .的值等于（ C ）

A. 5

B. 13

C.13

D.37 5. 数列}{n a 满足111,21n n a a a +==+（N n +∈）, 那么4a 的值为( C ) A. 4 B. 8 C. 15 D. 31 6. △ABC 中, 如果

cos A

cos B

cosC

a b c =

=

, 那么△ABC 是（ B ）

A. 直角三角形

B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形

D. 钝角三角形 7. 如果00>>>t b a ,, 设t

b t a N b a M ++=

=

,, 那么（ A ）

A. N M >

B. N M <

C. N M =

D. M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8. 如果}{n a 为递增数列,则}{n a 的通项公式可以为( D )

A. 32+-=n a n

B. 132+-=n n a n

C. n

n a 2

1= D.

21log n a n

=+

9. 如果0<

A. 0>-b a

B. bc ac <

C.

b

a 11> D. 22

b a <

10.我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax 2

＋bx ＋c >0(a >0)的过程. 令a=2, b=4,若(0,1)c ∈，则输出区间的形式为（ B ）

A.M

B. N

C.P

D.?

二. 填空题：本

大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 11.已知x 是4和16的等差中项,则x =___10___ 12.一元二次不等式26x x <+的解集为__(2,3)-___ 13. 函数

()(1),(0,1)f x x x x =-∈的最大值为___

14

______

14. 在数列{}n a 中,其前n 项和32n n S k =?+,若数列{}n a 是等比数列，则常数k 的值为 -3

三.解答题.

15.三角形ABC 中，3,7==AB BC ，且

5

3sin sin =B

C .

（Ⅰ）求AC ； （Ⅱ）求A ∠.

解：（Ⅰ）由正弦定理得：

sin 3535sin sin sin 5

3AC AB AB C AC B

C

AC

B

?=

?

=

=

?=

= --------------------------6分

（Ⅱ）由余弦定理得：2

2

2

925491cos 2235

2

AB AC BC

A A

B AC

+-+-∠=

=

=-

???,所以120A ∠=?。---------------12分

16.某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元。设池底长方形长为x 米. （Ⅰ）求底面积并用含x 的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 解：（Ⅰ）设水池的底面积为1S ，池壁面积为2S ,

则有1480016003

S =

=（平方米）,

可知，池底长方形宽为1600x

米，则

21600

1600

666()S x x x x

=+?

=+--------------------------5分 （Ⅱ）设总造价为y ，则

160015016001206()24000057600297600y x x

=?+?+

≥+=

当且仅当x

x 1600=

,即40=x 时取等号,

所以40=x 时,总造价最低为297600元.

答：40=x 时,总造价最低为297600元. --------------------------12分 17.已知等差数列}{n a 的前n 项的和记为n S .如果41284-=-=a a ,. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）求S n 的最小值及其相应的n 的值；

（Ⅲ）从数列}{n a 中依次取出1

12482,,,,...,,...n a a a a a -,构成一个新的数列}{n b ,求}{n b 的前n 项和.

解：（Ⅰ）设公差为d ，由题意，可得

418112312474a a d a a d =-+=-?????=-+=-??，解得1

2

18d a =??

=-?，所以220n a n =--------------------------3分 （Ⅱ）由数列}{n a 的通项公式可知，当9n ≤时，0n a <，当10n =时，0n a =，当11n ≥时，0n a >。 所以当n ＝9或n ＝10时，n S 取得最小值为91090S S ==-。-------------------------6分

（Ⅲ）记数列}{n b 的前n 项和为n T ，由题意可知 1

1

2

18(21)22

20

n n n

n b a --==-+-

?=- 所以123n n T b b b b =++++

123(220)(220)(220)(220)n

=-+-+-++-

123

(2222)20

n

n =++++- 1

22

2012

n n +-=

--

1

2

202n n +=-- -------------------------12分

卷二

一、填空题

1．在四个正数2，a ，b ，9中，若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则a =____4_，b =___6___。 2．在△ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a , b , c ，若::3:5:6a b c =, 则C

B

A sin sin sin 2-=_

16

__.

3．如果0,0,2x y x y xy >>++=，则x y +

4．如果有穷数列123,,,,m a a a a （2m

k

=，*k ∈N ）满足条件1211,,,m m m a a a a a a -=-=-=-

即1(1,2,,)i m i a a i m -+=-= ，我们称其为“反对称数列”。

（1）请在下列横线上填入适当的数，使这6个数构成“反对称数列”：

－8， －4 ，－2， 2 ， 4 ， 8 ；

（2）设{}n c 是项数为30的“反对称数列”，其中16171830,,,,c c c c 构成首项为-1，公比为2的等比数列. 设T n 是数列{}n nc 的前n 项和，则15T = 16217-

二、解答题

5．如图,在一建筑物底部B 处和顶部A 处分别测得山顶C 处的仰角为60?和45?（AB 连线垂直于水平线），已知建筑

物高AB =20米，求山高DC

解：如图，在A B C ?中，由正弦定理 可得

sin

sin B C A B B A C

A C B

=

∠∠

D B

A

C

E

即

20sin 135sin(6045)

BC =

?

?-?

所以20sin 1351)sin(6045)

4

BC ?=

=

=?-?

在R t B C D ?

中，sin 6010(3C D BC =?=+

所以山高为)31030(+米 法2

利用AE=DE 列方程。

6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2232n n S a n n =+--（n =1,2,3…）.令2n n b a n =-（n =1,2,3…）.

（Ⅰ）求证: 数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）令11

n n c b =+，记2n 11223341222n n n T c c c c c c c c -+=+++???+，比较n T 与

16

的大小。

（Ⅰ）解： 2

232n n S a n n =+--，

()()2

1121312n n S a n n ++∴=++-+-.

()11222,212(2)n n n n a a n a n a n ++∴=-+∴-+=-.

∴2n n b a n =-是以2为公比的等比数列 3分

（Ⅱ）111124,4a S a a ==-∴=,∴121422a -?=-=.

22,22n

n

n n a n a n ∴-=∴=+. 4分

22n

n n b a n =-=

11

n n c b =

+=

121

n

+

2

n 1

1223341222

n n n T c c c c c c c c -+=+++???+

=1

121+×

2

121+ + 2×

2

121

+× 3

121+ ＋…＋12n -×121n

+×

1

12

1

n ++

=

12

×(

11

21+－2

121

+) +12

×(

2121

+－

3

121

+) ＋…＋12

×(

121

n

+－

1

12

1

n ++)

= 12

×(

1

1

21+－

112

1

n ++)

=

16

－

2

12

2

n ++ 16

n T ∴<

8分