电磁场与电磁波例题

1、如图1－1，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为1d 和2d ，介电常数分别为1ε和2ε，电导率分别为1σ和2σ，当外加电压0U 时，求分界面上的自由电荷密度。 解：设电容器极之间的电流密度为J ，则： 2211E E J σσ==

11σJ E = ，2

2σ

J E = 于是

+=101σJd U 2

2σ

Jd 即：

2

21

10σσ

d d U J +=

分界面上的自由面电荷密度为：

J E E n D n D s )1

122(112212σ

ε

σεεερ-=-=-=

)1122(σε

σε

-=2

2

110σσd d U +

2、一个截面如图2－1所示的长槽，向y 方向无限延伸，两则的电位是零，槽内∞→y ，0→?，底部的电位为：0)0,(U x =?。求槽内的电位。

解：由于在0=x 和a x =两个边界的电位为零，故在x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即：

)(sin a

n n k x n k n X π==

在y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在∞→y 时，电位趋于零，所以选取

y n k e n

Y -= 由基本解的叠加构成电位的表示式为：

∑∞

=-=1

sin n a y n e a x n n C ππ?

待定系数由0=y 的边界条件确定。在电位表示式，令0=y ，得：

∑∞

==1sin 0n a x n n C U π

?-==a n n aU

dx a x n U a n C 0)cos 1(0sin 02ππ

π 当n 为奇数时， π

n U n C

4=

，当n 为偶数时，00=C 。最后，电位的解为：

a y n e n a x n n U πππ

?-∑

∞==5,3,1sin 04

3、在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传输的电磁波，其电场强度矢量

)cos()sin(0x x k t z d

E y e E -=ωπ

其中x k 为常数。试求：（1）磁场强度矢量H 。（2）两导体表面上的面电流密度s J 。

（1） 由麦克斯韦方程可得：

z y E

x e E ??-=??x y

E

z e

??+t

B ??-= 对上式积分后得：

)sin()cos(0x x k t z d d E x e B -=ωπωπ)cos()sin(0x x k t z d

k E z e x

-+ωπω 即：

)sin()cos(00x x k t z d d E x e H -=ωπωμπ)cos()sin(00x x k t z d

k E x e x

-+ωπωμ （2） 导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在0=z 表面上，法线z e n =，面电 流密度

=?==0

z z s H

e J )sin(00x x

k t d E

y e

-ωωμπ

在d z =表面上，法线z e n -=，面电流密度

=?-==d z z s H e J )sin(00x x

k t d E

y e

-ωωμπ 4、一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a ，外导体半径为b ，长度为L ，同轴线两端用理想导体板短路。已知在b r a ≤≤、L z ≤≤0区域内的电磁场为：

kz r A r e E sin =，kz r

B e H cos θ=

（1） 确定A 、B 之间的关系。 （2） 确定k 。

（3） 求a r =及b r =面上的s ρ、s J 。

解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。 （1）A 、B 之间的关系。因为

z r E

e

E ??-=??θH j kz r

Ak e ωμθ-==cos 所以

=B

A k j ωμ- （2）因为

r

H 1=??z

rH r e

??-)

([θ])(r rH z e ??+θ==kz r Bk r e sin E j ωε 所以

=B

A ωεj k

k

j ωμ

-ωεj k = ， μεω=k （3）因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为：

s J H n =? ， s D n ρ=?

在a r =的导体面上，法线r e n =，所以 =?==a

r sa H

n J kz r B z e cos kz a B z e a r cos ==

=?==a r sa D n ρkz r A sin εkz a

A

a r sin ε== 在

b r =的导体面上，法线r e n -=，所以 =?==b

r sb H

n J kz r B z e cos -kz b

B z e b r cos -==

=?==b r sb D n ρkz r A sin ε-kz b

A b r sin ε-==

5、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为：

)/(20410)()(m V z

j e

y

je x e t E π---=

试求：

（1） 工作频率f 。

（2） 磁场强度矢量的复数表达式。 （3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。

解：

（1） 由题意可得：

c

k ωεμωπ===0020，9106?=πω

所以工作频率

z H f 9103?=

（2） 磁场强度矢量的复数表达式为：

=?=E e H z η

1)(10

x y je e +η)/(20410m A z

j e

π--

其中波阻抗Ω=πη1200。

（3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 电磁波的瞬时值为： )/()

20cos(410)(]Re[)(m V z t y je x e Ee t E t j πωω---==

)/()

20cos(410)(0

1]Re[)(m A z t x je y e He t H t j πωω--+==

所以，坡印廷矢量的瞬时值：

=?=)()()(t H t E t S )20(cos 8100

12z t πωη

--?-)(y je x e 2/0

)(m W x je y e =+

同理可得坡印廷矢量的时间平均值：

2/0]2

1Re[m W H E av S

=*?=

6、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为：

)/()

34()462(m A z x j e

e y

e x e H z μπ+-++-=

试求：⑴波长、传播方向单位矢量及传播方向与z 轴的夹角。⑵常数A 。⑶电场强度矢量。

解：⑴波长、传播方向单位矢量及传播方向与z 轴的夹角分别为：

πππ5)3()4(22=+=+=z x k k k ，m k

4

.02==πλ

z x z x k e e k

e e e 6.08.034+=+=

ππ，6.0cos =z θ)34(z x j e +-π

故

53=z θ

⑵ 因为0=??H ，所以

0124=-=??+??+??=??j jA z

z H y y H

x x H

H ππ

解之得3=A 。

⑶ 电场强度复矢量

00ηη=?=k e H E )4623(z y x e e e ++-)

34(z x j e

+-π)6.08.0(z x e e +?

+=x

e 65

6(0η)65

85z

e e y -m V z x j e

/)

34(+-π

7、假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为：

)2(3y x e e E -=m V z y x j e

/)

322(6-+-π

试求：⑴电场强度的振幅、波矢量和波长。

⑵电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。 解：依题意知，电场强度的振幅：

m V E E E y x /3

32

0200=+=

而 2

222π=++=z k y k x k

k

所以波矢量k e k k =，其中

x e k e 32=y

e 32+z e 33-

从而

m k

42==πλ

（1） 电场强度矢量的瞬时表达式为：

)/()]

322(6

cos[)2(3]Re[)(m V z y x t y e x e Ee t E t j -+--==πωω

磁场强度矢量的瞬时表达式为：

-=?=)(0

1)(t E k e t H ηcos )2336(1?++z e y e e x )/()]

322(6

[m A z y x t -+-πω