2016年北京自主招生数学模拟题：等差数列

2016年北京自主招生数学模拟题:等差数列

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题目1：在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为（）．

? A.5

? B.6

? C.8

? D.10

题目2：已知数列{a n}为等差数列，且a3+a7+a11=4π，则tan（a1+a13）=（）

? A.-√3

? B.±√3

? C.±√33

? D.√3

题目3：若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2=b2=2，则a5b5=（）

? A.5

? B.16

? C.80

? D.160

题目4：若数列{a n}是一个以d为公差的等差数列，b n=2a n+3（n∈N *

），则数列{b n}是（）

? A.公差为d的等差数列

? B.公差为2d的等差数列

? C.公差为3d的等差数列

? D.公差为2d+3的等差数列

题目5：已知公比为q的等比数列{a n}，则数列{a n+a n+1}（）

? A.一定是等比数列

? B.可能是等比数列，也可能是等差数列

? C.一定是等差数列

? D.一定不是等比数列

题目6：

已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=a 22

-4，则a n =_____ ．

题目7：

在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8=_____ ．

题目8：

已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 6=9，a 4=7，则a 9=_____ ．

题目9：

在1与6中间插入10个数，使这12个数成等差数列，则这个数列的第6项为

36 11

．

题目10：

等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=6，a 4+a 5+a 6=15，则公差d=_____ ．

题目11：

已知等差列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 3=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式：

（Ⅱ）若函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，0＜φ＜π）在x=

π 6

处取得最大值，且最大值为a 2，求函数f （x ）的解析式．

题目12：

在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；

(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.

题目13：

已知函数f （x ）=sin （

7π 6

-2x ）+2cos 2

x-1（x ∈R ）．

（Ⅰ）求函数f （x ）的周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点 (A ，

1 2

)经过函数f （x ）的图象，b ，a ，c 成等差数列，且

AB

题目14：

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）在函数f （x ）=3x 2

-2x 的图象上， （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =

3 a n a n+1

n 是数列{b n }的前n 项和，求使|T n

-

1 2

题目15：

设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有S n =

n(a 1+a n ) 2

n }是等差数列．

答案部分

1、A

解析：

解：由等差数列的性质得a1+a9=2a5，

∴a5=5。

故选A

2、A

解析：

解：由等差数列的性质可得：

a3+a11=a1+a13=2a7，

结合题意可得：3a7=4π，即a7=

4π

3

，

∴tan（a1+a13）=tan（2a7）=tan

8π

3

=tan（2π+

2π

3

）=tan

2π

3

=-tan

π

3

√3

故选A

3、C 解析：

解：在等差数列{a n }中，由a 1=1，a 2=2， 得公差d=1，

∴a 5=a 1+4d=1+4×1=5。

在等比数列{b n }中，由b 1=1，b 2=2，得公比q=2， ∴b 5=b 1q 4

=1×24

=16。 ∴a 5b 5=5×16=80。 故选：C 。 4、B 解析：

解：由题意，b n+1-b n =2（a n+1-a n ）=2d ，∴数列{b n }是公差为2d 的等差数列， 故选B 。

5、B 解析：

解：设数列{a n }的首项为a 1，由题意知a n =a 1q n-1

，a n+1=a 1q n

，

a n +a n+1=a 1q

n-1

+a 1q n =a 1q n

（

1 q

+1）

a n+1+a n+2=a 1q n

+a 1q

n+1

=a 1q n

（1+q ）

当q=-1时，数列{a n +a n+1}为a n =0的一个常数列，是一个等差数列 当q≠-1时

a n+1+a n+2 a n +a n+1

=

1 q + 1 1+q

=

1 q

当q≠±1时，

1 q

是一个不为1的常数，所以数列{a n +a n+1}是等比数列； 当q=1时，

1 q

=1，所以数列{a n +a n+1}是一个常数列，它既是等差数列，又是等比数列 故选B

6、2n-1 解析：

解：由于等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=

a 22

-4，令公差为d

所以1+2d=（1+d ）2

-4，解得d=±2 又递增的等差数列{a n }，可得d=2 所以a n =1+2（n-1）=2n-1 故答案为2n-1

7、74

解析：

解：等差数列{a n}中，a3+a7=37，

∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37

∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，

故答案为：74

8、32

解析：

解：由a1+a6=9，a4=7，

可得：2a1+5d=9a1+3d=7，

解得：a1=-8d=5，

则a9=a1+8d=-8+8×5=32。

故答案为：32

9、见解析

解析：

解：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式可得6=1+（12-1）d，d= 5

11

，

故这个数列的第6项为1+5d=

36

11

，

故答案为

36

11

。

10、1

解析：

解：设等差数列{a n}的公差为d，则

∵a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=15，

∴两式相减可得9d=9，解得d=1。

故答案为：1。

11、见解析

解析：

解：（Ⅰ）设等差列{a n}的公差为d，依题意得：a1=1S3=3a1+3d=9，解得d=2。

∴等差数列的通项公式为a n=1+2（n-1）=2n-1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a2=3，

∴A=3。

∵f（x）在x=

π

6

处取得最大值，

∴

2×

π

6

+φ=2kπ，k∈Z。

又∵0＜φ＜π，

∴φ=

π

6

。

∴函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+

π

6

）。

12、见解析

解析：

(1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2

，由a1＝10，{a n}为公差为d的等差数列得，d

2

－3d－4＝0，解得d＝－1或d

＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *

)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *

)。 (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .

因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，

所以当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－

n 2

＋

n ；

当n≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝n 2

－

n ＋110.

综上所述，

|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝

13、见解析 解析： 解：（I ）∵函数f （x ）= sin(

7π 6

-2x)+2cos 2

x-1=sin

7π 6

cos2x-cos

7π 6

sin2x+cos2x= √3 2sin2x+

1 2

cos2x=sin （2x+

π 6

）。

故函数f（x）的周期为T=

2π

2

=π。

再令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z。

（II）在△ABC中，由题意可得f（A）=sin（2A+ π

6

）=

1

2

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

3

。

再由 b ，a ，c 成等差数列，可得2a=b+c ，再由

AB

2

=b 2+c 2-2bc?cosA=（b+c ）2-3bc=4a 2-3×18，解得 a 2

=18，

∴a=3 √2 。

14、见解析 解析：

解：（1）∵点（n ，S n ）在函数f （x ）=3x 2

-2x 的图象上 ∴S n =3n 2

-2n ，

当n≥2时，a n =s n -s n-1=6n-5 当n=1时，也符合上式 ∴a n =6n-5-----（4分） （2）b n =

3

(6n-5)(6n+1) 1 2

（1-

1 7

+

1 7

-

1 13

+…+

6n+1

）=

1

2

（1-

1

6n+1

）

∴|Tn-

1

2

|=

1

2(6n+1)

＜

1

100

∴n＞

49

6

又∵n∈Z

∴n的最小值为9。

15、见解析

解析：

证明：法一：

令d=a2-a1。

下面用数学归纳法证明a n=a1+（n-1）d（n∈N）。

（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1。

当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立。

（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a k=a1+（k-1）d。由题设，有

S k=

k(a1+a k)

2

，S k+1=

(k+1)(a1+a k+1)

2

，又S k+1=S k+a k+1

∴（k+1）

(a1+a k+1)

2

=

k(a1+a k)

2

+a k+1

把a k=a1+（k-1）d代入上式，得

（k+1）（a1+a k+1）=2ka1+k（k-1）d+2a k+1。

整理得（k-1）a k+1=（k-1）a1+k（k-1）d。

∵k≥2，∴a k+1=a1+kd。即当n=k+1时等式成立。

由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a n}是等差数列法二：

当n≥2时，由题设，S n-1

=

(n-1)(a1+a n-1)

2

n

=

n(a1+a n)

2

n=S n-S n-1=

n(a1+a n)

2

-

(n-1)(a1+a n-1)

2

同理有

a n+1=

(n+1)(a1+a n-1)

2

-

n(a1+a n)

2

。

从而

a n+1-a n=

(n+1)(a1+a n-1)

2

-n（a1+a n）+

(n-1)(a1+a n-1)

2

，

整理得a n+1-a n=a n-a n-1═a2-a1从而{a n}是等差数列。